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1、*第一章 函数、极限和连续 1.1 函数 一、主要内容 函数的概念 1.函数的定义:y=f(x),xD 定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:21)()(DxxgDxxfy 3.隐函数:F(x,y)=0 4.反函数:y=f(x)x=(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。函数的几何特性 1.函数的单调性:y=f(x),xD,x1、x2D 当 x1x2时,若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D
2、 内单调增加()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内单调减少()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调增加()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x(-，+)周期：T最小的正数 4.函数的有界性：|f(x)|M,x(a,b)基本初等函数 1.常数函数：y=c，(c 为常数)2.幂函数：y=xn,(n 为实数)3.指数函数：y=ax,(a0、a1)4.对数函数：y=loga x
3、,(a0、a1)5.三角函数：y=sin x,y=con x y=tan x,y=cot x y=sec x,y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x,y=arccon x y=arctan x,y=arccot x*复合函数和初等函数 1.复合函数：y=f(u),u=(x)y=f(x),xX 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 1.2 极 限 一、主要内容 极限的概念 1.数列的极限:Aynnlim 称数列 ny以常数 A 为极限;或称数列 ny收敛于 A.定理:若 ny的极限存在 ny必定有界.2.函
4、数的极限：当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim 当0 xx 时，)(xf的极限：Axfxx)(lim0 左极限：Axfxx)(lim0 右极限：Axfxx)(lim0 函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000 无穷大量和无穷小量 1.无穷大量：)(limxf 称在该变化过程中)(xf为无穷大量。*X 再某个变化过程是指：,xxx000,xxxxxx 2.无穷小量：0)(limxf 称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)(,)(1lim0)(limxfxfxf 4
5、.无穷小量的比较：0lim,0lim 若0lim,则称是比较高阶的无穷小量；若clim（c 为常数），则称与同阶的无穷小量；若1lim，则称与是等价的无穷小量，记作：；若lim,则称是比较低阶的无穷小量。定理：若：；，2211 则：2121limlim 两面夹定理 1 数列极限存在的判定准则：设：nnnzxy（n=1、2、3）且：azynnnnlimlim 则：axnnlim 2 函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点 （点 x0除外）有：)()()(xhxfxg 且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00*则：Axfxx)(lim0 极限的运算规则 若：BxvAxu
6、)(lim,)(lim 则：BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim )0)(limxv 推论：)()()(lim21xuxuxun )(lim)(lim)(lim21xuxuxun)(lim)(limxucxuc nnxuxu)(lim)(lim 两个重要极限 11sinlim0 xxx 或 1)()(sinlim0)(xxx 2exxx)11(lim exxx10)1(lim 1.3 连续 一、主要内容 函数的连续性 1.函数在0 x处连续：)(xf在0 x的邻域内
7、有定义，1o0)()(limlim0000 xfxxfyxx 2o)()(lim00 xfxfxx 左连续：)()(lim00 xfxfxx 右连续：)()(lim00 xfxfxx 2.函数在0 x处连续的必要条件：*定理：)(xf在0 x处连续)(xf在0 x处极限存在 3.函数在0 x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx 4.函数在ba,上连续：)(xf在 ba,上每一点都连续。在端点a和b连续是指：)()(limafxfax 左端点右连续；)()(limbfxfbx 右端点左连续。a+0 b-x 5.函数的间断点：若
8、)(xf在0 x处不连续，则0 x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o)(xf在0 x处无定义；2o)(lim0 xfxx不存在；3o)(xf在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx都存在。可去间断点：)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx，或)(xf在0 x处无定义。*2o第二类间断点：特点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一个为，或)(lim0 xfxx振荡不存在。无穷间断点：)(lim0 xfxx和)(lim
9、0 xfxx至少有一个为 函数在0 x处连续的性质 1.连续函数的四则运算：设)()(lim00 xfxfxx，)()(lim00 xgxgxx 1o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 2o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 3o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx 0)(lim0 xgxx 2.复合函数的连续性：)(),(),(xfyxuufy )()(lim),()(lim0)(000 xfufxxxuxx 则：)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 3.反函数的连续性：)(),(),(001xfyxfxxfy )()(lim)(
10、)(lim011000yfyfxfxfyyxx *函数在,ba上连续的性质 1.最大值与最小值定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定存在最大值与最小值。y y +M M f(x)f(x)0 a b x m -M 0 a b x a)有界定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在,ba上连续在),(ba内至少存在一点 ，使得：cf)(，其中：Mcm y y M f(x)C f(x)0 a b x m 0 a 1 2 b x*推论：)(xf在,ba上连续，且)(af与)(bf异号在),(ba内至少 存在一点，使得：0)(f。b)初等函数的连续性：初
11、等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分 一、主要内容 导数的概念 1导数：)(xfy 在0 x的某个邻域内有定义，xxfxxfxyxx)()(limlim0000 00)()(lim0 xxxfxfxx 00)(0 xxxxdxdyxfy 2左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx 定理：)(xf在0 x的左（或右）邻域上连续在 其内可导，且极限存在；则：)(lim)(00 xfxfxx （或：)(lim)(00 xfxfxx）3.函数可导的必要条件：定理：)(xf在0 x处可导)(x
12、f在0 x处连续 4.函数可导的充要条件：定理：)(00 xfyxx存在)()(00 xfxf，且存在。5.导函数：),(xfy ),(bax )(xf在),(ba内处处可导。y )(0 xf )(xf 6.导数的几何性质：y*)(0 xf 是曲线)(xfy 上点 x 00,yxM处切线的斜率。o x0 x 求导法则 1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1o vuvu)（2o vuvuvu )（3o 2vvuvuvu )0(v 3.复合函数的导数：)(),(),(xfyxuufy dxdududydxdy，或)()()(xxfxf 注意)(xf与)(xf的区别：)(xf表示复合函数对自变量x
13、求导；)(xf表示复合函数对中间变量)(x求导。4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或 )4,3,2(,)()()1()(nxfxfnn 函数的 n 阶导数等于其 n-1 导数的导数。微分的概念 1.微分：)(xf在x的某个邻域内有定义，)()(xoxxAy 其中：)(xA与x无关，)(xo 是比x较高 阶的无穷小量，即：0)(lim0 xxox 则称)(xfy 在x处可微，记作：xxAdy)(dxxAdy)()0(x*2.导数与微分的等价关系：定理：)(xf 在x处可微)(xf在x处可导，且：)()(xAxf 3.微分形式不变性：duufdy)(不论 u 是自变量，还是中间变量，
14、函数的 微分dy都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 中值定理 1.罗尔定理:)(xf满足条件:.0)(,),().()(3;),(2,10.0.0.fbabfafbaba使得存在一点内至少在内可导在上连续；在 y )(f )(f )(xf )(xf a o b x a o b x 2.拉格朗日定理：)(xf满足条件:abafbffbababa)()()(),(),(2,100，使得：在一点内至少存在内可导；在上连续，在 罗必塔法则：（,00 型未定式）定理：)(xf和)(xg满足条件：*1o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax；2o在点 a 的某个邻域
15、内可导，且0)(xg；3o）（或,)()(lim)(Axgxfax 则：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax 注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是00型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。4o若)(xf 和)(xg还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：）（或 Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()(5o若函数是,0型可采用代数变 形，化成00或型；若是00,0,1型可 采用对数或指数变形，化
16、成00或型。导数的应用 1 切线方程和法线方程：设：),(),(00yxMxfy 切线方程：)(000 xxxfyy 法线方程：)0)(),()(10000 xfxxxfyy*2 曲线的单调性：),(0)(baxxf内单调增加；在),()(baxf),(0)(baxxf内单调减少；在),()(baxf),(0)(baxxf内严格单调增加；在),(ba ),(0)(baxxf内严格单调减少。在),(ba 3.函数的极值：极值的定义：设)(xf在),(ba内有定义，0 x是),(ba内的一点；若对于0 x的某个邻域内的任意点0 xx，都有：)()()()(00 xfxfxfxf或 则称)(0 xf
17、是)(xf的一个极大值（或极小值），称0 x为)(xf的极大值点（或极小值点）。极值存在的必要条件：定理：0)()(.2)()(.100000 xfxfxfxf存在。存在极值 0 x称为)(xf的驻点 极值存在的充分条件：定理一：是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在000000000)()(.3)(0)(.2)(.1xxfxxfxfxfxxf 当x渐增通过0 x时，)(xf由（+）变（-）；则)(0 xf为极大值；当x渐增通过0 x时，)(xf由（-）变（+）；则)(0 xf为极小值。定理二：是极值点。是极值；存在。；000000)()(.20)(.1xxfxfxf 若0)(0 x
18、f，则)(0 xf为极大值；*若0)(0 xf，则)(0 xf为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。4曲线的凹向及拐点：若baxxf,0)(；则)(xf在),(ba内是上凹的（或凹的），（）；baxxf,0)(；则)(xf在),(ba内是下凹的（或凸的），（）；的拐点。为称时变号。过，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf 5。曲线的渐近线：水平渐近线：的水平渐近线。是或若)()(lim)(limxfAyAxfAxfxx 铅直渐近线：的铅直渐近线。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx 第三章 一元函数积分学 3.1 不定积分 一、主
19、要内容 重要的概念及性质：1原函数：设：DxxFxf),(),(若：)()(xfxF 则称)(xF是)(xf的一个原函数，并称CxF)(是)(xf的所有原函数,其中 C 是任意常数。2不定积分：函数)(xf的所有原函数的全体，称为函数)(xf的不定积分；记作：CxFdxxf)()(其中：)(xf称为被积函数；*dxxf)(称为被积表达式；x称为积分变量。3.不定积分的性质：)()(xfdxxf 或：dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(或：Cxfxdf)()(dxxfxfxfn)()()(21 dxxfdxxfdxxfn)()()(21 分项积分法 dxxfkdxxkf)()(k 为
20、非零常数)4.基本积分公式：换元积分法：第一换元法：（又称“凑微元”法）dxxxf)()()()(xdxf凑微元 CtFdttfxt)()()(令 CxFxt)()(回代 常用的凑微元函数有：1o)(1)(1baxdaaxdadx )0,(aba为常数，2o)()1(11111baxdmadxmdxxmmm 为常数）（m 3o)(1)(baedaeddxexxx )1,0(),(ln1aaadadxaxx 4o)(ln1xddxx*5o)(sincos)(cossinxdxdxxddx )(cotcsc)(tansec22xdxdxxdxdx 6o)(arccos)(arcsin112xdxd
21、dxx )cot()(arctan112xarcdxddxx 2.第二换元法：)()()()(tdtfdxxftx令 CtFdxtft)()()(CxFxt)(1)(1反代 第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1o 0,tntxn为偶数时 (当被积函数中有nx时)2o 20),cos(,sintxaxtax或 (当被积函数中有22xa 时)3o)0(,0),cot(,tan22tttaxtax或 (当被积函数中有22xa 时)4o)0(,0),csc(,sec22tttaxtax或 (当被积函数中有22ax 时)*分部积分法：1.分部积分公式：vd
22、xuvudxvuvduvuudv 2.分部积分法主要针对的类型：xdxxPxdxxPcos)(,sin)(dxexPx)(xdxxPln)(xdxxPxdxxParccos)(,arcsin)(xdxarcxPxdxxPcot)(,arctan)(bxdxebxdxeaxaxcos,sin 其中：nnnaxaxaxP110)(（多项式）3.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令uxP)(，其余记作 dv;简称“三多选多”。在指数函数乘多项式中，令uxP)(，其余记作 dv;简称“指多选多”。在多项式乘对数函数中，令ux ln，其余记作 dv;简称“多对选对”。在多项式乘反三角函数中，选反三角函
23、数 为 u，其余记作 dv;简称“多反选反”。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为 u，其余记作 dv;简称“指三任选”。简单有理函数积分：1.有理函数：)()()(xQxPxf 其中)()(xQxP和是多项式。2.简单有理函数：*21)()(,1)()(xxPxfxxPxf )()()(bxaxxPxf baxxPxf2)()()(3.2 定积分 f(x)一 主要内容（一）.重要概念与性质 1.定积分的定义：O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1 b x iiibaniiinxxxxfdxxf,)()(110lim 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介
24、于 x 轴，曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积取正号，y x 轴下方的面积取负号。+a 0 -b x 2.定积分存在定理：baxxfy,)(设：若：f(x)满足下列条件之一:;,)(.2;,)(.1点上有有限个第一类间断在连续，baxfbaxxf 上可积。在则：上单调有界在baxfbaxf,)(;,)(.3*若积分存在，则积分值与以下因素无关：上任意选取。可以在的选取无关，即与点可以任意划分上的划分无关，即与在即与积分变量形式无关，iiiibabaxxbabadttfdxxf,13;,2;)()(1 有关。与区间积分值仅与被积函数,)(baxf
25、3.牛顿莱布尼兹公式：)()()()(,)()(aFbFxFdxxfbaxfxFbaba则：上的任意一个原函数：在是连续函数若 牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4.原函数存在定理：)()()(,)()(,)()(,)(xfdttfxbaxfxbaxdttfxbaxxfxaxa且：上的一个原函数，在是则：连续，若 5.定积分的性质：上可积，则：在设,)(),(baxgxf babadxxfkdxxkf)()(1 abbadxxfdxxf)()(2 0)(4)()()()(3dxxfdxxgdxxfdxxgxfaabababa
26、*)()()()(5bcadxxfdxxfxfbccaba abdxba16 y y y f(x)g(x)1 f(x)0 a c b x 0 a b x 0 a b x dxxgdxxfbxaxgxfbaba)()()(),()(7则 上的最小值和最大值。在分别为其中估值定理：baxfMmabMdxxfabmba,)(,)()()(8 y y M f(x)f(x)m 0 a b x 0 a b x )()()(,)(9abfdxxfbabaxxfba使则：必存在一点连续若积分中值定理：*（二）定积分的计算：1.换元积分 )(,)(txbaxxf，连续，设 ,)(tt 连续，若 ,)(,)(,)
27、(babatt变到单调地从时，变到从且当 dtttfdxxfba)()()(则：2.分部积分 bababavduvuudv 3.广义积分 00)()()(dxxfdxxfdxxf 4.定积分的导数公式 )()(1xfdttfxax（)()()(2)(xxfdttfxxa )()()()()(31122)()(21xxfxxfdttfxxx (三)定积分的应用 1.平面图形的面积:)(,0)(1babxaxxfy由 与 x 轴所围成的图形的面积 y f(x)badxxfs)()(),(),(221gfxgyxfy由 dxxgxfsbxaxba)()(,所围成的图形的面积与*)(),(),(321
28、yxyx由 dyyysdycydc)()(,所围成的图形的面积与：求平面图形面积的步骤.4.求出曲线的交点，画出草图；.确定积分变量，由交点确定积分上下限；.应用公式写出积分式，并进行计算。2.旋转体的体积 bxaxxfy,0)(1与曲线 及 x 轴所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积：dxxfVbax)(2 0 a b x dycyyx,0)(2与由曲线 及 y 轴所围成图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积：dyyVdcy)(2 *第四章 多元函数微积分初步 4.1 偏导数与全微分 一.主要内容：.多元函数的概念 c)二元函数的定义：Dyxyxfz),(),()(fD定义域：d)二元函数的几
29、何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）.二元函数的极限和连续：1.极限定义：设 z=f(x,y)满足条件：的某个领域内有定义。在点),(100yx 可除外）（点),(00yx Ayxfyyxx),(lim200。极限存在，且等于在则称Ayxyxfz),(),(00 2.连续定义：设 z=f(x,y)满足条件：的某个领域内有定义。在点),(100yx),(),(lim20000yxfyxfyyxx 处连续。在则称),(),(00yxyxfz .偏导数：点在定义),(),(:00yxyxf xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000 yyxfyyxfyx
30、fyy),(),(lim),(0000000 的偏导数。处对在分别为函数yxyxyxfyxfyxfyx,),(),(),(),(000000 处的偏导数记为：内任意点在),(),(yxDyxfz *xxzxzxyxfyxf),(),(yyzyzyyxfyxf),(),(.全微分：1.定义：z=f(x,y),(),(yxfyyxxfz若 )(oyBxA）是比（无关，、与、其中，oyxBA 较高阶的无穷小量。22yx yBxAyxdfdz),(:则),(yxfz 是 在点(x,y)处的全微分。3.全微分与偏导数的关系.),(),(),(Dyxyxfyxfyx连续，定理：若 处可微且在点则：),()
31、,(yxyxfz dyyxfdxyxfdzyx),(),(.复全函数的偏导数：1.),(),(),(yxvvyxuuvufz设：),(),(yxvyxufz xvvzxuuzxz则：yvvzyuuzyz*2.)(),(),(xvvxuuvufy设)(),(xvxufy dxdvvydxduuydxdy .隐含数的偏导数：1.0),(,0),(zFyxfzzyxF且设 zyzxFFyzFFxz,则 2.0),(,0),(yFxfyyxF且设 yxFFdxdy则 .二阶偏导数：)(),(22xzxxzyxfxx )(),(22yzyyzyxfyy )(),(2xzyyxzyxfxy )(),(2y
32、zxxyzyxfyx 的连续函数时，为和结论：当yxyxfyxfyxxy,),(),(),(),(yxfyxfyxxy 则：.二元函数的无条件极值 1.二元函数极值定义：某一个邻域内有定义，在设),(),(00yxyxz ),(),(),(),(0000yxzyxzyxzyxz或若*,)(),(),(00值或极小的一个极大是则称yxzyxz 值点。或极小的一个极大是称)(),(),(00yxzyx 极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。2.极值的必要条件：),(),(),(0000yxyxyxfz有极值，且在在点若 两个一阶偏导数存在，则：0),(0),(0000yxfyx
33、fyx，的点使),(0),(),(1000000yxyxfyxfyx 的驻点。称为)(,yxfz 的必要条件，定理的结论是极值存在2 而非充分条件。例：122xyz 00020200yxyzxzyx解出驻点 1)0,0(z 11),0(0,02yyzyx时，当 11)0,(0,02xxzyx时，当 驻点不一定是极值点。e)极值的充分条件：的某个领域内在设：函数),(),(00yxyxfy 为驻点，有二阶偏导数，且),(00yx),(),(),(0000200yxfyxfyxfpyyxxxy 若：为极小值。时，为极大值。时，且当：),(0),(),(0),(000000000yxfyxfyxfy
34、xfpxxxx不是极值。当：),(,000yxfp*不能确定。当：,0p 求二元极值的方法：一阶偏导数等于零，求一阶偏导数，令两个1 解出驻点。判断驻点是否是根据极值的充分条件，求出,2p 极值点。极值。若驻点是极值点，求出3 二倍角公式：(含万能公式)212cossin22sintgtg 22222211sin211cos2sincos2costgtg*2122tgtgtg 22cos11sin222tgtg 22cos1cos2 第五章排列与组合 （1）加法原理：完成一件事情与分类有关，即每一类各自独立完成，此事即可完成。（2）乘法原理：完成一件事情与步骤有关，即一次完成每一步骤，此事才能
35、完成。排列：从 n 个不同元素里，任取)1(nm 个元素，按照一定的顺序排列成一列，称为从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个排列，计算公式：1!0,!)!(!)1().2)(1(nnnPmnnmnnnnmnP规定 组合：从 n 个不同元素里，任取)1(nm 个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合，组合总数记为）或（nnmnC，计算公式：10)!(!)1().2)(1(nCmnmnmmnnnnmnC规定 11),2(mnCmnCmnCnmmnnCmnC组合的性质：mmPmnPmnCmmPmnCmnP或 第六章概率论 符号 概率论 集合论 样本空间 全集 不可能事
36、件 空集 基本事件 集合的元素 A 事件 子集 A 的对立事件 A 的余集 事件 A 发生导致 事件 B 发生 A 是 B 的子集 A=B A 与 B 两事件相等 集合 A 与 B 相*等 事件 A 与事件 B 至少有一个发生 A 与 B 的并集 事件 A 与事件 B 同时发生 A 与 B 的交集 A-B 事件 A 发生而事件 B 不发生 A 与 B 的差集 事件 A 与事件 B 互不相容 A与B没有相同元素 由于随机事件都可以用样本空间中的某个集合来表示，于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示，为了直观，可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则，一般用某个矩形区域表示
37、样本空间，该区域的一个子区域表示某个事件。于是各事件的关系运算如图中的图示所示。各事件的关系运算如图示：9.完备事件组 n 个事件，如果满足下列条件：（1）；（2），则称其为完备事件组。显然任何一个事件 A 与其对立事件 构成完备事件组。10.事件运算的运算规则：（1）交换律 （2）结合律 （3）分配律*（4）对偶律 率的古典定义 定义：在古典概型中，若样本空间所包含的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件A 发生的概率为。概率的基本性质与运算法则 性质 1.0P(A)1 特别地，P()=0，P()=1 性质 2.若，则 P(B-A)=P(B)-P(A)性质 3.（加法公
38、式）对任意事件 A，B，有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)。推论 1.若事件 A，B 互不相容（互斥），则 P(A+B)=P(A)+P(B)推论 2.对任一事件 A,有 推论 3.对任意事件 A，B，C，有 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)条件概率、乘法公式、事件的独立性 条件概率 定义 1：设有事件 A，B，且 P(B)0,称 类似地，如果 P(A)0，则事件 B 对事件 A 的条件概率为 概率的乘法公式 乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件 A,B,C,有 事件的独立性 一般地说,P(AB)P(A)，即说
39、明事件 B 的发生影响了事件 A 发生的概率。若 P(AB)P(A)，则说明事件 B 的发生在概率意义下对事件 A 的发生无关,这时称事件 A，B 相互独立。定义：对于事件 A，B，若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立。独立试验序列概型 在相同的条件下，独立重复进行 n 次试验，每次试验中事件 A 可能发生或可能不发生，且事件 A 发生的概率为 p，则在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 *一维随机变量及其概率分布 （一）随机变量 1.随机变量 定义：设为样本空间，如果对每一个可能结果，变量 X 都有一个确定的实数值与之对应，则称 X 为定义在上的
40、随机变量，简记作。2.离散型随机变量 定义：如果随机变量 X 只能取有限个或无限可列个数值，则称 X 为离散型随机变量。（二）分布函数与概率分布 1.分布函数 定义：设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，则函数称为随机变量 X的分布函数。分布函数 F(x)有以下性质：（2）F(x)是 x 的不减函数，即对任意 （4）F(x)是右连续的，即 （5）对任意实数 ab,有 PaXb=F(b)-F(a)2.离散型随机变量的概率分布 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布（或概率函数或分布列）。离散型随机变量 X 的概率分布也可以用下列列表形式来表示：3.分布函数与概率分布之间的关系 若 X 为离散
41、型随机变量，则。随机变量的数字特征 1.数学期望 （1）数学期望的概念 定义：设 X 为离散型随机变量，其概率函数为*若级数绝对收敛，则称为 X 的数学期望，简称期望或均值，记作 EX，即 （2）数学期望的性质 若 C 为常数，则 E(C)=C 若 a 为常数，则 E(aX)=aE(X)若 b 为常数，则 E(X+b)=E(X)+b 若 X,Y 为随机变量，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.方差 （1）方差的概念 定义：设 X 为随机变量，如果存在，则称为 X 的方差，记作 DX，即 方差的算术平方根称为均方差或标准差，对于离散型随机变量 X，如果 X 的概率函数为，则 X 的方差为 （
42、2）方差的性质 若 C 为常数，则 D(C)=0 若 a 为常数，则 若 b 为常数，则 D(X+b)=D(X)基本公式 由aNbNba()log()12（1）对数的性质：负数和零没有对数；1 的对数是零；底数的对数等于 1。（2）对数的运算法则：logloglogaaaMNMNMNR，logloglogaaaMNMNMNR，logloganaNnNNR logloganaNnNNR1*3、对数换底公式：loglogloglog(.)logbaanegNNbLNNeNLNN其中 称为 的自然对数称为常数对数27182810 由换底公式推出一些常用的结论：（1）loglogloglogababb
43、aba11或 （2）loglogamanbmnb （3）loglogananbb （4）logamnamn 1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx 1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx y=tanx322-32-2oyx y=cotx3222-2oyx 三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk，*1、数列极限的存在准则 定理 1.3（两面
44、夹准则）若数列xn,yn,zn满足以下条件：（1），（2），则 定理 1.4 若数列xn单调有界，则它必有极限。2、数列极限的四则运算定理。（1）（2），（3）当时，3、当 xx0时，函数 f（x）的极限等于 A 的必要充分条件是 这就是说：如果当 xx0时，函数 f（x）的极限等于 A，则必定有左、右极限都等于 A。反之，如果左、右极限都等于 A，则必有。4、函数极限的定理 定理 1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理 1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：*（1），（2），则有。推论：（1）（2），（3）5、无穷小量的基本性质 性质 1 有限个无穷小量
45、的代数和仍是无穷小量；性质 2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质 3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质 4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。6、等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。7、重要极限 8、重要极限是指下面的公式：9、（2）（3）（4）*10、函数在一点处连续的性质 由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。定理 1.12（四则运算）设函数 f（x），g（x）在 x0处均连续，则 （1）f（x）g（x）在 x0处连续 ，（2）f（x）g（x）
46、在 x0处连续 （3）若 g（x0）0，则在 x0处连续。定理 1.13（复合函数的连续性）设函数 u=g（x）在 x=x0处连续，y=f（u）在 u0=g（x0）处连续，则复合函数 y=fg（x）在 x=x0处连续。定理 1.14（反函数的连续性）设函数 y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数 x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）闭区间上连续函数的性质 在闭区间a，b上连续的函数 f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理 1.15（有界性定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，则 f（x）必在a，b上有
47、界。定理 1.16（最大值和最小值定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理 1.17（介值定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 C，在a，b上至少存在一个，使得 f（）=C 11、闭区间上连续函数的性质 在闭区间a，b上连续的函数 f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。定理 1.15（有界性定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，则 f（x）必在a，b上有界。定理 1.16（最大值和最小值定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，则在这个
48、区间上一定存在最大值和最小值。定理 1.17（介值定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 C，在a，b上至少存在一个，使得 f（）=C 12、推论（零点定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，且 f（a）与 f（b）异号，则在a，b内至少存在一个点，使得 f（）=0 13、初等函数的连续性 定理 1.18 初等函数在其定义的区间内连续。利用初等函数连续性的结论可知：如果 f（x）是初等函数，且 x0是定义区间内的点，则 f（x）在 x0处连续 也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在
49、该点的函数值即可。14、可导与连续的关系 定理 2.1 如果函数 y=f（x）在点 x0处可导，则它在 x0处必定连续。15、由这个定理可知：若函数 f（x）在 x0不连续，则 f（x）在 x0处必定不可导。16、导数的计算 1.基本初等函数的导数公式 （1）（C）=0（2）（x）=x-1 （3）（4）（5）（ax）=axlna（a0,a1）（6）（ex）=ex （7）（8）*（9）（sinx）=cosx（10）（cosx）=-sinx （11）（12）（13）（secx）=secxtanx（14）（cscx）=-cscxcotx （15）（16）（17）（18）2.导数的四则运算法则 设 u
50、=u（x），v=v（x）均为 x 的可导函数，则有 （1）（uv）=uv （2）（uv）=uv+uv （3）（cu）=cu （4）（5）（6）（uvw）=uvw+uvw+uvw 3.复合函数求导法则 如果 u=（x）在点 x 处可导，而 y=f（u）在相应的点 u=（x）处可导，则复合函数 y=f（x）在点 x 处可导，且其导数为 同理，如果 y=f（u），u=（v），v=（x），则复合函数 y=f（x）的导数为 4.反函数求导法则 如果 x=（y）为单调可导函数，则其反函数 y=f（x）的导数 17、微分的计算 dy=f(x)dx 求微分 dy 只要求出导数 f(x)再乘以 dx，所以我们前