应用泛函分析复习小结.pdf

《应用泛函分析复习小结.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用泛函分析复习小结.pdf（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、.1 第一章 实分析概要 本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些根底知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。第一节 集合及其运算 第二节 实数的完备性 第三节 可数集与不可数集 第四节 直线上的点集与连续函数 第五节 点集的勒贝格测度与可测函数.1 1.1 第六节 勒贝格积分 第一节 集合及其运算 1 AAA,AAA;2 A A,A ；3假设 AB，则 ABB,ABA,AB；4)设*为根本集，则 A AC*,A AC,(AC)C A,A B A BC 又假设 AB，则 AC BC。集合的运算法则：2.1 交换律

2、A B B A,A B B A；结合律 (AB)CA(BC)ABC；(AB)CA(BC)ABC；分配律 (AB)C(AC)(BC)；(AB)C(AC)(BC)；(A B)C(AC)(BC).定理 1.1 设*为根本集，A 为任意集组，则 1)(U A)C I(A)C(1.6)I I 2)(I A)C U(A)C(1.7)I I A (A B)A I B3.1 第二节 实数的完备性 2.1 有理数的稠密性 2.2 实数的完备性定理 定义 2.1(闭区间套)设an,bn(n 1,2,L,)是一列闭区间，an bn，如果它满足两个条件：1渐缩性，即a1,b1 a2,b2 L an,bn L;2)区间

3、长度数列bn an 趋于零，即 lim(bnan)0 n 4.1 定理 2.1(区间套定理)设an,bn 为实数轴上的任一闭区间套，其中 an 与 bn 都是实数，则存在唯一的一个实数 属 于一切闭区间an,bn(n 1,2,L)，即 an,bn，并且 n1 lim an lim bn nn 利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理定理 2.2，这个定理的名称的含义在第二 章中解释。我们先介绍一个有关的概念。命题 2.1 设*n 是一个数列，则 lim*na 的充分必要条件是：n*n 的每一个子列都收敛而且有一样的极限值 a.5.1 定理 2.2 列紧性定理 任何有界数列必有收敛子列 定义

4、 2.3 设*n是一个数列，如果当m,n时，有*m*n0，则就说*n是一个根本 数列或柯西数列。定理 2.3 柯西Cauchy收敛原理(完备性定理)数列*n 收敛的充分必要条件是，它是一个根本数列。定理 2.4(单调收敛定理)单调有界数列即单调增有上界数列或单调减有下界数列必然收敛 定义 2.4 (确界)设A是一个数集，M是A的一个上下界。如果对任意的0，必存在6.1 A 中的数*，使得*M (*M)，则就称 M 为数集 A 的上下确界。定理 2.5 确界存在定理(不讲)由上下界的数集必有上下确界。定义 2.5(覆盖)设a,b是一个闭区间，a|aI是一个区间族，其中区间a可以是开 的，闭的或者

5、半开半闭的，而指标集 I 可以是有限集，也可以是无限集。如果a,b 中的每一点必 含于区间族 的*一区间a 之中，则就称 覆盖区间a,b，或者区间a,b 被 覆盖。定理 2.6 有限覆盖定理(不讲)假设闭区间a,b 被区间族 覆盖，则能从 中选出有限个开区间覆盖a,b。7.1 上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进展的：从定理 2.1(区间套定理)出发，推出定理 2.2列紧性定理，又从定理 2.2 推出定理 2.3 柯西Cauchy 收敛原理(完备性定理)，又从定理 2.3 推出定理 2.4(单调收敛定理)，又从定理 2.4 推出定理 2.5 确 界存在定理)，最后，

6、从定理 2.5 推出定理 2.6有限覆盖定理 第三节 可数集与不可数集 3.1 映射 定义 3.1 设A与B是两个非空集合，如果按照一定的法则f，对于A中的每个元8.1*，都存在B中的一个确定的元y与*相对应，则我们称f为定义A上取值于B中的 一个映射，记作 yf(*)。y 称为*在映射 f 下的象，对于固定的 y，A 中适合关系式 y f(*)的*的全体称为y的原象。集A称为映射 f 的定义域，f(A)f(*)|*A称为 映射 f 的值域，一般 f(A)B。为方便起见，今后常将把从集 A 到 f(A)B 的映射写成 f:A B 特别，假设 B 是一个数集，此时映射 f 称为泛函；假设 A 与

7、 B 都是数集，f 就是通常 的函数。9.1 3.2 可数集与不可数集，集合的势 定理 3.1 有理数集是可数集。定理 3.3 可数个可数集的并是可数集。定理 3.4 区间0,1中的点是不可数的。第四节 直线上的点集与连续函数 本节先讨论直线上的点集的根本性质，然后，在此根底上研究 4.1 开集、闭集及其性质10.1 4.2 开集的构造 4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性 4.4 函数列的一致收敛性 4.1 开集、闭集及其性质 定义 4.1 设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点，我们把直线上包含 a 的任一区间(,)称为点 a 的邻域；设 a 是 E 中的点，如果存在着 a

8、的一个邻域(,)整个包含于E，则称a是E的点；如果点集E的每一点都是它的点，则称 E 是一个开集。定理 4.1 开集具有以下的性质：1 空集 与直线 R 的本身都是开集；11.1 2 任意多个开集的并是开集；3 有限多个开集的交是开集.定义 4.2 设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点(不一定属于E)。如果 a 的任一邻域(,)中含有 E 中不同于 a 的点，则称 a 为 E 的极限点或聚点。定理 4.2 点a是集E的极限点的充要条件是存在E中的点列an(ana)，使 lim an a n 定义 4.3 设E为直线上的点集，由E的所有极限点构成的集称为E的导集，记 作 E，称集 EU

9、E 为 E 的闭包,记作 E。假设集 E 的余集 ECRE 为开集，则称 E 为闭集.定理 4.3 非空集E是闭集的充要条件是EE 定理 4.4 集合E为闭集的充要条件是EE。12.1 定理 4.5 闭集具有以下根本性质 1 空集 与全直线 R 是闭集；2 任意多个闭集的交是闭集；3 有限多个闭集的并是闭集.4.2 开集的构造 定义 4.4 设G是直线R上的一个有界开集，如果开区间(,)满足条件：1)(,)G 2)G,G 则称(,)为开集G 的一个构成区间。定理 4.6开集的构造原理设G为直线上的任意非空有界开集，则G可以表13.1 示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即 G U(k,k)k

10、I 其中 I 为有限的或可数的指标集.4.3 点集上的连续函数，函数的一致连续性 定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去。定义 4.5 设E是直线R上的点集，f(*)是定义在E上的一个函数(即映射 f:E R)，*0是E中的任意一点。如果对于E中任何收敛于*0的点列*n，都有 lim f(*n)f(*0)*n*0 则称函数 f(*)在点*0 连续。如果 f(*)在 E 中每点都连续，则称 f(*)在集 E 上连续。定理 4.7 设F是直线R上的有界闭集，f(*)是定义在F上的连续函数，则14.1(1)f(*)在集F上必有界，(2)并且能取得它的最大值上确界与最小值下

11、确界。定义 4.6 设 f(*)定义在点集 ER 上，如果对于任意的0，都能找到()0 注意()与点 *无关，使得对于 E 中的任意两点*1 与*2，只要 *1*2 ，就有 f(*1)f(*2)1.13 成立，则称函数 f(*)在集 E 上一致连续。定理 4.8 设 f(*)在有界闭集 FR 上连续，则 f(*)在 F 上必一致连续。4.4 函数列的一致收敛性 定义 4.7 设fn(*)是定义在点集ER上的函数列。如果存在E上的函数f(*)，15.1 对于任意给定的0，都能找到正整数 N()，使得当 nN()时，不等式 fn(*)f(*)对于所有*E 的成立，则就称 fn(*)在集 E 上的一

12、致收敛于 f(*)。定理 4.9 定义在点集ER上的函数列fn(*)一致收敛于f(*)的充要条件是：对 于任给的0，存在正整数 N()，使得当 m,nN()时，不等式 fm(*)fn(*)1.17 对于所有*E 的成立.定理 4.10 设fn(*)是E上的一个连续函数列，如果在E上它一致收敛于函数f(*)，则极限函数 f(*)也在集 E 上连续。定理 4.11 设fn(*)是区间a,b上的连续函数列，假设fn(*)在a,b上一致收敛于f(*)，则极限函数 f(*)在a,b上可积，并且16.1 b f(*)d*limb fn(*)d*(1.18)a n a 或写成 bb alimnfn(*)d*

13、limnafn(*)d*第五节 点集的勒贝格测度与可测函数 本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的根本理论，它不但是建立勒贝 格积分的必要准备，而且在其他的学科如概率论与随机过程中也经常用到。5.1 从黎曼积分到勒贝格测度17.1 命题 5.1 如果f(*)在区间a,b上连续，则f(*)在a,b上必 R 可积。5.2 点集的勒贝格测度 定义 5.1 设G为直线上的有界开集，定义G的测度为它的一切构成区间的长度之 和，也就是说，假设 GU(k,k)，其中(,k)是 G 的构成区间，则 k mG(k k)1.23 k 定义 5.2 设 F 为直线上的有界闭集，F(a,b)，则 G(a,b)F

14、 是有界开集，定义 F 的测度为18.1 mF(b a)mG 1.24 定义 5.3 设E为直线上的任一有界点集，我们称所有包含E的开集的测度的下确 界为集 E 的外测度，记作 mE：m E infmG|G E,G为开集 而把所有含于 E 中的闭集的测度的上确界称为集 E 的侧度，记作 mE：m E supmF|F E,F为闭集 定义 5.4 设E直线上的有界点集，假设mEmE，则称E为勒贝格可测集，简称 为 L 可测集，它的外测度与侧度的共同值称为 E 的勒贝格测度，简称为 L 测度，19.1 记作 mE mE m E m E 定理 5.1 设*(a,b)为根本集，E,E1与E2为*的子集。

15、1 假设 E 可测，则其余集 EC 也可测；2 假设 E1,E2 可测，则 E1UE2,E1IE2,E1E2 均可测；又假设 E1IE2，则 m(E1U E2)mE1 mE220.1 5.3 可测函数 定义 5.5 设E为直线上的可测集有界或无界，f(*)是定义在E上的实值函数，如 果对于任何实数，集合 E(f)*|f(*),*E 都是勒贝格可测的，则称 f(*)是 E 上的勒贝格可测函数，简称为可测函数。定理 5.4 函数f(*)在可测集上可测的充要条件是对于任何实数与，集合 E(f)*|f(*),*E 是 L 可测的。21.1 定理 5.5 函数f(*)在可测集E上的可测的充要条件是以下条

16、件之一成立：1 E(f)*|f(*),*E是可测集；2 E(f)*|f(*),*E 是可测集：3 E(f)*|f(*),*E 是可测集：4 对于直线上的任何开集 G，它的原象 f1(G)是可测集，其中 是任意实数。22.1 第二章 距离空间 第一节距离空间的根本概念 定义 1.1 设*是任一集合。如果对于*中任意两个元素*与y，都对应一个实数(*,y)，并且满足条件：1非负性，(*,y)0 且(*,y)0 当且仅当*y；2对称性，(*,y)(y,*)；3三角不等式，对任意的*,y,z*，有(*,y)(*,z)(z,y)则称(*,y)为*与 y 之间的距离，而称*为以(*,y)为距离的距离空间或

17、度量空间。23.1 例 1.1 n维欧氏空间Rn 设 Rn表示 n 维向量 x*1,*2,L,*n 的 全体所组成的集合，其中*i,i1,2,L,n 都是实数，如果*(*1,*2,L,*n)，y(y1,y2,L,yn)R n，定义 n 1 2 (*,y)(*i yi)2 (2.4)i1 条件 1与 2显然成立。为了证明条件 3成立，现证明重要的 Cauchy 不等式：n 2 n n(2.5)ai bi ai2 bi2 i1 i1 i1 其中 ai,bi,i1,2,L,n 都是实数。24.1 例 1.2 连续函数空间Ca,b 令Ca,b*(t)|*(t)为a,b连续函数 在 Ca,b 上定义(*

18、,y)ma*(t)y(t)(2.6)ta,b 现在我们来证明(*,y)是距离。例 1.3 有界数列空间m。设 m 表示所有的有界数列*(1,2,L,n,L)其中 i k*,i 1,2,L，k*是常数所构成的集合。如果*(1,2,L,n)m，y(1,2,L,n)m，定义25.1(*,y)sup ii (2.7)i 类似于例 1.2，容易验证 (*,y)是距离，从而 m 按这个距离构成距离空间。例 1.4 离散距离空间。设*为任一非空集合，定义 0,*y(2.8)(*,y)*y 1,容易验证(*,y)满足距离的三个条件，于是*按照(*,y)成为距离空间。由于*中任 两个不同点间的距离均等于 1，因

19、此常称*为离散距离空间。定义 1.2 设*是一个距离空间，*n,*,(n1,2,L)，如果当n 时，(*n,*)0，则称点列*n按距离收敛于*，而*叫做点列*n的极限，记作 lim*n *或*n *,(n )n26.1 定理 1.1 设*是距离空间 1*中任何收敛点列*n的极限是唯一的；2 假设点列*n*,(n)，则*n的任何子列*nk*,(k)定义 1.3 设*是距离空间 1 如果*0*,r0，则称集合 S(*0,r)*|*,(*,*0)r 是以*0 为中心，r 为半径的开球，或*0 的一个邻域；称集合 S(*0,r)*|*,(*,*0)r 是以*0 为中心，r 为半径的闭球。27.1 2

20、设 A*，如存在一个开球 S(*0,r)，使得 A S(*0,r)则称 A 是*中的有界集。定理 1.2 设*是距离空间，则*的任何收敛点列必是有界的。28.1 第二节距离空间中的开集、闭集与连续映射 本节将直线上点集的有关概念以及定一在直线上的连续函数的概念推广到距离 空间中去。由于许多概念的定义及定理的证明几乎可以逐字逐句地移植，因此，我 们省略了*些定理的证明，留给读者作为练习自行补足。2.1 距离空间中的开集和闭集 定义 2.1 设*为距离空间。G*,*0*，如果存在*0的邻域S(*0,r)G，则称*0 为 G 的点。如 G 的每个点都是点，则称 G 为开集。例 2.1 任一开球S(*

21、0,r)是开集。29.1 定理 2.1 距离空间*中的开集具有以下性质：1 空集 于全空间*是开集；2 任意多个开集的并集是开集；3 有限个开集的交是开集.定理 2.3 设*是距离空间，则F*是闭集的充要条件是F*F是开集。定理 2.4 距离空间*中的闭集具有以下性质：1 空集 与全空间*都是闭集；2 任意多个闭集的交是闭集；3 有限个闭集的并集是闭集.30.1 2.2 距离空间上的连续映射 定义 2.3 设*与Y都是距离空间，分别以与1为距离，T:*Y,*0*，如果对任意的0，存在0，使得当(*,*0)时，有 1(T*,T*0)则称映射T 在*0 连续。假设T 在*中每一点都连续，则称T 为

22、*上连续映射。如果YR，则称T 为连续函数。此时，常将T 为记作 f 或 g。例 2.4 设*是距离空间，*0为*中一个固定点，则 f(*)(*,*0)是连续函数。定理 2.5 设*,Y都是距离空间，T:*Y，则以下命题是等价的。31.1 1T 在*0*连续；2对于T*0 的任一邻域 S(T*0,)，必存在*0 的邻域 S(*0,)，使得 T(S(*0,)S(T*0,)3对于*中任一点列*n，假设*n*0，则必有 T*n T*0 第三节距离空间的可分性与完备性 我们知道，有理数在实数中的稠密性以及实数的完备性在数学分析中起着重要的 作用，本节将这两个概念推广到一般的距离空间中去。3.1 距离空

23、间的可分性32.1 定义 3.1 设*为距离空间，A与B都是*的子集，如对于任意的*A，存在*n B 使*n*，则称B在A中稠密。如果A*，则称B在*中处处稠密。显然，B 在 A 中稠密与下面两个命题之一是等价的：1)对任意的*A，*的任何邻域中都含有 B 中的点。2)A B，特别地如A*，则 B *。定义 3.2 设*为距离空间，如*中存在一个处处稠密的可数子集，则称*是可 分的距离空间。定义 3.3 设*为距离空间 1 如点列*n*，满足 lim(*m,*n)0，即任取0，存在正整数 N，使得当 m,n m,n N 时，有(*m,*n)，则称*n为根本列或柯西列。33.1 2 假设*中的每

24、个根本列都收敛，则称*为完备的距离空间。定理 3.1 设*为距离空间 1*中任何收敛点列都是根本列；2假设*是完备距离空间，则*n*是根本列的充要条件是*n收敛点列；3在完备距离空间*中，*的任何闭子空间 F 都是完备的。例 3.4 Ca,b是完备的距离空间。设*n Ca,b是根本列。故任取 0，必存在正整数 N，使得当mN,nN时有(*n,*m)ma*n(t)*m(t)ta,b 即当 mN,nN，对每一个 ta,b 有*n(t)*m(t)34.1 由第一章定理 4.9，存在*(t)，使*n(t)一致收敛于*(t)，又由第一章定理 4.10，得*(t)Ca,b，即存在*Ca,b，使*n*，故

25、Ca,b是完备的。第四节 压缩映射原理及其应用 定义 4.1压缩映射设*是距离空间，T:*从*到*的自身映射，如 存在常数，01，对于任何*,y*，都有(T*,Ty)(*,y)称T 是*上的一个压缩映射。定理 4.1 设*是完备的距离空间，T:*是压缩映射。则T在*中存在唯一的 不动点*，即有 *T*35.1 推论 4.1 设*是完备的距离空间，T:*，如T在闭球S(*0,r)上是压缩映射，并且(T*0,*0)(1)r，则T 在 S 中存在唯一的不动点。推论 4.2 设*是完备的距离空间，T:*。如存在常数(01)及正整数n0，使对任何*,y*都有(Tn0*,Tn0y)(*,y)则 T 存在唯

26、一的不动点。其中T n0可以归纳定义如下：T 2*T(T*)，T 3*T(T 2*)，。36.1 第三章 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子 第一节线性赋空间与巴拿赫空间 在线性代数中学过 n 维欧氏空间 Rn，在 Rn 中有两种根本的代数运算，即向量的 加法和向量与数的乘法，而且对这两种运算分别满足对加法的交换律、结合律、存在零向量、逆向量和对数乘满足结合律、分配律，存在单位元等。这些根本的运算 法则对 Rn 空间是不可缺少的，因而在定义抽象的线性空间的运算法则时，必须保存 上述性质。在 Rn 中，除了上述线性构造外，还有一种拓扑构造，而这种构造是通过对 Rn 中的 任意一点，确定它与原点

27、之间的距离向量长度来实现的，其实现过程如下：37.1 1.1 线性空间 定义 1.1 设*为任一非空集合，假设在*中规定了线性运算元素的加法和元素与数实数或复数，实数域记为 R，复数域记为 C 的乘法，并满足以下条件：4由子集成的子空间 设 M 为线性空间*的子集,L 表示 M 中元素所有可能的线性组合构成的集合，即 L n *M,为数，n为任意自然数 *i1 容易验证，L为*的线性子空间，称L为由子集M成的线性子空间，记作 LspanM 6线性同构 设*和Y 为两个线性空间同为实的或复的，如果存在从*到Y 上的*个 1-1 映38.1 射，使对任意*1,*2*，及任意 ，成立 (*1 *2)

28、(*1)(*2)3.13 (*1)(*1)3.14 则称*与Y 是线性同构的，映射 称为*到Y 的线性同构映射。定义 1.2 设*为线性空间，A 为*的一个子集，假设对任意*,yA 及数(01)，*(1 )y A，则称 A 为*中的凸集。*(1 )y 称为*与 y 的凸组合。显然，线性空间的任意线性子空间都是凸集。1.2 线性赋空间与巴拿赫空间 定义 1.3 设*为实的或复的线性空间，如对任意*，有一个确定的非负 实数*与它对应，并满足 1 对任意*，*0。当且仅当*时*0 3.15 39.1 2对任意*及数 ，*3.16 3对任意*,y*，*y *y 3.17 则称*为线性赋空间。*称为*的

29、数。正如本节开场时分析的那样，有了数就可以引入任意两点之间的距离。令(*,y)y *3.18 易证(*,y)满足距离空间距离的三个条件，因而线性赋空间按式3.18定义的距 离成为距离空间。式3.18定义的距离空间称为由数诱导的距离。从这个意义上 说，线性赋空间是一种特殊的度量空间。元素序列*n 按距离收敛于*，就是当 n 时，*n*0。这样定义的收敛称为按数收敛。定义 1.4 完备的线性赋空间称为巴拿赫空间。40.1 1.3 线性赋空间的根本性质 定理 1.1 设*为线性赋空间.*n、*y、*、y*,假设数列n及*n*,yny则*n*n*x n yn*y 定理 1.2 设*为线性赋空间，*n,

30、*，1 假设*n*，则*n 有界；2 假设*n*，则 *n *数的连续性。*f(*)定理 1.3 线性赋空间*中的球是凸集。第二节有界限性算子与有界限性泛函41.1 2.1 有界限性算子的定义及性质 定义 2.1 设*与 Y 都是线性赋空间，D 为*的线性子空间。T:DY，1假设对任意*1,*2D 及数，有 T*1*2 T*1 T*2 T*1 T*1 则称 T 为线性算子。2假设对任意*n,*D，*n*，有T*nT*，则称T 为连续算子。3假设对任意*D，存在正数 M，使 T*M *则称 T 为有界算子。42.1 当 Y 为数域R 或 C时，分别称 T 为线性泛函、连续泛函和有界泛函，常记 为

31、 f,g 等。定理 2.1 设*，Y 为线性赋空间，D 为*的线性子空间。T:DY是线性算子，则 T 有界的充要条件是:对任意有界集 AD，T 把 A 映为 Y 中的有界集。定理 2.2 设*，Y 为线性赋空间，D 为*的线性子空间，T:DY为线性 算子，则 1 T 为连续算子的充要条件是在*一点*0D 处连续；2 T 为连续算子的充要条件是 T 为有界算子。定义 2.2 设T:DY 为有界限性算子，则 T inf M|T*M *,*D(3.25)43.1 称为的数。对于算子的数有下面的定理：定理 2.3 有界限性算子的数有以下性质：T*T *D(3.26)2)T sup T*sup T*su

32、p T*(3.27)*1 *1 *D *D *D 例 2.3 设算子T 的定义如下 T*(s)ab K(s,t)*(t)dt y(s)其中 K(s,t)在 as,tb 上连续元函数，T 称为以 K(s,t)为核的弗莱德霍姆(Fledholm)算 子证明 T 是线性有界算子的。44.1 2.2 线性算子空间 设*,Y 为两个线性赋空间，可将*映到Y的有界限性算子看成一个元素，把所 有这些元素组成的集合记作 B(*,Y)。在这个空间中可适当定义线性运算使之成为线 性空间，再将算子的数作为 B(*,Y)中元素的数，B(*,Y)就将成为线性赋空间。叫做线性算子空间。这样，B(*,Y)中的元素即*到Y

33、的有界限性算于)之间就有了 联系。用这种观点来考虑与研究问题是很有意义的。后面的共轭空间，作为线性算 子空间的特例，是所有有界限性泛函的集合。定理 2.4 假设Y是巴拿赫空间，则B(*,Y)也为巴拿赫空间。设T,TnB(*,Y)(n1,2,L)，假设对任意*，Tn*T*0，则称Tn强收敛于T或 Tn按点收敛于T。容易看出，Tn一致收敛于T必强收敛于T，反之则不然。45.1 2.3 有界限性泛函与共轭空间 设*为以 R(或 C)为数域的线性赋空间，以 R(或 C)为值域的算子称为*的泛 函。假设 f：*R(或 C)是有界、线性的，称 f 为有界限性泛函。这是一种极为重要而 特殊的有界限性算子。与

34、有界限性算子一样 f infM f(*)M *,*sup f(*)sup f(*)*1*1 称为泛函 f 的数。对任意*，f(*)f *由于 R(或 C)为巴拿赫空间，故 B(*,R)也为巴拿赫空间，简记为 B(*)。B(*)是有界 线性泛函所组成的空间，称为*的共轭空间。关于这一空间。现在先来讨论一些重46.1 要的线性赋空间上有界限性泛函的表现形式。例 2.7 lp空间p1的共轭空间。例 2.8 Lpa,b空间的共轭空间。第三节积空间与希尔伯特空间 3.1 积空间、希尔伯特空间的定义 定义 3.1 设H为复数域C上的线性空间，假设从HH到C中定义一个函数,，使对任意*,y,zH，满足 1*

35、,yy,*，其中 y,*为*,y 的共轭复数；2对于任意复数,有 *y,z *,z y,z47.1 3*,*0；当且仅当*时，有*,*0。则称函数,为 H 的积，定义了积的空间 H，称为积空间。在积空间中，定义数 如下 3.40 *,*而定义距离为 (*,y)*y *y,*y 3.41 证明下面的许瓦尔兹不等式 *,y *y 3.42 定义 3.2 完备的积空间称为希尔伯特空间。系数域为复数或实数的希尔 伯特空间称为复或实希尔伯特空间。48.1 性质 3.1 设H为希尔伯特空间，H中的积*,y为*,y的连续函数，即假设*n*,yn y，则*n,yn*,y 性质 3.2H中的积与数有以下关系：假

36、设H 为实希尔伯特空间时，*,y 1(*y2 *y 2)3.43 4 假设 H 为复希尔伯特空间时，*,y 1(*y2 *y 2 i*iy 2 i*iy 2 3.44 4 性质 3.3H中的数满足以下的平行四边形公式*y 2 *y 2 2 *2 2 y 2 3.45 .1 49.1 3.2 正交分解与投影定理 定义 3.3 积空间 H 中的两个元素向量*,y 称为正交的，是指*,y 的积 等于零，即*,y0,并用*y 表示。设 M 是 H 中的一个子集，假设*与 M 中的任意元素 yM 正交，则称*与 M 正交，记作*M。设 M,N 是 H 的两个子集，假设任意*M,yN，均有*y，则称 M 与 N 正交，记做 MN。设 M 为 H 的子集，H 中所有与 M 正交的元素的全体称为集合 M 的正交补，记做 M，即 M y|y *,*M50.1 性质 3.4 设 H 中两个元素*1，*2正交，令*=*1+*2，则 *2 *2 *2 1 2 性质 3.5 设 L 为积空间 H 中的一个稠密子集，*L,则 *。性质 3.6 对任意子集 MH，其正交补M必为 H 的闭线性子空间。定理 3.1 设 M 为积空间 H 的线性子空间,*H,如果 *0 是*在 M 上的投影，则 *0 inf *y 3.49 yM 而且，*0 是 M 中使式3.49成立的唯一的点。51