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1、|第一章节公式 1、数列极限的四则运算法则 如果 那么 , lim , lim B y A x n n n n B A y x y x n n n n n n n lim lim ) ( lim B A y x y x n n n n n n n lim lim ) ( limB A y x y x n n n n n n n . ( lim ). ( lim ) . ( lim ） ) 0 ( lim lim lim B B A y x y x n n n n n n n 推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。例如，若 ， ， 有极限，则： n a n b n c n n n n n
2、n n n n n c b a c b a lim lim lim ) ( lim 特别地，如果C是常数，那么 CA a C a C n n n n n lim . lim ) . ( lim 2、函数极限的四算运则 如果 那么 , ) ( lim , ) ( lim B x g A x f B A x g x f x g x f ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( lim B A x g x f x g x f ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) 0 ) ( lim ( ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g B B
3、 A x g x f x g x f 推论设 都存在， 为常数， 为正整数，则有： ) ( lim ), ( lim ),. ( lim ), ( lim ), ( lim 3 2 1 x f x f x f x f x f n k n ) ( lim . ) ( lim ) ( lim ) ( . ) ( ) ( lim 2 1 1 1 x f x f x f x f x f x f n n ) ( lim ) ( lim x f k x kf n n x f x f ) ( lim ) ( lim 3、无穷小量的比较： . 0 lim , 0 lim , , 且 穷小 是同一过程中的两个无
4、 设 ); ( , , 0 lim ) 1 ( o 记作 高阶的无穷小 是比 就说 如果 ; ), 0 ( lim ) 2 ( 同阶的无穷小 是与 就说 如果 C C ; ; , 1 lim 3 记作 是等价的无穷小量 与 则称 如果 ）特殊地 （ . ), 0 , 0 ( lim ) 4 ( 阶的无穷小 的 是 就说 如果 k k C C k . , lim ) 5 ( 低阶的无穷小量 是比 则称 如果 , 0时 较：当 常用等级无穷小量的比 x|. 2 1 cos 1 , 1 , ) 1 ln( , arctan , tan , arcsin , sin 2 x x x e x x x x
5、 x x x x x x x e n e x e x x x n n x x x x x ) 1 1 ( lim ) 1 ( lim . ) 1 1 ( lim . 1 sin lim 1 0 0 0 对数列有 重要极限 第二章节公式 1.导数的定义： 函数yf(x)在xx 0 处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数 yf(x)在xx 0 处的导数，记作f(x 0 )或y|xx 0 即 limx0 f(x0x)f(x0) x limx0 f x f(x 0 ) . limx0 f(x0x)f(x0) x 2导数的几何意义 函数f(x)在xx 0 处的导数就是切线的斜率k，即 k f(x 0 ) l
6、imx0 f(x0x)f(x0) x 3导函数(导数) 当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作y，即 f(x)y . limx0 f(xx)f(x) x 4几种常见函数的导数 (1)c0(c为常数)，(2)(x n )nx n1 (nZ)，(3)(a x )a x lna(a0,a 1), (e x )e x (4)(lnx) ，(log a x) log a e= (a0,a 1) 1 x 1 x a xln 1 (5)(sinx)cosx，(6)(cosx)sinx (7) , (8) x x 2 cos 1 ) (tan
7、 x x 2 sin 1 ) (cot (9) , (10) ) 1 1 ( 1 1 ) (arcsin 2 x x x ) 1 1 ( 1 1 ) (arccos 2 x x x (11) , (12) 2 1 1 ) (arctan x x 2 1 1 ) cot ( x x arc 5函数的和、差、积、商的导数 (uv)uv，(uv)uvuv ，(ku)cu(k为常数) ( u v ) uvuv v2 (uvw)uvwuvw+ uvw|微分公式： （1）为常数） c o c d ( ) ( 为任意实数） ） （ a dx ax x d a a ( ) ( 2 1 ), 1 , 0 ( l
8、n 1 ) (log ) 3 ( a a dx a x d x a dx x x d 1 ) (ln ) 1 , 0 ( ln ) ( 4 a a adx a a d x x ） （ dx e e d x x ) (xdx x d cos ) (sin ) 5 ( xdx x d sin ) (cos ) 6 ( (7) , (8) dx x x d 2 cos 1 ) (tan dx x x d 2 sin 1 ) (cot (9) , (10) dx x x 2 1 1 ) (arcsin dx x x 2 1 1 ) (arccos (11) , (12) dx x x d 2 1 1
9、) (arctan dx x x arc d 2 1 1 ) cot ( 6微分的四算运则 d(uv)dudv， d(uv)v duudvd(ku)kdu(k为常数) ) 0 ( ) ( 2 v v udv vdu v u d 洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。 ） 或 ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim A x g x f x g x f x g x f a x a x a x 7.导数的应用： =0 的点为函数 的驻点，求极值； ) ( x f ) (x f (1) 时， ; , , ; 0 x x 0 )
10、 ( x f 时 0 x x 0 ) ( x f 为极大值点 的极大值， 为 则 0 0 ) ( ) ( x x f x f (2) 时， ; , , ; 0 x x 0 ) ( x f 时 0 x x 0 ) ( x f 为极小值点 的极大值， 为 则 0 0 ) ( ) ( x x f x f (3); 不是极值点。 不是极值， 么 的两端的符号相同，那 在 如果 0 0 0 ) ( ) ( x x f x x f =0 的点为函数 的拐点，求凹凸区间； ) ( x f ) (x f 为凸的（下凹） 取值范围内，曲线 的 ) ( 0 ) ( x f y x x f 为凹的（上凹） 取值范围
11、内，曲线 的 ) ( 0 ) ( x f y x x f 第三章知识点概况 不定积分的定义：函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分，记作 ，并称 为积分符号，函数 为 dx x f ) ( ) (x f 被积函数， 为被积表达式，x为积分变量。 dx x f ) ( C x F dx x f ) ( ) ( 因此|不定积分的性质： dx x f dx x f d x f dx x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 或 C x F x dF C x F dx x F ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 或 dx x dx x dx x f dx x x x f
12、) ( . ) ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) 3 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 4 ( k k dx x f k dx x kf 为常数且 基本积分公式：C dx 0 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 2 ( 1 a C x a dx x a a C x dx x ln 1 ) 3 () 1 , 0 ( ln 1 ) 4 ( a a C a a dx a x x C e dx e x x ) 5 ( C x xdx cos sin ) 6 ( C x xdx sin cos ) 7 ( C x dx x tan cos 1 ) 8 ( 2C x dx x cot sin
13、1 ) 9 ( 2 C x dx x arcsin - 1 1 ) 10 ( 2 C x dx x arctan 1 1 ) 11 ( 2 换元积分（凑微分）法： 1.凑微分。对不定积分 ，将被积表达式g(x)dx凑成 dx x g ) ( dx x x dx x g ) ( ) ( ) ( 2.作变量代换。令 3.用公式积分， ， du u f dx x x f dx x g dx x x d du x u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 变换带量 凑微分 代入上式得： 则 并用 ) (x u 换式中的u C x F C u F du u f ) ( ) ( ) (
14、 回代 公式 常用的凑微分公式主要有： ) ( ) ( 1 ) ( 1 b ax d b ax f a dx b ax f ） （ ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 b ax d b ax f ka dx x b ax f k k k k ） （) ( ) ( 2 1 ) ( 3 x d x f dx x x f ） （ ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 4 2 x d x f dx x x f ） （) ( ) ( ) ( 5 x x x x e d e f dx e e f ） （ ) (ln ) (ln 1 ) (ln 6 x d x f dx x x f ） （) (sin )
15、 (sin cos ) (sin 7 x d x f xdx x f ） （ ) (cos ) (cos sin ) (cos 8 x d x f xdx x f ） （) (tan ) (tan cos 1 ) (tan 9 2 x d x f dx x x f ） （ ) (cot ) (cot sin 1 ) (cot 10 2 x d x f dx x x f ） （ ) (arcsin ) (arcsin 1 1 ) (arcsin 11 2 x d x f dx x x f ） （ ) (arccos ) (arccos 1 1 ) (arccos 12 2 x d x f dx
16、x x f ） （ ) (arctan ) (arctan 1 1 ) (arctan 13 2 x d x f dx x x f ） （|) 0 ) ( )( ) ( (ln ) ( ) ( 14 x x d dx x x ） （ 分部积分法： 适用于 udv uv vdu vdu uv udv udv vdu uv x udv vdu uv d 或 移项得 积分得 两边对 ) ( 分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法dx e dv x P u dx x P e ax ax ), ( ) ( 1 设 ） （ axdx dv x P u axdx x P sin ), ( sin
17、) ( 2 设 ） （axdx dv x P u axdx x P cos ), ( cos ) ( 3 设 ） （ dx x P dv x u xdx x P ) ( , ln ln ) ( 4 设 ） （ dx x P dv x u xdx x P ) ( , arcsin arcsin ) ( 5 设 ） （ dx x P dv x u xdx x P ) ( , arctan arctan ) ( 6 设 ） （ 为任意选取， 其中 为任意选取， 其中 ） （ v u bxdx e v u bxdx e ax ax , cos , sin 7 上述式中的P（x)为x的多项式，a,b为常
18、数。 一些简单有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很容易将其写成一个整式与一个分式 之和或两个分式之和，再求出不定积分。 定积分: 此式子是个常数 ） （ i n i i b a x f n dx x f ) ( lim ) ( 1 0 (1)定积分的值是一个常数，它只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关，而与积分变量的字母无关，即应有 b a b a dt t f dx x f ) ( ) ( （2）在定积分的定义中，我们假定a0,称类似地，如果P(A)0，则事件B对事件A的条件概率为概率的乘法公式乘法公式可推广到有限多个事件的情况，例如对事件 A,B,C,有
19、事件的独立性一般地说, P(AB)P(A)，即说明事件B的发生影响了事件 A发生的概率。若P(AB)P(A)，则说明事件B的发生 在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A，B相互独立。定义：对于事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B) ，则称事件A与事件B相互独立。独立试验序列概型在相同的条件下，独立重复进行n次试验，每次试验中事件 A可能发生或可能不发生，且事件A发生的概率为p，则 在n次试验中事件A恰好发生k次的概率为一维随机变量及其概率分布 （一）随机变量1.随机变量定义：设为样本空间，如果对每一个可能结果 ，变量X都有一个确定的实数值 与之对应，则称X为定 义在上的随机变量，简记作 。2.离散型随机变量定义：如果随机变量X只能取有限个或无限可列个数值，则称 X为离散型随机变量。（二）分布函数与概率分布1.分布函数定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，则函数 称为随机变量X的分布函数。分布函数 F(x)有以下性质：（2）F(x)是x的不减函数，即对任意（4）F(x)是右连续的，即（5）对任意实数 ab,有PaXb=F(b)-F(a)2.离散型随机变量的概率分布