2022年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习2答案 .pdf-淘文阁

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2、其中),(iiba是 G 的构成区间。不妨设1),(iiibaG于是)(,|()(,|()(,|)(111iiiiiibxfXxxaxfXxxbxfaXxxGf是开集。因此f 是连续的实函数。证毕2、设0C 表示极限为 0 的实数列全体，按通常的加法和乘法，以及supiix，12nx，构成Banach空间，证明：10Cl。（第八章：P236,#9）证明：令0 001 00nne，则0neC，1 2 3n，。对任意0fC，定义1,nTffefe，。以下先证1Tfl，且Tff记1nnnnniiifesignxe，则nxC，且1nx，1 2n，111nnnniiiiiiiifxfe由于nnfxfxf

3、。因此1niif，令n，1niif。这就证明了2 1Tfl，且Tff再证对任意12,ny，定义0C上线性泛函f：若12nx，则1niiifx，因此112,nnTffefey，。又因为11supnniiiiiiifxfxy因此0fC，且fyTf，于是Tff由以上证明可知。T是0C到1l上的同构映射。而在同构意义下，10Cl。证毕3、设X和Y为Hilbert空间，A是X到Y中的有界线性算子，A 和A 分别表示算子A的零空间和值域，证明AA，AA，AA，AA（第九章：P265，#11）证明设xA，则0Ax。这样若yY，A yA，必有,0 x A yAx y，所以xA，设xA，则对任意yY，,

4、0Ax yx A y。由y的任意性可推得0Ax，即xA。以上证明了AA，用A代替A可得AAA。同时，AA，以下证明AA首先，由AA可知AA从而AAA又设yA，12yyy，其中12,yAyA。对任意xX，22,0A yxyAx，所以20A y，即2yA。这样212220,yyyyyy，即20y，于是1yyA。文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2

5、G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C

6、1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7

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9、6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:C

10、H7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 H

11、Z4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U63 这样我们就证明了AA。用A代替A又可得AA，证毕。4、设X是内积空间，X是它的共轭空间，zf 表示上线性范函zfxz，若X到X的映射zFzf：是一一到上的映射，则X是Hilbert空间。（第九章：P265，#10）证明设1nnz是X中柯西列。有nmzznmnmffxxzzxzz，可知1nznf是X中柯西列。因X是完备的，因此有xX使nzfxn。设zxf，其中zX，设supnnzM+，则2nmnmnnnzznnzzzzzzzzffzzzzff，0nmzzMzffn。这就证明了X是完备的内积空间，即为Hilbert空间。证毕。5、设(),

12、(1,2,)nTXYn，其中X是 Banach空间，Y是赋泛线性空间，若对每个xX，nT x 都收敛，令limnnTxT x，证明T是X到Y中有界线性算子，并且limnnTT。（第十章：P295，#12）证明：由 T 的定义知，T 是线性的。又因为对每个xX，nT x收敛，从而nT x有界。由一致有界性定理，存在M0，supnnTM。若定义limnnTxT x，则显然T 是线性的，且limlimnnnnTxT xTx，所以 T 是有界的，且limnnTT，证毕。6、证明：在完备度量空间X 中成立闭球套定力，即若(,),vvvSx d x x1,2,v且12,nSSS0()vv，则存在唯一的1v

13、vxS；反之，若在度量空间X 中成立闭球套定理，则X 是完备度量空间。文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 H

14、Z4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX

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17、 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1

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19、编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U64(第十章：P295，#8)证明设 X 是完备的度量空间，vS为一列闭球套：(,),vvvSx d x x1,2,v若0()vv，对任给0，存在 N，当nN时，n，因此当,n mN时，(,)nm

20、nd xx。所以vx是柯西列。设0limnnxxX。因为1,1,2,kkSSk当nk时，nkxS，又kS是闭集，0limnknxxS。因此01kkxS。下面证明01kkSx。若1kkyS，则00(,)(,)(,)20()kkkd xyd x xd xyk这样必有0 xy。反之，若 X 满足闭球套定理，nx是柯西列。则存在1N，当1,m mN时，1(,)2d m m，记11(,)1 NSx d xx。存在21NN，当2,m mN时，21(,)2d m m，记221(,)2NSx d x x-。存在1kkNN，当,km mN时，记11(,),1,2,2kkNkSx d xxk这样得到一列闭

21、球1kkS，对任意k 和任意kxS，有11(,)(,)(,)kkkkNNNNd x xd x xd xx112111222kkk。所以1kxS，即1,1,2,kkSSk于是，由假设存在1kkxS，且limkNkxx。因为nx为柯西列，limkNkxx，则必有limnnxx。因此 X 必为完备度量空间。证毕。7、证明点列 nf 按习题 2 中距离收敛与,baCf的充要条件为nf 的各阶导数在,a b上一致收敛于f的各阶导数。文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码

22、:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4

23、 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1

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25、编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4

26、T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F

27、1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6

28、文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U65（第七章：P215，#5）证明若nf按习题 2 中距离收敛与,baCf，即)()(1)()(m ax21),()()()()(0tftftftfffdrrnrrnbtarrn 0)(n因此对每个r，)()(1)()(max21)()()()(0tftftftfrrnrrnbtarr 0)(n，这样btamax)()()()(tftfrrn 0)(n，即)()(tfrn在 a，b 上一致收敛于)()(tfr。反之，若的nf（t）各阶

29、导数在a，b上一致收敛于f（t），则任意o，存在0r，使2211orrr；存在rN，使当rNn时，max)()()()(tftfrrn00,2,1,0,2rrr，取N=max NNN1，当 nN 时，)()(1)()(max21),()()()()(0tftftftfffdrrnrrnbtarrn)()(1)()(max21)()()()(0tftftftfrrnrrnbtarr121orrr22.00rr即),(nffd 0)(n。证毕8、设0,2,()()(),itXCAx te x txX，证明：()1A。（第十一章：P319，#2）证明对任意000,()()()()ititititee

30、 IA x teex t。因为常值函数1 不在0ite IA的值域中，因此0()iteA。这样1()A。反之，若1，定义1:()()()itRR x tx te。类似第1 题可证R是有界线性算子，且()()RIAIA RI。即()A。因此()1 A。证毕。文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7W6O10N4T4 HZ4Z2G9U2F1 ZX9L6C1W4U6文档编码:CH7

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