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1、*第一章节公式 1、数列极限的四则运算法则 如果,lim,limByAxnnnn那么 BAyxyxnnnnnnnlimlim)(lim BAyxyxnnnnnnnlimlim)(lim BAyxyxnnnnnnn.(lim).(lim).(lim）)0(limlimlimBBAyxyxnnnnnnn 推 广：上 面 法 则 可 以 推 广 到 有 限 多 个 数 列 的 情 况。例 如，若na，nb，nc有 极 限，则：nnnnnnnnnncbacbalimlimlim)(lim 特别地，如果 C 是常数，那么CAaCaCnnnnnlim.lim).(lim 2、函数极限的四算运则 如果,)(
2、lim,)(limBxgAxf那么 BAxgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)(lim BAxgxfxgxf)(lim)(lim)(lim)(lim)0)(lim()(lim)(lim)()(limxgBBAxgxfxgxf 推论设)(lim),(lim),.(lim),(lim),(lim321xfxfxfxfxfn都存在，k为常数，n为正整数，则有：)(lim.)(lim)(lim)(.)()(lim2111xfxfxfxfxfxfnn)(lim)(limxfkxkf nnxfxf)(lim)(lim 3、无穷小量的比较：.0lim,0lim,且穷小是同一过程中的两个无设);(,
3、0lim)1(o记作高阶的无穷小是比就说如果;),0(lim)2(同阶的无穷小是与就说如果CC;,1lim3记作是等价的无穷小量与则称如果）特殊地（.),0,0(lim)4(阶的无穷小的是就说如果kkCCk.,lim)5(低阶的无穷小量是比则称如果,0时较：当常用等级无穷小量的比x*.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx enexexxxnnxxxxx)11(lim)1(lim.)11(lim.1sinlim1000对数列有重要极限 第二章节公式 1.导数的定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 limx0 f(x0 x
4、)f(x0)xlimx0 fx，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0即f(x0)limx0 f(x0 x)f(x0)x.2导数的几何意义 函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即klimx0 f(x0 x)f(x0)xf(x0)3导函数(导数)当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作y，即f(x)ylimx0 f(xx)f(x)x.4几种常见函数的导数(1)c0(c为常数)，(2)(xn)nxn1(nZ)，(3)(ax)axlna(a0,a1),(ex)ex(4)(lnx)1x，(loga
5、x)1xlogae=axln1(a0,a1)(5)(sinx)cosx，(6)(cosx)sinx(7)xx2cos1)(tan,(8)xx2sin1)(cot(9)11(11)(arcsin2xxx,(10)11(11)(arccos2xxx(11)211)(arctanxx,(12)211)cot(xxarc 5函数的和、差、积、商的导数(uv)uv，(uv)uvuv uvuvuvv2，(ku)cu(k为常数)*(uvw)uvwuvw+uvw 微分公式：（1）为常数）cocd()(为任意实数）（adxaxxdaa()(21),1,0(ln1)(log)3(aadxaxdxa dxxxd1)
6、(ln)1,0(ln)(4aaadxaadxx）（dxeedxx)(xdxxdcos)(sin)5(xdxxdsin)(cos)6(7)dxxxd2cos1)(tan,(8)dxxxd2sin1)(cot(9)dxxx211)(arcsin,(10)dxxx211)(arccos(11)dxxxd211)(arctan,(12)dxxxarcd211)cot(6微分的四算运则 d(uv)dudv，d(uv)v duudv)0()(2vvudvvduvud d(ku)kdu(k为常数)洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。）或()()(lim)()(lim
7、)()(limAxgxfxgxfxgxfaxaxax 7.导数的应用：)(xf=0 的点为函数)(xf的驻点，求极值；(1)0 xx 时，0)(xf;时0 xx,0)(xf,为极大值点的极大值，为则00)()(xxfxf;(2)0 xx 时，0)(xf;时0 xx,0)(xf,为极小值点的极大值，为则00)()(xxfxf;(3)不是极值点。不是极值，么的两端的符号相同，那在如果000)()(xxfxxf;)(xf=0 的点为函数)(xf的拐点，求凹凸区间；为凸的（下凹）取值范围内，曲线的)(0)(xfyxxf 为凹的（上凹）取值范围内，曲线的)(0)(xfyxxf 第三章知识点概况 不定积分
8、的定义：函数 f(x)的全体原函数称为函数 f(x)的不定积分，记作dxxf)(，并称为积分符号，函数)(xf为被*积函数，dxxf)(为被积表达式，x 为积分变量。CxFdxxf)()(因此 不定积分的性质：dxxfdxxfdxfdxxf)()()()()1(或 CxFxdFCxFdxxF)()()()()2(或 dxxdxxdxxfdxxxxf)(.)()()(.)()()3()0()()()4(kkdxxfkdxxkf为常数且 基本积分公式：Cdx 0)1()1(11)2(1aCxadxxaa Cxdxxln1)3()1,0(ln1)4(aaCaadxaxxCedxexx)5(Cxxdx
9、cossin)6(Cxxdxsincos)7(Cxdxxtancos1)8(2 Cxdxxcotsin1)9(2 Cxdxxarcsin-11)10(2 Cxdxxarctan11)11(2 换元积分（凑微分）法：1.凑微分。对不定积分dxxg)(，将被积表达式 g(x)dx 凑成dxxxdxxg)()()(2.作变量代换。令duufdxxxfdxxgdxxxdduxu)()()()()()(),(变换带量凑微分代入上式得：则3.用公式积分，并用)(xu换式中的 uCxFCuFduuf)()()(回代公式 常用的凑微分公式主要有：)()(1)(1baxdbaxfadxbaxf）（)()(1)(
10、21baxdbaxfkadxxbaxfkkkk）（)()(21)(3xdxfdxxxf）（)1()1(1)1(42xdxfdxxxf）（)()()(5xxxxedefdxeef）（)(ln)(ln1)(ln6xdxfdxxxf）（)(sin)(sincos)(sin7xdxfxdxxf）（)(cos)(cossin)(cos8xdxfxdxxf）（)(tan)(tancos1)(tan92xdxfdxxxf）（)(cot)(cotsin1)(cot102xdxfdxxxf）（)(arcsin)(arcsin11)(arcsin112xdxfdxxxf）（)(arccos)(arccos11)(
11、arccos122xdxfdxxxf）（*)(arctan)(arctan11)(arctan132xdxfdxxxf）（)0)()()(ln)()(14xxddxxx）（分部积分法：udvuvvduvduuvudvudvvduuvxudvvduuvd或移项得积分得两边对)(适用于分部积分法求不定积分的常见题型及 u 和 dv 的选取法 dxedvxPudxxPeaxax),()(1设）（axdxdvxPuaxdxxPsin),(sin)(2设）（axdxdvxPuaxdxxPcos),(cos)(3设）（dxxPdvxuxdxxP)(,lnln)(4设）（dxxPdvxuxdxxP)(,ar
12、csinarcsin)(5设）（dxxPdvxuxdxxP)(,arctanarctan)(6设）（为任意选取，其中为任意选取，其中）（vubxdxevubxdxeaxax,cos,sin7 上述式中的 P（x)为 x 的多项式，a,b 为常数。一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。定积分:此式子是个常数）（iniibaxfndxxf)(lim)(10(1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数 f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的字母无关，即应有babadttfdxxf)()(（2）
13、在定积分的定义中，我们假定 ab;如果 b0,称 类似地，如果 P(A)0，则事件 B 对事件 A 的条件概率为 概率的乘法公式 乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件 A,B,C,有 事件的独立性 一般地说,P(AB)P(A)，即说明事件 B 的发生影响了事件 A 发生的概率。若 P(AB)P(A)，则说明事件 B 的发生在概率意义下对事件 A 的发生无关,这时称事件 A，B 相互独立。定义：对于事件 A，B，若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立。独立试验序列概型 在相同的条件下，独立重复进行 n 次试验，每次试验中事件 A 可能发生或可能不发生，且事
14、件 A 发生的概率为 p，则在n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 一维随机变量及其概率分布（一）随机变量 1.随机变量 定义：设为样本空间，如果对每一个可能结果，变量 X 都有一个确定的实数值与之对应，则称 X 为定义在上的随机变量，简记作。2.离散型随机变量 定义：如果随机变量 X 只能取有限个或无限可列个数值，则称 X 为离散型随机变量。（二）分布函数与概率分布 1.分布函数 定义：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，则函数称为随机变量 X 的分布函数。分布函数 F(x)有以下性质：*（2）F(x)是 x 的不减函数，即对任意 （4）F(x)是右连续的，即 （5）对任意实数
15、 ab,有 PaXb=F(b)-F(a)2.离散型随机变量的概率分布 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布（或概率函数或分布列）。离散型随机变量 X 的概率分布也可以用下列列表形式来表示：3.分布函数与概率分布之间的关系 若 X 为离散型随机变量，则。随机变量的数字特征 1.数学期望 （1）数学期望的概念 定义：设 X 为离散型随机变量，其概率函数为 若级数绝对收敛，则称为 X 的数学期望，简称期望或均值，记作 EX，即 （2）数学期望的性质 若 C 为常数，则 E(C)=C 若 a 为常数，则 E(aX)=aE(X)若 b 为常数，则 E(X+b)=E(X)+b 若 X,Y 为随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差 （1）方差的概念 定义：设 X 为随机变量，如果存在，则称为 X 的方差，记作 DX，即 方差的算术平方根称为均方差或标准差，对于离散型随机变量 X，如果 X 的概率函数为，则 X 的方差为 （2）方差的性质 若 C 为常数，则 D(C)=0 若 a 为常数，则 若 b 为常数，则 D(X+b)=D(X)