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1、1 泛函分析期末复习题和答案（2005-2006 年度）此为答案复习题在后面1、所有元素均为0 的 nn 矩阵2、设 E 为一线性空间，L 是 E 中的一个子集，若对任意的x，y L，以及变数 和均有xyL，则 L 称为线性空间E 的一个 子空间。子空间心室包含零元素，因为当和 均为 0 时，xy0L，则 L 必定含零元素。3、设 L 是线性空间E 的子空间，x0EL，则集合x0+L=x0+l，lL 称为 E 中一个 线性流形。4、设 M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x，yM，以及 1，0，0的 和，都有 xyM，则称 M 为 E 中的 凸集。5、设 x，y 是线性空间E 中的两个元素
2、，d(x，y)为其之间的 距离，它必须满足以下条件：（1）非负性：d(x，y)0，且 d(x，y)0 x=y（2）对称性：d(x，y)=d(y，x)（3）三角不等式：d(x，y)d(x，z)+d(y，z)for every x，y，zE n 维欧几里德空间常用距离定义：设 x=x1，x2，xnT，y=y1y2，ynT d2(x，y)=(21|niiixy)1/2d1(x，y)=1|niiixydp(x，y)=(1|npiiixy)1/pd(x，y)=1max|iiinxy6、距离空间(x，d)中的点列 xn 收敛到 x0是指 d(xn，x0)0(n)，这时记作0limnnxx，或简单地记作xn
3、x07、设|x|是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件：（1）|x|0，且|x|0iff x=0（2）|x|=|x|，为常数（3）|x+y|x|+|y|，for every x，yE 8、设 E 为线性赋范空间，xnn=1是其中的一个无穷列，如果对于任何 0，总存在自然数 N，使得当 nN，mN 时，均有|xm-xn|，则称序列 xn是 E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E，则称 E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。10、如果内积空间能在由内积诱导的赋
4、范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。11、L2（a，b）为定义在(a，b)上平方可积函数空间，即设f(t)L2（a，b），2|()|baftd t。当 L2（a，b）中内积的定义为（f，g）=_()()baf t g t dt(其中f(t)，g(t)L2（a，b）)时其为 Hilbert 空间。2 12、算子表示一种作用，一种映射。设 X 和 Y 是给定的两个线性赋范空间，集合 DX，若对 D 中的每一个x，均有 Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定了一个算子T，记为 y=T(x)，y 为 x 的像，x 为 y 的原像。13、算子的范数：设T 为有界线性算子，
5、则对一切xD(T)，使不等式|Tx|YM|x|X的正数 M 的下确界称为T 的范数，|T|=sup|Tx|/|x|，|x|0。直观的理解就是|x|的最大放大率。14、根据线性算子零空间的定义：对线性算子T：EE1，必有 T0=0，则称集合 x E|Tx=0为 T 的零空间，它是E 的线性子空间，并不一定是值域E1的子空间。15、如果存在一正常数M，使得对每一个x D(T)，都有|Tx|YM|x|X，则称 T 为有界算子。无界算子：设算子 T：C10，1C0，1定义为：(Tx)(t)=x(t)，则 T 是线性算子，若视C10，1为 C0，1的子空间，则T 是无界的。16、设 Tn=L(X，Y)，
6、TL(X，Y)，如果对任何一个x X，均有|Tnx-Tx|0(n)，则Tn弱收敛于 T。17、L(X，Y)是 BANACH空间。*18、压缩映像原理又叫BANACH不动点定理，其具体内容如下：设X 为 BANACH空间，F 为 XX 的算子，且D(F)R(F)，如果 x*X，满足 F(x*)=x*，称 x*为 F 的不动点。设集合 QD(F)，如果存在常数q(0，1)使得对任何x，xQ，有|F(x)-F(x)|q|x-x|，称 F 为 Q 上的压缩算子，q 为压缩系。压缩映像原理：设算子F 映 BANACH空间 X 的闭子集Q 为其自身且F 为压缩算子，压缩系为q，则算子 F 在 Q 内存在唯
7、一的不动点x*，若 x0为 Q 内的任意点，作序列 xn+1=F(xn)，n=0，1，2，则 xnQ，xnx*，而且有估计|xn-x*|q/(1-q)|F(xn)-F(x0)|。简单地说即赋范空间的完备子集上压缩映射存在唯一的不动点，且该不动点可由该完备子集上的任一点作为初始值用迭代法得到。19、设 X 是实数域上的线性赋范空间，D 是 X 的线性子空间，f:DR，如果 f 满足：对任何，R，x，yD，f(x+y)=f(x)+f(y)，则 f 是 D 上的一个线性泛函，或者说由 XR 的算子为泛函。泛函f 的范数定义如下：|f|=|f|=sup|f(x)|(|x|=1)=sup(|f(x)|/
8、|x|)(|x|0)=sup|f(x)|(|x|1)，并且有|f(x)|f|x|。20、定义在整个线性赋范空间X 上的所有有界线性泛函的全体构成的空间L(X，R)称为空间 X 的共轭空间，又叫对偶空间，其是完备的。21、弱 收 敛：X为 线 性 赋 范 空 间，xnX，x0 X，如 果 对 任 何 一 个f x*均 有0lim()()nnf xf x，则称 xn 弱收敛于 x0。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。22、泛函的GATEAUR 微分：设 X 为线性赋范空间，x0X，f(x)的 x0及其领域内有定义，如果对任意hX，极限：000()()limtf xthf xt存在，则称f(x)
9、在 x0处对方向h 存在GATEAUR 导数，记为0(,)f xh。又称为泛函f(x)在 x0处对于方向h 的一阶变分。23、0(,)f xh称为泛函f(x)在x0处对于方向h 的一阶变分。令0()(),tf xth则00)()(0)(0)lim(,)ttf x ht。24、0 xxdggdt3 25、应变能密度：0()()ijklklijijWd:应变余能密度：0()ijijijcijWd:其关系如下图所示：26、有限元方法的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集的分片插值函数。27、,1()(),()2iijiiiiji jj iVVSu xWdVf u dVP u dsuu，其中()u
10、x为系统的总势能，()ijVWdV为应变能，后两项为外力势能，fi为体积力分量，iP为给定S边界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件(iiuuon Su)和必要的连续性条件的位移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能()u最小。其基本的未知函数是位移场ui，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满足小位移应变关系，,1/2()iji jj iuu。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即：iiuuon uS。推导与证明过程如下：把 取一阶变分：=()ijiiiiijiiiiVVsVVsijWWdVf u dVpu dsdVfu dVP u
11、ds其中：,(1/21/2)1/21/2()ijijijiji jj iVVVijiji jijj iiji jijijijjiVVVVWdVdVuudVu dVu dVu dVuu dV而,()()uijijijijijjiijjiVsssudVu n dsnu dsnu ds由于在 su上iiuu为已知，则uijjisnu ds=0 所以=,ijjiijjiiiiisVVsnu dsu dVf u dVpu ds由=0 得,0ijjifon ijjinpon uS4 即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值是的最小值：设正确解是ui，其它满足位移边界条件的容许位移是ui
12、*，则 ui*=ui，+ui，则ij*=ij+ij，由此得到：*=+2其中=0，2=()ijVWdV0，所以*，则极小值即是最小值。证明完毕。28、系统的总余能()()uccijiijjVsWdVun ds，其中第一项为系统的应变余能，第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足,0ijjifin 和ijjinpon uS的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。其基本未知函数是应力场ij，对其要求为,0ijjifin ijjinpon uS证明如下：对()c取一阶变分：()()uijcijiijjVsijWdVun ds，其中,1/2()()cijijiji jj iiji
13、 jijiijjiijjVVVVVVijWdVdVuudVudVudVudV由高斯定理可知：,()iijjiijjVsudVun ds在 边 界 面S上，i jjinp是 已 知 的，所 以0ijjinP，则,()uiijjiijjVsudVun ds同理，由于,0ijjif，其中fI是给定的，所以在内，,ij j=0。由以上推导可得：()()uciiijjsuun ds，由极值条件()c=0，得iiuu，在uS上。这就说明了()c取得极值时的ij既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条件，所以是正确解，是真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值：设外力已知边界条件下的应力分
14、量为*ij，*ijijij*()()()()uuccijiijjcijijiijijjVsVsWdVun dsWdVun ds5*2()()()()cccc，其中2()()0ccijVWdV，所以()c*()c，所以这个极小值是最小值。证明完毕。29、Hellinger-Reissner 混合变分原理：以位移和应力作为独立变分的函数，真实的位移场和应力场使系统的总势或总余能最小。证明：构造余能泛函：,()()()ucijiijjiijjiiijjiVsVsWdVun dsf dVnP dV变分得：,()()()()()uij ji jijijjiiiiijiijjiiiijjVVsssdVfd
15、VdSnP dSun ds依ij的对称性，得,1/2()i jiji jj iij。则,()1/2()ijji jijij ji jj iijVVdVdV由=0 的驻值条件可得：,1/2()ijji jj i,0i jjifin ii=0 ijjinP=0 on siiuon us取iiu，iiu，则余能泛函变为下面形式：*,()()()ucijijjiiiijjijjiiVssWfu dVun dsnP u dV，由以上计算过程可知，由泛函*的驻值条件给出的,ijiu必定满足平衡方程，应力应变关系，应变位移关系，外力和位移的边界条件，所以它们是正确解，是真实的应力场和位移场。可以证明，当以u
16、i*=ui，+ui和*ijijij代入以上泛函，得*，*，即真实的位移场和应力场使余能泛函取得最小值。复习题（1）所有nn矩阵可以构成一个线性空间。试问这个线性空间中的零元素是什么？（2）什么是线性空间的子空间？子空间是否一定包含零元素？为什么？6（3）什么是线性流形？（4）什么是线性空间中的凸集？（5）如果一个度量能够成为一个线性空间上定义的距离，那么这个度量必须满足什么条件？试给出几个在n维欧几里德空间上常用的距离定义（6）距离空间),(dX上的收敛是如何定义的？（7）线性空间上定义的范数必须满足哪些条件？（8）什么是巴拿赫空间？赋范空间中的基本列一定收敛吗？（9）有限维的线性赋范空间都是
17、巴拿赫空间吗？（10）什么是希尔伯特空间？（11）),(2baL空间是如何构成的？在怎样的内积定义下其可以成为一个希尔伯特空间？（12）什么是算子？为什么要求算子T的定义域)(TD是一个子空间？（13）算子的范数是如何定义的？从直观角度谈谈对算子范数定义的理解。（14）线性算子的零空间一定是值域空间中的子空间吗？（15）什么是有界算子？举一个无界算子的例子。（16）算子的强收敛是如何定义的？（17）设X为一个线性赋范空间，而Y为一个 Banach 空间。那么从X到Y的线性算子所构成的空间),(YXL是否构成一个Banach 空间？（18）什么是压缩映像原理？它在力学中有什么重要应用？（19）什
18、么是泛函？什么是泛函的范数？（20）什么是线性赋泛空间X的共轭空间？线性赋泛空间X的共轭空间是否总是完备的？（21）什么是弱收敛？弱收敛与强收敛之间是什么关系？（22）什么是的Gateaux 微分？（23）什么是泛函的（一阶）变分？它是如何定义的？（24）形如dttxtxtgtxJba)(),(,()(的泛函，其对应的Euler-Lagrange 方程是什么？（25）什么是结构的应变能密度？什么是余能密度？二者关系如何？试画图说明。（26）有限元方法的本质是什么？瑞兹具有局部紧支集的分片插值函数（27）什么是最小势能原理？最小势能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得势能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的位移场。（28）什么是最小余能原理？最小余能原理中的基本未知函数是什么？对这些基本未知函数有什么要求？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数对应结构真实的应力场。（29）什么是 Hellinger-Reissner 混合变分原理？推导并证明使得余能泛函取最小值的位移函数和应力函数对应结构真实的位移场和应力场。7