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1、第 14 课时 函数奇偶性的简单应用 课时目标 1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式 2能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题 识记强化 1奇函数函数图象关于原点对称 2偶函数函数图象关于 y 轴对称 课时作业(时间：45 分钟，满分：90 分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是()Af(x)3x1 Bf(x)1x Cf(x)11x Df(x)x 答案：D 解析：A.f(x)3x1 在定义域 R 上是增函数但不是奇函数B.f(x)1x是奇函数但不是增函数C.f(x)11x不是奇函数且在
2、定义域上不是增函数，只有 D 符合 2奇函数 yf(x)(xR)的图象必定经过点()A(a，f(a)B(a，f(a)C(a，f(a)D.a，f1a 答案：C 解析：f(a)f(a)，C 正确，故选 C.3若函数 f(x)x2ax(aR)，则下列结论正确的是()A对任意实数 a，f(x)在(0，)上是增函数 B对任意实数 a，f(x)在(0，)上是减函数 C存在实数 a，使 f(x)是偶函数 D存在实数 a，使 f(x)是奇函数 答案：C 解析：对于 A，取 a4.5，则 f(1)124.515.5，f(1.5)1.524.51.55.25，显然 f(1)f(1.5)，所以 A 错误；对于 B，
3、取 a0，则 f(x)x2在(0，)上是增函数，所以 B 错误；对于 C，取 a0，则 f(x)x2，定义域为(，0)(0，)，且 f(x)(x)2x2f(x)，则 f(x)是偶函数，所以 C 正确；对于 D，假设存在实数 a 使得 f(x)是奇函数，则 f(1)f(1)，又 f(1)1a，f(1)1a，f(1)1a，显然 f(1)f(1)，即假设不成立，所以 D 错误故选 C.4设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x212x，则 f(1)()A32 B12 C.32 D.12 答案：A 解析：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(1)f(1)32.5若
4、f(x)(xa)(x3)为 R 上的偶函数，则实数 a 的值为()A3 B3 C6 D6 答案：B 解析：因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x)f(x)，即(xa)(x3)(xa)(x3)，化简得(62a)x0.因为 xR，所以 62a0，即 a3.6已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(1)f(3)f(4)Bf(4)f(3)f(1)Cf(3)f(4)f(1)Df(1)f(4)f(3)答案：D 解析：因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)0，又 f(x)满足 f(x4)f(x)，则 f(4)f(0)0.又
5、f(x)f(x)且 f(x4)f(x)，所以 f(3)f(3)f(14)f(1)又 f(x)在区间0,2上是增函数，所以 f(1)f(0)，即 f(1)0，所以 f(1)f(1)0，f(3)f(1)0，于是 f(1)f(4)f(3)二、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)7已知函数 f(x)为偶函数，且当 x0 时，f(x)x1，则 x0 时，f(x)_.答案：x1 解析：当 x0 时，x0，f(x)x1，又 f(x)为偶函数，f(x)x1.8已知 yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域均为2,2，且它们在 x0,2上图象如图所示，f(x)g(x)的解集是
6、_ 答案：2,0)(0,1)解析：做出函数 f(x)，g(x)在2,2上的图象若 f(x)g(x)，f(x)图象应位于 g(x)图象上方，结合图象，f(x)g(x)解集为2,0)(0,1)9 若奇函数f(x)(x0)在x(0，)时，f(x)x1，则满足不等式f(x1)0，x1，x1，x，x1.)则 f(x1)0 时，有 1x2 或 x0，此即为 x 的取值范围 方法二：由于当 x(0，)时，f(x)x1，所以 f(1)0，且函数在(0，)上为增函数，又函数为奇函数，所以 f(1)0，且函数在(，0)上也为增函数，于是 f(x1)0 转化为 f(x1)f(1)或 f(x1)0，x11，即 1x2
7、.当 x(，0)时，x11，即 x0.三、解答题(本大题共 4 小题，共 45 分)10(12 分)已知函数 f(x)是定义在(，0)(0，)上的奇函数，又 f(x)在(0，)上是减函数且 f(x)0.问 F(x)1fx在(，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论 解：F(x)在(，0)上是增函数，证明过程如下：设 x1x2x20.F(x1)F(x2)1fx11fx2fx2fx1fx1fx2.f(x)是奇函数，f(x1)f(x2)，即 f(x2)f(x1)x20，f(x1)f(x1)0，f(x2)f(x2)0.f(x1)f(x2)0，F(x1)F(x2)0.即 F(x1)F(x2)F(x)在
8、(，0)上是增函数 11(13 分)奇函数 f(x)是定义在(1,1)上的减函数，若 f(m1)f(32m)0，求实数 m 的取值范围 解：原不等式化为 f(m1)f(32m)因为 f(x)是奇函数，所以 f(m1)f(2m3)因为 f(x)是减函数，所以 m12m3，所以 m2.又 f(x)的定义域为(1,1)，所以1m11 且132m1，所以 0m2 且 1m2，所以 1m2.综上得 1m2.故实数 m 的取值范围是(1,2)能力提升 12(5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，则 f(6)的值为()A1 B0 C1 D2 答案：B 解析：f(x)是 R 上
9、的奇函数 f(0)0.f(2)f(0)0.f(4)f(2)0.f(6)f(42)f(4)0.13(15 分)已知函数 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f(12)25.(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)求函数 f(x)的值域 解：(1)因为 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，所以 f(x)f(x)，即axb1x2axb1x2，求得b0.又 f(12)25，即12a112225，求得 a1.故所求函数解析式为 f(x)x1x2(x(1,1)(2)当 x0 时，f(0)0；当 x0 时，f(x)x1x21x1x 令 u(x)x1x，x(1,1)，且 x0，设任意的 x1，x2(0,1)，且 x1x2，则 u(x1)u(x2)x11x1(x21x2)(x1x2)(11x1x2)因为 0 x1x21，所以 0 x1x21,11x1x20.又 x1x20，所以 u(x1)u(x2)0，即 u(x1)u(x2)，故 u(x)在(0,1)上单调递减 同理可得 u(x)在(1,0)上单调递减 所以当 x(1,0)时，u(x)u(1)2,0f(x)12；当 x(0,1)时，u(x)u(1)2,0f(x)12.又 x0 时，f(0)0，所以当 x(1,1)时，函数 f(x)的值域为(12，12)