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1、1 主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数可测函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给出的一些充要条件（如定理 4.2.1 等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越和方便之处。二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使
2、用的两种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理，可以把不一致收敛的函数列部分的“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理（定理4.3.2）告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。然而，黎斯定理（定理 4.3.3）指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数。然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的（如迪里克雷函数）。所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁金定
3、理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理 4.2.6 证明中的构造方法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。复习题一、判断题1、设()fx是定义在可测集nER 上的实函数，如果对任意实数a，都有()E x fxa 为可测集，则()fx为E上的可测函数。（）2、设()fx是定义在可测集nER 上的实函数，如果对某个实数a，
4、有()E x fxa 不是可测集，则()fx不是E上的可测函数。（）3、设()fx是定义在可测集nER 上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对某个实数 a，()E x fxa 为可测集。（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -2 4、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数 a，()E x fxa 为可测集。（）5、设()fx是定义在可测集nER 上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数 a，()E x fxa 为可测集。（）6、设()fx是定义在可测集nER 上的实函数，则()fx为E上的可
5、测函数等价于对任意实数 a 和b（ab），()E x afxb 为可测集。（）7、设E是零测集，()fx是E上的实函数，则()fx为E上的可测函数。（）8、若可测集E上的可测函数列()nfx在E上几乎处处收敛于可测函数()fx，则()nfx在E上“基本上”一致收敛于()fx。（）9、设()fx为可测集E上几乎处处有限的可测函数，则()fx在E上“基本上”连续。（）10、设E为可测集，若E上的可测函数列()()nfxfx（xE），则()nfx 的任何子列都在E上几乎处处收敛于可测函数()fx。（）11、设E为可测 集，若E上的可测函数列()()nfxfx.a e 于E，则()()nfxfx（xE
6、）。（）二、填空题1、Efa等于11nEfan，Efa等于11nEfan。2、E afb包含于Efa，E afb包含于Efb；E afb等于EfaEfb，E afb等于EfaEfb。3、设1nnEE，则Efa等于1nnEfa。4、设1nnEE，则Efa等于1nnEfa。5、由于区间I上的单调函数()fx的不连续点所成的集为至多可数集，则()fx为I上的几乎处处连续函数，从而()fx为I上的可测函数。6、叙述可测函数的四则运算性可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -3 7、叙述可测函数与简单函数的关系简单函数是
7、可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限。8、叙述可测函数与连续函数的关系连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。9、叙述叶果洛夫定理设 E 是测度有限的可测集，则E 上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。10、叙述鲁津定理设 E 是可测集，则E 上的可测函数“基本上”是连续函数。11、若()()nfxfx，()()nfxgx（xE），则()fx等于()gx几乎处处于E。三、证明题1、证明：1R上的连续函数必为可测函数。证明：设()fx是1R上的连 续函数，由 连续函 数的 局部 保号性，对 任意实 数 a，11(),Rxfax
8、fxa xR是开集，从而是可测集。所以，()fx是1R上的可测函数。2、证明：1R 上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设()fx是1R 上的单调递增函数，对任意实数a，记inf()Ax fxa，由单调函数的特点得，当()Ax fxa 时，(),)x fxaA，显然是可测集；当()Ax fxa时，()(,)x fxaA，也显然是可测集。故()fx是1R 上的可测函数。3、证明：若()()nfxfx，()()nfxgx（xE），则()()fxgx.a e 于E。证明：由于11()()nE xfxgxE xfgn，而11122nnE xfgE xffE xfgkkk，所以，11122nnmE xf
9、gmE xffmExfgkkk，由()()nfxfx，()()nfxgx（xE）得1lim02nnmE xffk，1lim02nnmE xfgk。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -4 所以，10mE xfgk，从而()()0mE x fxg x，即()()fxgx.a e 于E。4、证明：若()()nfxfx，()()ngxgx（xE），则()()()()nnfxgxfxg x（xE）。证明：对任意0，由于()()()()()()()()nnnnfxgxfxgxfxfxgxgx，所以，由()()()()nnfxgxfxg x可得，1()()2nfxfx和1
10、()()2ngxg x至少有一个成立。从而1122nnnnE xfgfgE xffE xgg，所以，1122nnnnmE xfgfgmE xffmE xgg。又由()()nfxfx，()()ngxgx（xE）得，1lim02nnmE xff，1lim02nnmE xgg。所以，lim0nnnmE xfgfg，即()()()()nnfxgxfxgx（xE）。5、若()()nfxfx（xE），则()()nfxfx（xE）。证明：因为()()()()nnfxfxfxfx，所以，对任意0，有nnE xffE xff，nnmExffmExff。又由()()nfxfx（xE）得，lim0nnmE xff。
11、所以，lim0nnmE xff，即()()nfxfx（xE）。6.证明当)(xf既是1E上又是2E上的非负可测函数，)(xf也是21EE上的非负可名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -5 测函数.证：由题设，对任意常数)(,;,11axfExxEEa与)(,;22axfExxEE都是1E与2E上的可测集.于是可测集的并集：)(,;2121axfEExxEEE也为可测集，从而)(xf为21EE上的可测函数.证毕.7.证明如果)(xf是nR上的连续函数,则)(xf在nR上的任何可测子集 E上都可测.证:由于对任意常数a,)(,;axfRxxEEn仍为开集,证明如下
12、:Ex0,则axf)(0.令axf)(0作球),(00 xrxS,当),(00 xrxsx时,由连续性可知|)()(|0 xfxf,即得到:axfxf)()(0,表明Ex,从而)(,;),(00axfRxxErxsnx,此即)(,;axfRxxEEn为开集,显然也是可测集(教材 70 页 Th2)故)(xf在nR的任何子集E上可测,证毕.8.设)()(,)()(xgxgExfxfnn于于 E，证明)()()()(xgxfxgxfnn于 E.证：对0E|)()()()(|;xgxfxgxfxnn2|)()(|;2|)()(|;xgxgxExfxfxEnn|)()()()(|;xgxfxgxfxm
13、Enn2|)()(|;2|)()(|;xgxgxmExfxfxmEnn由题设，当n，最后两个集测度都为零，故)()()()(xgxfxgxfnn于 E.证毕9.设mE，)(xfn及)(xf分别是E上几乎处处有限的可测函数列及可测函数，如果对任意0，存在E的子集E，使)(EEm且)(xfn在E上一致收敛于)(xf，证明：)(xfn在E上几乎处处收敛于)(xf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -6 证：对任意正整数k，由题设知，存在子集EEk，使得)(xfn在kE上一致收敛于)(xf，且kEEmk1)(从而在kkE1上有)()(limxfxfnn又因,2,1,1
14、kEEEEkkk，故有)(01)()(1kkEEmEEmkkk所以0)(1kkEEm因此.)()(limeaxfxfnn于E10.设mE，证明：ffmn.于E对任意子列nnffk，存在子列kjknnff，使得ffeanjk.于E证：必 要 性由ffmn.于E对 任 意 子 列nnffk，显 然 也 有ffmnk.于E，只要对knf应用Riesz定理可知，存在子列kjknnff，使得ffeanjk.于E充分性设若不然，ffmn.于E不成立，则00，使得0lim0ffEmnn，注意到0ffEmn是一个非负有界数列，所以存在子列nnffk，使得0)(lim0存在affEmknk下证：knf中不存在任
15、何.ea收敛于f的子列。事实上，若有子列kjknnff，使得ffeanjk.于E，因为mE，所以由Lebesgue定理知，ffmnjk.于E0lim0ffEmjknj，但此与0lim0affEmjknj产生矛盾。从而与假设条件不符，故ffmn.于E证毕。7.设mE，()fx是E上 a e 有限的可测函数，证明：对任意0，存在EE和0M，使得()m EE，且对任意xE，有()fxM名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -7 证法 1：令,nBfAfn，若对0,nn mA则因为1nnBA且nA是E中递减可测集列，,nmAmE于是lim,nnmBmA这与0mB的假设相矛盾，所以一定存在某个,kkmA于是取,kEEAMk则,km EEmA且对kxEEA，有().fxkM证 法2 设0Ef，则00mEkZ，令kEfk，则1kkEE，且01kkEEEmE，01()kkmEmEmEmE，limkkmEmE 于是0，0kZ，使00()kkm EEmEmE此时取0Mk，0kEE，即有0()()kmEEm EE，且xE，有0()fxkM 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -