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1、26 对数函数与幂函数【知识网络】1对数的概念、运算法那么；2对数函数的概念；3对数函数的图象及其性质；4运用对数函数的性质解决问题 【典型例题】例 1 1以下函数中既是偶函数又是(,0)上是增函数的是C A43yx B32yx C2yx D14yx 提示：A、D 中的函数为偶函数，但 A 中函数在(,0)为减函数，故答案为 C 2函数43yx的图象是 A 3函数2lg(1)1yx的图像关于 C Ax轴对称 By轴对称 C原点对称 D直线yx对称 提示：21()lg(1)lg11xyf xxx，由101xx得函数的定义域为(1,1)1111()lglg()lg()111xxxfxf xxxx
2、，()f x为奇函数，答案为 C 4函数212log(617)yxx的值域是(,3 提示：令22617(3)88txxx，12logyt，1122loglog 83t 5以下命题中，正确命题的序号是 当0时函数yx的图象是一条直线；幂函数的图象都经过0，0和1，1点；假设幂函数yx是奇函数，那么yx是定义域上的增函数；幂函数的图象不可能出现在第四象限 提示：错，当0时函数yx的图象是一条直线去掉点0，1 ；错，如幂函数1yx的图象不过点0，0；错，如幂函数1yx在定义域上不是增函数；正确，当0 x 时，0 x 例 2幂函数223()()mmf xxmZ的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称
3、，试确定f x()的解析式 解：由2223023mmmmmZ是偶数，解得：1,1,3m .)(1,)(3140 xxfmxxfm时解析式为时解析式为和 当1m和 3 时，0()f xx；当1m时，4()f xx 例 3根据函数单调性的定义，证明函数2()log1xf xx在(0,1)上是增函数 证明：221()loglog(1)11xf xxx 在0，1上任取21,xx且12xx，那么：121212121111(1)(1)1111(1)(1)xxkxxxxxx 1201xx，120 xx，110 x，210 x，0k 12111111xx，1211lg(1)lg(1)11xx，即12()()f
4、 xf x ()f x在(0,1)上是增函数 例 4设()()(),F xf xg x其中()lg(1)f xx，并且仅当00,xy（）在lg(1)yx的图象上时，002,2xy（）在()yg x的图象上 1写出()g x的函数解析式；2当x在什么区间时，()0F x 解：1设002,2xxyy，那么00,22xyxy 00,xy（）在()lg1f xx的图象上，00lg(1)yx lg(1)22yx，2lg(1)2xy，()2lg(1)2xg x 2()lg(1)2lg(1)2xF xx，由题意得，x需满足：lg(1)2lg(1)02xx 221(1)288042 242 212212xxx
5、xxxxxx 242 2x 当(2,42 2x时，()0F x 【课内练习】1如果1x，12logax，那么 C A22aaa B22aaa C22aaa D22aaa 提示：当1x 时，12log0ax，答案为 C 2设0,0,ab且,722abba那么1lg|()|3ab等于 B A1(lglg)2ab B1lg()2ab C1(lg|lg|)3ab D1lg()3ab 提示：227abab，2()9abab 2111111lg|()|lg|()|lg|9|lg()329292abababab,答案为 B 3对于幂函数45()f xx，假设210 xx，那么)2(21xxf，2)()(21
6、xfxf大小关系是A A)2(21xxf2)()(21xfxf B)2(21xxf2)()(21xfxf C)2(21xxf2)()(21xfxf D无法确定 4以下函数中，在(0,2)上为增函数的是 D A12log(1)yx B22log1yx C21logyx D212log(45)yxx 提示：A、C 中函数为减函数，(0,2)不是 B 中函数的子集，故答案为 D 5函数2422xxy的单调递减区间是(,6 提示：由22240 xx得：46xx 或，函数12yt在0,)上为增函数，函数2224txx在(,6上为减函数，故所给函数的单调减区间为(,6 6函数()1log(3)xyx的定义
7、域是(1,2)(2,3)提示：由101130 xxx 得：123xxx，1223xx且 7假设3log15a，那么a的取值范围是5301aa或 提示：当1a 时,3log015a；当01a,3log1log5aaa,305a.8计算：12lg25lg2 lg50(lg2)；22lg 3lg91(lg27lg8lg 1000)lg0.3 lg1.2 解：1原式22lg5lg2(1lg5)(lg2)2lg5lg2(1lg5lg2)2lg52lg22 2原式2333lg 32lg31(lg33lg2)(1lg3)(lg32lg2 1)3222(lg3 1)(lg32lg2 1)(lg3 1)(lg3
8、2lg2 1)2 9下面六个幂函数的图象如下图，试建立函数与图象之间的对应关系.132yx；213yx；323yx；42yx；53yx；612yx 132yx定义域为0,)，非奇非偶函数，在0,)上为增函数，对应图A；213yx定义域为R，奇函数，在R上为增函数，对应图F；323yx定义域为R，偶函数，在0,)上为增函数，对应图E；42yx定义域为|0 x xRx且，偶函数，在0,)上为减函数，对应图C；53yx定义域为|0 x xRx且，奇函数，在0,)上为减函数，对应图D；612yx定义域为(0,)，非奇非偶函数，在(0,)上为减函数，对应图B 综上：1A，2F，3E，4C，5D，6B 1
9、0函数3()2log(19)f xxx，求函数22()()yf xf x的最大值和最小值，并求出相应x的值 解：由21919xx解得13x，那么函数22()()yf xf x的定义域为1,3 222223333()()(2log)2loglog6log6yf xf xxxxx 令3logtx(01)t，那么2266(3)3yttt，y关于t在0，1上为增函数，当0t 时，min6y，此时，3log0 x，1x；当1t 时，max13y，此时，3log1x，3x 综上：当1x 时，函数y有最小值 6，当3x 时，函数y有最大值 13 作业本 A 组 1函数23log(632)yxx的定义域是 B
10、 A331,133 B33(1,1)33 C33(,11,)33 D33(,1)(,1)33 提示：由26320 xx得：23620 xx,解得：331133x，答案为 B 2以下所给出的函数中，是幂函数的是 B A3xy B3 xy C32xy D13 xy 提示：形如(01)xyaaa且的函数叫做幂函数，答案为 B 3如果函数33()lg()1,1,22f xx xx，那么()f x的最大值是 A A0 B41 C21 D1 提示：22337()lg(1)lg()2416yf xxxx 令237()416tx，当31,2x时，t关于x单调增，当32t 时，max1t 此时，()yf x取到
11、最大值 0 4函数2 xy在区间1,22上的最大值是4 提示：函数2 xy在区间1,22上单调减，当12x 时，max4y 5函数2()lg(1)f xxx 是 奇填奇或偶函数 提示：21|xxx，210 xx 恒成立，故函数的定义域为 R 又22()()lg(1)lg(1)lg10fxf xxxxx ，()f x为奇函数 6 1假设21aba，试比拟logbba，logba，logab的大小；2假设235xyz，且x，y，z都是正数，试比拟2x，3y，5z的大小 解：1由21aba得1baa，1bbaa且log1ab 故logbbalogba1 logab 2令235xyzt，由于x，y，z
12、都是正数，那么1t，lglg2tx，lglg3ty，lglg5tz，2lg3lglg(lg9lg8)230lg2lg3lg2 lg3tttxy，23xy；同理可得：250 xz，25xz，325yxz 7利用幂函数图象，画出以下函数的图象写清步骤 153(2)1yx；2222221xxyxx 解：1函数53(2)1yx的图象可以由53yx的图象向右平移 2 个单位，再向下平移1 个单位而得到 21)1(1112112222222xxxxxxxy，把函数21,xy 的图象向左平移1 个单位，再向上平移 1 个单位，可以得到函数122222xxxxy的图象 8函数()log(1)xaf xa0a
13、且1a 求证：1函数()f x的图象在y轴的一侧；2函数()f x图象上任意两点连线的斜率都大于0 证明：1由10 xa 得：1xa，当1a 时，0 x，函数()f x的定义域为(0,)，此时函数()f x的图象在y轴右侧；当01a时，0 x，函数()f x的定义域为(,0)，此时函数()f x的图象在y轴左侧 函数()f x的图象在y轴的一侧 2设11(,)A x y、22(,)B xy是函数()f x图象上任意两点，且12xx，那么直线AB的斜率1212yykxx，1122121log(1)log(1)log1xxxaaaxayyaaa，当1a 时，由1知120 xx，121xxaa，12
14、011xxaa，121011xxaa，120yy，又120 xx，0k；当01a时，由1知120 xx，121xxaa，12110 xxaa ，12111xxaa，120yy，又120 xx，0k 函数()f x图象上任意两点连线的斜率都大于0 B 组 1函数2log030 xx xfxx（），（）（），那么14f f（）的值是B A9 B91 C9 D91 提示：211()log244f，211(2)349f ff（）2221,0,0 xyxy，且1log(1),log,1aaxmnxlogay等于 D Amn Bmn C1()2mn D1()2mn 提示：log(1),log(1),aax
15、mxn log(1)log(1),aaxxmn 2log(1),axmn即2log,aymn 2log,aymn1log()2aymn 3()log|1|(01)ag xxaa且在(1 0)，上有()0g x，那么1()xf xa是C A在(,0)上是增加的 B在(,0)上是减少的 C在(,1)上是增加的 D在(,1)上是减少的 提示：当(1 0)x ，时，0|1|1x，由()0g x 知01a，函数1()xf xa在(,0)上没有单调性，在(,1)上为增函数答案为 C 4 右图为幂函数xy 在第一象限的图象，那么1234,按由小到大的顺序排列为 3241 5 函数logayx在2,)上恒有1
16、y，那么a的取值范围是 1(,1)(1,2)2 提示：当01a时，函数()logayf xx在2,)上单调减，(2)log 20ayf 那么0101111log 2122aaaaa；当1a 时，函数()logayf xx在2,)上单调增，(2)log 20ayf 那么1112log 212aaaaa 综上：112a或12a 6 1假设0a，比拟12,(),0.22aaa的大小；2假设10a，比拟1333,aaa的大小 解：1当0a 时，幂函数ayx在(0,)上单调减，10.222，12()0.22aaa 2当10a 时，13330,0,0aaa，指数函数()xya 在(0,)上单调减，133，
17、1330()()aa ，1330aa，1333aaa 7求函数)1,0)(log2aaxxya的值域和单调区间 解：1由2xx 0 得01x，所以函数)(log2xxya的定义域是(0,1)因为 02xx=4141)21(2 x，所以，当01a时,41log)(log2aaxx，函数)(log2xxya的值域为1log,)4a 当1a 时,41log)(log2aaxx 函数)(log2xxya的值域为1(,log4a 2令2txx，那么logayt，当01a时，函数logayt在(0,)为减函数，2txx在1(0,2上是增函数，在1,1)2上是减函数，故所给函数在在1(0,2上是减函数，在1
18、,1)2上是增函数；当1a 时，函数logayt在(0,)为增函数，2txx在1(0,2上是增函数，在1,1)2上是减函数，故所给函数在在1(0,2上是增函数，在1,1)2上是减函数 8函数)(log)1(log11log)(222xpxxxxf.1求函数f(x)的定义域；2求函数f(x)的值域 解：1由1011111010 xxxxxxxxppxxp 或 函数的定义域不能为空集，故1p，函数的定义域为(1,)p 222221()log(1)()log(1)()log(1)1xf xxpxxpxxpxpx 令2221(1)(1)()()24ppxpxpxg x t=当1121pp，即13p时，t在(1,)p上单调减，()(1)g ptg，即022tp，2()1log(1)f xp，函数()f x的值域为2(,1log(1)p；当111221ppp即3p 时，1()()2pg ptg，即2(1)04pt 2()2log(1)2f xp，函数()f x的值域为2(,2log(1)2)p 综上：当13p时，函数()f x的值域为2(,1log(1)p；当3p 时，函数()f x的值域为2(,2log(1)2)p