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1、学必求其心得，业必贵于专精 1 穿越自测 一、选择题 1(2018全国卷理 3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A 解析 观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选 A 2（2018全国卷文 9）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M到 N 的路径中,最短路径的长度为()学必求其心得，业必贵于专
2、精 2 A217 B25 C3 D2 答案 B 解析 根据圆柱的三视图及其本身的特征，可以确定点 M 和点N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为错误!2错误!，故选 B 3（2018北京高考理 5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 由三视图可得正方体中四棱锥 PABCD,如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PD2，AD2,CD2，AB1，由勾股定理学必求其心得，业必贵于专精 3 可知,PA2错误!，PC2错误!，PB3,BC错误!，则在四棱锥 P
3、ABCD中,直角三角形有PAD，PCD，PAB 共三个，故选 C 4(2018浙江高考3）某几何体的三视图如图所示(单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是(）A2 B4 C6 D8 答案 C 解析 根据三视图可得该几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上、下底分别为1,2，梯形的高为 2，因此该几何体的体积为错误!(12）226，故选 C 5（2018全国卷文 9）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为()A错误!B错误!C错误!D错误!答案 C 解析 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以异面
4、直线 AE 与 CD 所成角为EAB，设正方体边长为 2a，则由 E 为棱 CC1学必求其心得，业必贵于专精 4 的中点,可得 CEa，所以 BE5a，则 tanEAB错误!错误!错误!故选 C 6（2018全国卷文 10）在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABBC2，AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为()A8 B6错误!C8错误!D8错误!答案 C 解析 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，连接 BC1，根据线面角的定义可知AC1B30,因为 AB2，错误!tan30,所以 BC12错误!，从而求得 CC1错误!2错误!，所以该长方体的体积为V222错误!
5、8错误!，故选 C 7（2018浙江高考8）已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC学必求其心得，业必贵于专精 5 所成的角为 1,SE 与平面 ABCD 所成的角为 2，二面角 SABC的平面角为 3，则()A123 B321 C132 D231 答案 D 解析 设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 的中点，过点 E作 BC 的平行线 EF，交 CD 于 F，过点 O 作 ON 垂直 EF 于 N，连接 SO,SN，OM,则 SO 垂直于底面 ABCD，OM 垂直于 AB，因此SEN1，SEO2,SMO3,1，
6、2，30，2，从而 tan1错误!错误!，tan2错误!,tan3错误!，因为 SNSO，EOOM,所以 tan1tan3tan2,即 132，故选 D 8（2018全国卷理 10）设 A,B，C，D 是同一个半径为 4的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其面积为 9错误!，则三棱锥DABC 体积的最大值为()A12错误!B18错误!C24错误!D54错误!答案 B 解析 如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点,学必求其心得，业必贵于专精 6 当 DM平面 ABC 时,三棱锥 DABC 体积最大,此时，ODOBR4 SABC错误!AB29错误!，AB6，点 M 为三
7、角形 ABC 的重心,BM错误!BE2错误!，在 RtABC 中,有 OM错误!2 DMODOM426,（V三棱锥 DABC）max错误!9错误!618错误!故选 B 9（2018全国卷理 12)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为()A错误!B错误!C错误!D错误!答案 A 解析 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在学必求其心得，业必贵于专精 7 正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 AB1D1与线 AA1，A1B1,A1D1所成的角是相等的，所以平面 AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面
8、C1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面 AB1D1与 C1BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为错误!,所以其面积为 S6错误!错误!2错误!,故选 A 二、填空题 10（2018天津高考文 11)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥 A1BDD1B1的体积为_ 答案 13 解析 如图所示，连接 A1C1，交 B1D1于点 O，很明显 A1C1平面 BDD1B1，则 A1O 是四棱锥 A1BDD1B1的高，且 A1O错误!A1C1学必求其心得，业必贵于专精 8 121212错误!，S 四边形 BD
9、D1B1BDDD121错误!，结合四棱锥的体积公式可得四棱锥 A1BDD1B1的体积为 V错误!S 四边形 BDD1B1A1O错误!错误!错误!错误!11(2018全国卷文 16)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30，若SAB 的面积为 8,则该圆锥的体积为_ 答案 8 解析 如图所示，SAO30，ASB90，又 SSAB12SASB12SA28,解得 SA4,所以 SO错误!SA2，AO错误!2错误!,所以该圆锥的体积为 V错误!OA2SO8 12(2018天津高考理 11）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的学必求其心得，业必贵于专精 9 棱长
10、为 1，除面 ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点 E,F，G，H，M（如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_ 答案 错误!解析 由题意可得,底面四边形 EFGH 是边长为错误!的正方形,其面积 S四边形 EFGH错误!2错误!，顶点 M 到底面四边形 EFGH 的距离为d12,由四棱锥的体积公式可得 V四棱锥 MEFGH错误!错误!错误!错误!13（2018江苏高考10）如图所示，正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_ 答案 错误!解析 由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为 2错误!（错
11、误!）21错误!三、解答题 14(2018北京高考文 18）如图,在四棱锥 PABCD 中，底学必求其心得，业必贵于专精 10 面 ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD，E，F 分别为 AD,PB 的中点 求证:(1）PEBC;(2)平面 PAB平面 PCD;（3）EF平面 PCD 证明（1）PAPD，且 E 为 AD 的中点，PEAD 底面 ABCD 为矩形，BCAD，PEBC（2）底面 ABCD 为矩形，ABAD 平面 PAD平面 ABCD，且交线为 AD，AB平面 PAD ABPD又 PAPD，ABAPA,PD平面 PAB，又PD 平面 PCD 平面 PAB平
12、面 PCD（3)如图,取 PC 的中点 G，连接 FG，GD 学必求其心得，业必贵于专精 11 F，G 分别为 PB 和 PC 的中点，FGBC，且 FG12BC 四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点,EDBC,DE错误!BC，EDFG，且 EDFG，四边形 EFGD 为平行四边形，EFGD 又 EF 平面 PCD，GD 平面 PCD，EF平面 PCD 15(2018江苏高考15）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB,AB1B1C1 求证：(1)AB平面 A1B1C；(2）平面 ABB1A1平面 A1BC 学必求其心得，业必贵于专精 12 证明（1)在平行六面体
13、ABCDA1B1C1D1中,ABA1B1 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C(2）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形 又因为 AA1AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，所以 AB1A1B 又因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC 又因为 A1BBCB,A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC 因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC 16(2018全国卷文 18）如图，在平行四边形 ABCM 中，学必求其心得，业必贵于专精 13
14、 ABAC3，ACM90，以 AC 为折痕将ACM 折起,使点 M到达点 D 的位置,且 ABDA (1)证明：平面 ACD平面 ABC；（2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BPDQ23DA,求三棱锥 QABP 的体积 解（1）证明：由已知可得BAC90，即 BAAC又ABDA,且ACDAA，所以 AB平面 ACD 又 AB 平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC（2)由已知可得，DCCMAB3，DA3错误!又 BPDQ错误!DA，所以 BP2错误!作 QEAC,垂足为 E,则 QE 綊错误!DC 由已知及(1）可得 DC平面 ABC,所以 QE平面 ABC，QE1 学必求其心
15、得，业必贵于专精 14 因此，三棱锥 QABP 的体积为 V三棱锥 QABP13QESABP错误!1错误!32错误!sin451 17（2018全国卷文 19)如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2错误!，PAPBPCAC4,O 为 AC 的中点 （1)证明：PO平面 ABC;(2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB,求点 C 到平面 POM 的距离 解（1）证明:因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点，所以POAC，且 PO2错误!连接 OB，因为 ABBC错误!AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB错误!AC2 由 PO2OB2PB2知 POOB 由 POOB,
16、POAC，ACOBO,知 学必求其心得，业必贵于专精 15 PO平面 ABC（2)作 CHOM，垂足为 H 又由(1)可得 POCH，所以 CH平面 POM 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离 由题设可知 OC错误!AC2,CM错误!BC错误!，ACB45 所以 OM错误!，CH错误!错误!所以点 C 到平面 POM 的距离为错误!18(2018全国卷文 19）如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 C错误!所在平面垂直，M 是 C错误!上异于 C,D 的点 (1)证明：平面 AMD平面 BMC；（2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由 解（1）证明：
17、由题设知,平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD 学必求其心得，业必贵于专精 16 因为 BCCD，BC 平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故BCDM 因为M为C错误!上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM 又 BCCMC,所以 DM平面 BMC 而 DM 平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC（2)当 P 为 AM 的中点时,MC平面 PBD 证明如下：连接 AC 交 BD 于 O因为 ABCD 为矩形，所以 O为 AC 中点 连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP 又 MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，所以 MC平面 PBD 19（2018天津高考文 1
18、7）如图，在四面体 ABCD 中，ABC是等边三角形，平面 ABC平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点,AB2，AD2错误!，BAD90 学必求其心得，业必贵于专精 17 (1)求证：ADBC;(2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；(3）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值 解（1)证明：由平面 ABC平面 ABD，平面 ABC平面 ABDAB，ADAB，可得 AD平面 ABC，故 ADBC（2）取棱 AC 的中点 N,连接 MN，ND 又因为 M 为棱 AB 的中点，故 MNBC 所以DMN（或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角 在 RtDAM 中，AM1,
19、故 DMAD2AM213 因为 AD平面 ABC，故 ADAC 在 RtDAN 中，AN1,故 DNAD2AN2错误!学必求其心得，业必贵于专精 18 在等腰三角形 DMN 中，由 MN1，可得 cosDMN错误!错误!所以异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为错误!(3)连接 CM因为ABC 为等边三角形,M 为边 AB 的中点，故CMAB，CM错误!又因为平面 ABC平面 ABD，且交线为 AB，而 CM 平面 ABC,故 CM平面 ABD 所以CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角 在 RtCAD 中，CD错误!4 在 RtCMD 中，sinCDMCMCD错误!所以直线 CD
20、 与平面 ABD 所成角的正弦值为错误!20（2018浙江高考，19）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2(1）证明：AB1平面 A1B1C1；(2）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值 学必求其心得，业必贵于专精 19 解（1）证明:由 AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB,得 AB1A1B122，所以 A1B错误!AB错误!AA错误!故 AB1A1B1 由 BC2,BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，得 B1C15，由 ABBC2,ABC120，得 AC2错误!
21、，由 CC1AC，得 AC1错误!，所以 AB错误!B1C错误!AC错误!，故AB1B1C1 又 A1B1B1C1B1，因此 AB1平面 A1B1C1 (2)如图，过点 C1作 C1DA1B1,交直线 A1B1于点 D，连接 AD 由 AB1平面 A1B1C1，得平面 A1B1C1平面 ABB1，由 C1DA1B1，得 C1D平面 ABB1，所以C1AD 是直线 AC1与平面 ABB1所成的角 由 B1C1错误!，A1B12错误!，A1C1错误!，得 cosC1A1B1错误!，sinC1A1B1错误!，所以 C1D错误!,故 sinC1AD错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 20 因此，直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是错误!