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1、4 柯西点列和完备度量空间 教学内容(或课题)：目的要求：掌握柯西点列、完备度量空间的概念，学会使用概念和完备度量空间的充要条件判别完备度量空间.教学过程：设 1nnx是1R中的点列，若0，NN，s.t.当Nnm,时，有mnxxd,=mnxx，则称 1nnx是1R中的柯西点列.Def 1 设X=(X，d)是度量空间，1nnx是X中的点列.若0,NN，s.t.当Nnm,时，有mnxxd,，则称 1nnx是X中的柯西点列或基本点列.若度量空间(X，d)中每个柯西点列都收敛，则称(X，d)是完备的度量空间.有理数的全体按绝对值距离构成的空间不完备，如点列1,1.4,1,41,412.1 在1R中收敛
2、于2，在有理数集中不收敛.但度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列.实因若xxn，则0,NN，s.t.当Nnm,时，都有 xxdn,2.因此当Nmn，时，有mnxxd,xxdn,+xxdm,2+2.所以 1nnx是柯西点列.例2l(表有界实或复数列全体)是完备度量空间.证明 设 1mmx是l中的柯西点列，其中mx=,21.0,NN，s.t.当Nnm,时，都有 nmxxd,=njmjjsup (1)因此对每个固定的j，当Nnm,时，成立 njmj (2)于是 kj，,2,1k是柯西数列.由于实数集或复数集按差的绝对值定义距离是完备的，故存在实或复数j，s.t.njj(n)令x=,21，往证xl且m
3、x x.在(2)中，令n，得Nm 时，成立 jmj (3)因为mx=,21mjmml，所以mK0，s.t.j，成立mjmK(不同的数列，界可能不一样).所以 mjjj+mK.所以xl.由(3)知，Nm 时，成立 xxdm,jmjjsup.所以xxm.所以l是完备度量空间.例2 令C表示所有收敛的实或复数列的全体，x=,21C，y=,21C，令 yxd,=jjjsup.则 01 yxd,0且x=y时，yxd,=0.又jjjjjsup=yxd,=0 j=j(j).于是 yxd,=0 x=y.02z=,21C，则由于对j，成立 jjjj+jjjjjsup+jjjsup=zxd,+zyd,.所以jjj
4、sup zxd,+zyd,.即 yxd,zxd,+zyd,.所以 yxd,可定义为C中两点间的距离.于是C按距离 yxd,成为度量空间(实际上是l的一个子空间).欲证C是完备度量空间，先证 联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为Th 1 完备度量空间X的子空间M是完备度量空间 M是X中的闭子空间.证明 设M是完备子空间，对每个xM，M中点列 1nnx，使xxn.所以 1nnx是M中柯西点列.所以它在M中收敛.由极限的唯一性，所以xM.所以MM.即M
5、是X中的闭子空间.反之，若 1nnx是M中柯西点列，因X是完备度量空间，则在X中收敛.即xX，s.t.xxn.因为M是X中的闭子空间，所以xM，所以 1nnx在M中收敛.于是M是完备度量空间.例2的证明 由Th 1 只证C是l中的闭子空间即可.x=,21C(要证kj，从而xC)，nx=,21nnC(,2,1n)，s.t.xxn.所以0，N，s.t.当Nn 时，成立 jnj jnjjsup=xxdn,3.特别取Nn，则对j，成立 jNj3.因为NxC,所以当j时，Nj收敛.故1N，s.t.j,k1N时，成立 NkNj3.所以j,k1N时，成立 kjNjj+NkNj+kNk3+3+3=.所以 1j
6、j是柯西数列，因而收敛.所以x=,21C.所以C是l中的闭子空间.由Th 1，C是完备度量空间.证毕.作业：P206.14.15中的 ABS,.联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为作业题解：14 =1，N，s.t.当Nnm,时，有mnxxd,1,特别当Nn 时，有1,Nnxxd1.又Nn 时，1,Nnxxd只有有限个值故 M0,s.t.1,NnxxdM.因此 mn,，成立 mnxxd,1,Nnxxd+mNxxd,1MM 2,1,2max.所以 1
7、nnx是有界点列.15 设 1nnx是S中的柯西点列，nx=,21nn.即0,N，s.t.Nnm,时，成立 mnxxd,=1121kmknkmknkk ()所以k，Nnm,时，成立 mknkmknk1k2.因为给0，对于每个固定的k，：0121k，然后由这个，按不等式()，N.所以Nnm,时，对这个固定的k，成立 mknkmknk11.所以 mknk(Nnm,).所以 1jj是实(复)数集中的柯西点列.而实(复)数集完备,所以 1nnk收敛，设 nkk(n).记x=,21，则xxn.而xS，所以S完备.设 1nnx是 AB中的柯西点列，nx=tfn，At.0，N，s.t.当Nnm,时，成立 t
8、ftfmnAtsup.所以Nnm,及At，成立 联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为 tftfmn.()因此在集A上，函数列 1nntf收敛，设 tfn tf.由()式，令m得Nn 时，tftfn.所以Nn 时，tf tftfmn+tfn+M(由于 1nntf收敛，从而M存在).所以 ABtf，又已证 tfn tf所以 AB是完备度量空间.柯西点列和完备度量空间(续)教学内容(或课题)：目的要求：再次巩固上次课学习的概念与定理，进一步掌握使用概念
9、及定理判别完备度量空间的常用方法.教学过程：baC,是完备的度量空间.证明 设 nx，,2,1n 是 baC,中的柯西点列.0，N，s.t.当Nnm,时，成立 btamax txtxnm.(4)所以t ba,，有 txtxnm.于是当t固定时，1nntx 是柯西数列.由实(复)数集的完备性，tx，s.t.txn tx.往证 tx baC,，nx x实因在(4)中令m，得知Nn 时，成立 btamax txtxn.(5)所以 txn在 ba,上一致收联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基
10、于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为敛于 tx，从而 tx baC,.由(5)，当Nn 时，xxdn,=btamax txtxn.所以 nx x，故 baC,是完备度量空间.令 baP,表示闭区间 ba,上实系数多项式全体,baP,作为 baC,的子空间是不完备的度量空间.实因多项式列 132!621nnnxxxx 在闭区间 ba,上一致收敛于连续的指数函数xe，但xe非多项式.即 baP,不是 baC,的闭子空间.由Th 1，baP,不是完备度量空间.证毕.设X表示闭区间1,0上连续函数全体，对yx,X，令 yxd,=10dttytx.易知 dX,成为度量空间.实因 01 显然 yxd,0
11、.若t1,0时，tx ty，从而 yxd,=0.反之若 yxd,=0，即 10dttytx=0.因 tytx0，故 tx=ty.ea于1,0.又因.ea相等的连续函数必然处处相等，故yx.总之 yxd,0且 yxd,=0yx.02 yxd,=10dttytx 10dttztx+10dttytz =zxd,+zyd,.所以 dX,是度量空间.例5 上面定义的度量空间 dX,不完备.联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为证明 令 txm=210,012
12、121,121,11tmttm线性 先证 1nnx是 dX,中的柯西点列.实因0，当 nm1时，mnxxd,=10dttxtxmn=mmndttxtx12121=nm1121m1.所以点列 1nnx是 dX,中的柯西点列.再证点列 1nnx在 dX,中不收敛.实因对每个xX，xxdn,=10dttxtxn=210dttx+mndttxtx12121+11211mdttx.若 xxdn,0,必有 210dttx=1211dttx=0.但由于 tx在闭区间1,0上连续，得 tx在21,0恒为0，在1,21恒为1.与联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达
13、对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为在t=21间断相矛盾.故 dX,是不完备的度量空间.作业：P206.15.XM、离散空间.作业解答：设 1nnx是XM中的基本点列，0，有 mnxxmX1 mnxxXmnmndttxtxtxtx1 Xmnmndttxtxtxtx1=mnxxd,.0，N，s.t.n，mN，有mnxxd,.从而mnxxmX1.所以 mnxxmX0 mn,.由此可找到自然数列：1n2n3nkn，s.t.knnkkxtxmX211k21对,2,1k都成立.记kX=knnkkxtxX211,再令0X=1mmkkX，则X
14、-0X=1mmkkXXmkkXX，0XXm mkk21=121m.令m，得0XXm=0.所以0mX=mX.显见在0X上 1kntxk处处收敛于一个极限函数，记这个极限函数为 tx.令 tx0=00,0,XXtXttx 则 tx0为X上的可测函数，故 tx0XM.当Nnnk,时，由 联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为 Xnnnndttxtxtxtxkk1=knnxxd,，令k，由勒贝格有界收敛定理，得 0,xxdnNn.所以0 xxnn.故XM是
15、完备的度量空间.5.度量空间的完备化 教学内容(或课题)：目的要求：使学生掌握度量空间的完备化定理的条件、结论及其证明方法.教学过程：Der 1 设(X,d)，(X,d)是两个度量空间，若存在X到X上的保距映照T(1x,2xX，有d(T1x,T2x)=d(1x,2x)，则称(X,d)和(X,d)等距同构，此时称T为X到X上的等距同构映照(既映上又保距).等距同构映照是1-1映照.实因设1x,2xX，且1x2x，则因d(1x,2x)0及d(T1x,T2x)=d(1x,2x)0，知T1xT2x.在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一个度量空间.Th 1(度量空间完备化定理)设X
16、=(X,d)是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=(X,d)，使X与X的其个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一完备度量空间，且X与X的其个稠密子空间W等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构.证明 分4步完成.联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为(1)构造X=(X,d).令X为X中柯西点列x=1nnx全体，对X中任意两个元素x=1nnx和y=1nny，若 nlimnnyxd,=0，(1)则称x与y相等
17、，记为x=y，或 1nnx=1nny.x=1nnx，y=1nnyX，定义 d(x,y)=nlimnnyxd,.(2)首先指出(2)式右端极限存在.实因由三点不等式 nnyxd,mnxxd,+mmyxd,+nmyyd,，所以 nnyxd,-mmyxd,mnxxd,+nmyyd,.同理 mmyxd,-nnyxd,mnxxd,+nmyyd,.所以|mmyxd,-nnyxd,|mnxxd,+nmyyd,.(3)因为 1nnx和 1nny是X中的柯西点列，所以 1,nnnyxd是1R 中柯西数列,所以(2)式在端极限存在.其次指出：若 1nnx=1nnx，1nny=1nny，则 nlimnnyxd,=n
18、limnnyxd,，即d(x,y)与用来表示x,y具体柯西点列 1nnx，1nny无关.实因仿(3)式之证法，得|nnyxd,-nnyxd,|nnxxd,+nnyyd,.由 nlimnnxxd,=0和nlimnnyyd,=0，可 得 联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为nlimnnyxd,=nlimnnyxd,.最后证明 yxd,满足关于距离条件01及02：显然 yxd,=nlimnnyxd,0.又 yxd,=0 nlimnnyxd,=0 x=y
19、.x=1nnx，y=1nny，z=1nnzX，则 nnyxd,nnzxd,nnzyd,，故nlimnnyxd,nlimnnzxd,nlimnnzyd,，即 yxd,zxd,zyd,.所以X按d成度量空间.(2)作X的稠密子空间W及X到W的等距映照T bX，令b=1nnb，其中nb=b，,2,1n，显然bX.令Tb=b，W=T X.因为 dTaTb,=dab,=nlim abd,，所以T是X到W上的等距映照.在X与W等距同构之下往证W是X中的稠密子集.x=1nnxX,令nx=1jjx，其中jx=nx，,2,1j，则nxW.因nx=1jjx是X中的柯西点列，故0，N，s.t.Nn 时，有 Nnxx
20、d,2.于是 Nxxd,=nlimNnxxd,2.即在 ,xU中必有W中的点，故W在X中稠密.(3)证明X是完备的度量空间 设 1nnx是X中的柯西点列，因为W在X中稠密，所以对每个 nx，联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为nzW，s.t.nnzxd,n1.(4)所以 nmzzd,mmxzd,nmxxd,nnzxd,m1 nmxxd,n1，所以 1nnx是W中柯西点列.因为T是X到W上的等距映照，所以 1mmz是X中柯西点列.令x=1mmz，则
21、xX.由(4)式，有 xxdn,nnzxd,xzdn,n1 xzdn,=n1nlimmnzzd,0(n).所以 nlim xxdn,=0，所以X是完备度量空间.(4)证明X的唯一性 设 dX,是另一个完备度量空间，且X与 dX,中稠密子集W等距同构.作X到X上映照T如下：对 x X，由于W在X中稠密，W中点列 1nnx，s.t.nx x.但由于W与X等距同构，W也与X等距同构，从而W与W也等距同构.设为W到W上等距同构映照，由 nx x 知 1nnx是X中柯西点列，由X完备性，Xx，s.t.xxn.令xT=x.首先，这样定义的T与 1nnx无关，即若另有 1nny，Wyn，,2,1n，xyn，
22、则 nlim nx=nlim ny.实 因 nnnnyxdlim,lim=nlim nnyxd,=nlim nnyxd,=xxd,=0.所以nlim nx=nlim ny.联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为下证T是X到X上的等距同构映照,对xX，由于W是X的稠密子集，所以存在W中点列 1nnx，s.t.xxn.同前证明可知 11nnx为X中的柯西点对，有x X，s.t.xxn1.易知Tx=x，即T映照X到X上.又对yx,X，有W中点列 1nnx
23、和 1nny，s.t.xxn，yyn.所以 yxd,=nlim nnyxd,=nlim )(),(nnyxd=yTxTd,，所以T是一个等距同构映照.所以X与X等距同构.证毕.若将彼此等距同构的度量空间视为同一空间，则有 Th1设X=dX,是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X=dX,使X为X的稠密子空间.作业：P206.16.证明l与1,0C的一个子空间等距同构.作业提示：作l到1,0C内的映照T：,21k tx，其中ktx=k，,2,1k;t取1,0的其它值时，tx是线性的.后面证明略.6压缩映照原理及其应用(1)教学内容(或课题)：目的要求：掌握压缩映照概念，掌握不动点概念，掌握压缩映
24、照定理的证明方法，学会用压缩映照定理解决隐函数存在性、微分方程解之存在性的方法.教学过程：Def 1.设X是度量空间，T是X到X中的压映照，若存在一个数：01，s.t.x、yX，成立 联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为TyTxd,yxd,(1)则称T是X到X中的压缩映照(简称压缩映照).Th 1.(压缩映照定理)设X是完备度量空间，T是X上的压缩映照，则T有且只有一个不动点(即方程xTx 有且只有一个 解).证：固定0 xX，令1x=0Tx，2
25、x=1Tx=02xT，nx，=1nTx=，0 xTn，则 1nnx是X中的柯西点列，实因mmxxd,1=1,mmTxTxd1,mmxxd=21,mmTxTxd221,mmxxd01,xxdm.(2)由三点不等式，当mn 时，nmxxd,1,mmxxd21,mmxxdnnxxd,1(m1m1n)01,xxd=m11mn01,xxd.因为01，所以11 mn，所以 nmxxd,1m01,xxd (mn)(3)所以当m，n时，nmxxd,0.所以 1nnx是X中的柯西点列.由X完备性，存在xX，s.t.mx x.由三点不等式和条件(1)，有 Txxd,mxxd,Txxdm,mxxd,xxdm,10(
26、m).所以 Txxd,=0，所以x=Tx.往证唯一性.若又有Xx，s.t.xxT，则由条件(1)，得联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为 xxd,=xTTxd,xxd,，1 xxd,0.又因为10，所以 xxd,=0，所以x=x.证毕.Th 2.设函数 yxf,在带状域bxa，y中处处连续，且处处有关于y的偏导数 yxfy,，若存在常数m和M，满足mM，0m yxfy,M，则方程 yxf,=0 在区间 ba,上必有唯一的连续函数 xy作为解：xx
27、f,0，x ba,.证在完备度量空间 baC,中作映照A，s.t.x baC,，有 xA=xM1 xxf,.因为 yxf,连续，所以 xA也连续，所以A baC,.所以A是 baC,到自身的映照.取21,baC,，xAxA12=xxfMxxxfMx1122,1,1=xxxxxxfMxxy1212112,1=xxxxxxfMy12121,11(01)，0Mm xxxxfMy121,1MM=1.令=1-Mm，则01，且12AA12.所以 baxSup,12AA baxSup,12，所以12,AAd12,d.所联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲
28、的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为以A是压缩映照.由Th 1，存在唯一的 baC,，满足 x xM1 xxf,，即 xxf,0，bxa.证毕.Th 3.(Picard)设xtf,是矩形R=bxxattxt00,上的二元连续函数，设xtf,M，xt,R.又xtf,在R上关于x满足Lipschitz条件，即存在常数K，s.t.xt,、vt,R，有 vtfxtf,Kvx (4)则方程dtdx=xtf,在区间J=00,tt上有唯一的满足条件0tx=0 x的连续函数的解，其中 KMba1,min.(5)证连续函数空间00,ttC是完备度量空间
29、，用C表示00,ttC中满足条件|0 xtx|M(tJ)(6)的连续函数全体所成的子空间，显然C是闭子空间.由4.Th 1,C是完备度量空间.令 tTx=ttdssxsfx0,0，(7)则T是C到C中的映照.实因Mb，若xC，则当t00,tt时，txt,R，又因xtf,在R上二元连续，所以(7)式右边积分有意义.又对Jt，成立 0 xtTx=ttdssxsf0,M0tt M，所以当xC时，联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为TxC.T是压缩映照.
30、实因由Lipschitz条件(4)，对C中任意两点x和v，有 tTvtTx=ttdssvsfsxsf0,0tt K tvtxbat,max K vxd,.令=K，则01，且TvTxd,=tvtxbat,max vxd,.即T是C上的压缩映照.由Th 1，存在唯一xC，s.t.Txx，即 tx=ttdssxsfx0,0，(8)且00 xtx.两边对t求导，得 txtfdttdx,.故 tx是方程dtdx=xtf,的解.若又有 tx也是方程dtdx=xtf,满足初值条件00 xtx的解，则因 tx=ttdssxsfx0,0，所以xC且x是的T不动点，所以x=x.作业：P206.17.有界闭集nRF
31、，A是F到自身映照，x，yFyx，有AyAxd,yxd,.证明映照A在F中存在唯一的不动点.作业提示：令 x=Axxd,，xF.x，0 xF，因为 0 xx Axxd,00,Axxd AxAxdAxxdxxd,000000,Axxd=AxAxdxxd,00 0,2xxd.所以0 xx 时必有 0 xx.即联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为 x在F连续.所以存在xF，s.t.x=xFxmina.显然a0.往证a=0.用反证法，设a0，则由xAF，
32、xAxAd2,xAxd,=x=a与a=xFxmin矛盾.所以a=0.于是 xAxd,=x=0，有x=Ax.即x为A之不动点.因为Fyx,，有AyAxd,yxd,，只要xAx，就有Ayxd,yxd,，从而必有yAy 时yx，所以不动点唯一.6.压缩映照原理及其应用(2).教学内容(或课题)：习题课 目的要求：在掌握压缩映照原理之后，重点掌握应用压缩映照原理的常用方法.教学过程：1、设X为完备度量空间，A是X到X中的映照，记n=xxSup xxdxAxAdnn,，若 1nn，则映照A有唯一不动点.证 因为n=xxSup xxdxAxAdnn,，所以xx时，xAxAdnn,n xxd,.又xx时，上
33、式也成立.因此对Xxx,，恒有xAxAdnn,n xxd,.因为 1nn，所以0，N，s.t.mn,：Nmn时，有 联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为11nmm.又至少有一个1k.固定0 xX，依次令 1x=A0 x，2x=A1x=2A0 x，3x=A2x=3A0 x，mx,=A1mx=mA,0 x 则 1,mmxxd=10,xAxAdmmm10,xxd，21,mmxxd=1101,xAxAdmm1m10,xxd，nnxxd,1=1101,xA
34、xAdnn1n10,xxd.所以 nmxxd,1,mmxxd21,mmxxd nnxxd,1 (m1m 1n)10,xxd10,xxd.所以 1mmx是X中的柯西点列.因为X是完备度量空间，所以xX，s.t.mx x.所以 Axxd,Axxdxxdmm,=AxAxdxxdmm,1 xxdxxdmm,110 m.所以 Axxd,=0，所以 Axx，且xAxk.再设又有xX，s.t.x=xA，则xAxk xxd,=xAxAdkk,k xxd,.因为0k1，所以 xxd,=0，所以xx.证毕.2、设A为完备度量空间X到X中的映照，若在开球 rxB,0 0r内适合 xAAxd,xxd,，01，又在闭球
35、 rxS,0=rxxdx0,A连续，联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为且 00,Axxd r1.证明A在 rxS,0中有唯一的不动点.证 因为 xx,rxB,0，有xAAxd,xxd,.设x在球面上：xxd,0=r.令nxx且nx rxB,0，,2,1n，所以 nxAAxd,nxxd,.因为A连续，所以xAAxn.又因距离连续，所以于上式令n，得 xAAxd,xxd,.同理当x在球面上：xxd,0=r，而x rxB,0时，也有xAAxd,xxd
36、,.再设x,x均在球面上，取nx x，nxx且nx,nx rxB,0，由nnxAAxd,nnxxd,，令n，得xAAxd,xxd,.到此已证出 xx,rxS,0，均有 xAAxd,xxd,.因 rxS,0是X中的一个闭子集，而X为完备度量空间，故 rxS,0也是X中的一个完备的子空间.往下只要证明在 rxS,0中A央 rxS,0到自身的映照.设x rxS,0，则 xxd,0r.Axxd,000,Axxd00,AxAxd r1 xxd,022r=211rr，所以Ax rxS,0.毕.3、设jka，j,k=n,2,1为一组实数，适合条件njiijija1,21，其中联系生活实际激发学生的感恩情怀重
37、点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为j=k时，jk=1，否则jk=0.证明代数方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 对任何一组固定的nbbb,21必有唯一的一组解nxxx,21.证 在完备度量空间nR中，令 Tb=(nbbb,21)，Tx=(nxxx,21)，Tx=(nxxx,21)，方程组的系数矩阵记作A，则方程组可改写为 Ax=b 或 Ax=b.又可改写为 x=bEAx 或 x=bEAx.令映照：x=
38、bEAx，x=bEAx，则 xxd,=xEAbxEAbd,=21221211111nnnxxaxxaxxa 22222211211nnnxxaxxaxxa 22221111xxaxxaxxannnnn21.利用柯西不等式，得 xxd,21222222212121221111nnnaaaaaaa2221nnnaa 21222211nnxxxxxx 联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为=211,2njiijija xxd,.记常数211,2njiij
39、ija=，由已知条件，有01.于是对nRxx,，有xxd,xxd,，即为压缩映照.由压缩映照原理，存在唯一x，s.t.x=x，即x=bEAx或Ax=b.附注：如果和P225.题与联起来，那么d是由诱导的距离，有 xxd,=xEAbxEAbd,=xEAbxEAb =xxEAEAxx=211,2njiijija xxd,=211,2njiijija xxd,，这就简便多了.作业：4、设 tf1,0C，求方程 tdssxtftx0 的连续解.作业提示：若 tf可导，则由 tx=tf tx，得 tx=te tsdssfef00=te tsdssfef00 tf=tf tstdssfe0.若 tf不可导
40、，则令 tx0=tf，txn=tf tndssx01迭代而得 tx1 tf tdssf0，联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为 tx2 tf tdssx01=tf tsdsdfsf00 =tf tdssf0 tsdsdf002 =tf tdssf0 ttdsdf02 =tf tdssf0 tdft02 =tf tdssf0 tdssfst02.tx3=tf tdssx02=tf tssdsdfsdfsf0002=tf tdssf0 tdssfst02 tdssfst023!2(理由同上).一般地有 txn=tf tsf0 dsnsttstnn!1!211122 tf tstdssfe0.所以 tx=tf tstdssfe0.联系生活实际激发学生的感恩情怀重点难点抓住人物的动作神态语言等忍辱负重地顾自己来表达对母亲的深深愧疚和怀念之情史铁生笔下对亲正走进作者的内心世界呢基于以上问题的思考在教学中应以反复朗读为