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1、6.2 6.2 弯曲切应力弯曲切应力(bending shear stress)bending shear stress)1.1.矩形截面中的弯曲切应力矩形截面中的弯曲切应力方向：方向：矩形横截面中弯曲切应力方向矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。与剪力方向相同。大小：大小：高高宽宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。d dx xN N1 1N N2 2b b 切应力公式切应力公式后面正应力合力后面正应力合力S SI IMMz z=A Ay yI IMMA Az zd d=A AN NA Ad d1 1=S SI IMMMMN Nz
2、 z+=)(d d2 2前面正应力合力前面正应力合力x xb bF Fd d=上面切应力合力上面切应力合力2 21 1N NF FN N=+平衡方程平衡方程S SI IMMMMx xb bS SI IMMz zz z+=+d dd d x xMMbIbIS Sz zd dd d =z zI IMyMy=后面正应力后面正应力重要公式重要公式bISQz=bISQz=z zI Iy yMMMM)(d d+=前面正应力前面正应力y yh hb b b bh hb by yh hb bh/h/2 2 y y(h/h/2+2+y y)/2 2=y yh hb bS S2 2 =2 22 24 42 21
3、1y yh hb b +y yh h2 22 21 1 =2 22 24 42 2y yh hI IQ Qz z 重要公式重要公式bISQz=bISQz=A AQ Q=2 23 3 bhbhQ Qh hI IQ Qz z=2 23 34 42 22 2maxmax h hb bS S h hb bS S 分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论用图中横线以上部份或以下部份的静矩来计算切应力符号相反吗？0 0=+S SS S2 21 1N NF FN N=+bISQz=N2N1FdxN1N2bF2 21 1N NF FN N=+bISQz=2.2.其它截面中的弯曲切应力其它截面中的弯曲切应力圆形
4、横截面中的弯曲切应力分布圆形横截面中的弯曲切应力分布切应力竖直分量计算切应力竖直分量计算bISQz=bISQz=y y圆形横截面中性层上的弯曲切应力圆形横截面中性层上的弯曲切应力 3 32 2d dy yc c=12123 32 28 81 13 32 2d dd dd dS S=4 46464d dI Iz z=y yc cA AQ Q=3 34 4maxmax 2 24 43 33 3161664641212d dQ Qd dd dd dQ QbIbIS SQ Qz z =3.3.常用截面常用截面最大切应力公式最大切应力公式最大切应力出现在中性层上。最大切应力出现在中性层上。A AQ Qk
5、 k=maxmax bIbIS SQ Q=k=4/3k=2k=3/2k=1()xzzxSIdQdIQS:=()xzzxSIdQdIQS:=标准工字钢标准工字钢C CG GD DA A404015151515G G 截面截面剪力和剪力和弯矩弯矩N N240240=P PF FQ Q151515151515151515151515P PF FC CD DA AG GK K例例 在如图的结构中，在如图的结构中，C C 处的压力为处的压力为 180180N N，求求 G G 截面上的最大正应力和截面上的最大正应力和最大切应力。mmmmN N36003600=DGDGF FCGCGP PMM最大正应力在
6、截面两侧最大正应力在截面两侧最大切应力。MPaMPa4 46 66 62 2maxmax.=bhbhMMWWMM 部件部件 ADC ADC 可简化为可简化为如图的形式。如图的形式。最大切应力在中性层上最大切应力在中性层上N N420420=DKDKCKCKP PF F MPaMPa6 61 1maxmax.=A AQ Qk k 对对 A A 取矩取矩6.3 6.3 梁的强度及破坏梁的强度及破坏bIbIS SQ Q=I IMyMy=正应力正应力切切应力应力WWMMmaxmaxmaxmax=A AQ Qk k=maxmax 最大正应力最大正应力最大切应力最大切应力Q Qx xQ Qx xMMx x
7、x xMM脆性材料脆性材料正应力引起的破坏正应力引起的破坏塑性材料塑性材料塑性铰塑性铰（plastic hingeplastic hinge）切应力引起的破坏切应力引起的破坏3 3kNmkNm4 4kNkN/mm5005005005005005002.52.5kNkN0.50.5kNkNB BC C252525252525100100100100例例画出如图结构的剪画出如图结构的剪力弯矩图，并求梁中横力弯矩图，并求梁中横截面上的最大拉应力和截面上的最大拉应力和最大切应力。最大切应力。2 2kNkN2.52.5kNkN0 0=B Bm m 先求支反力先求支反力0 02 25 50 01 15 5
8、0 04 41 13 3=+).().(C CR R1.251.25kNmkNm1.751.75kNmkNm0.50.5kNmkNmkNkN5 50 0.=C CR RC C 处支反力处支反力实际方向向下实际方向向下=0 0C Cm m 0 02 25 50 05 50 04 41 13 3=).().(B BR RkNkN5 52 2.=B BR R根据外荷载画剪力弯矩图根据外荷载画剪力弯矩图3 3kNmkNm4 4kNkN/mm5005005005005005002.52.5kNkN0.50.5kNkNA A252525252525100100100100y yc c例例画出如图结构的剪画
9、出如图结构的剪力弯矩图，并求梁中横力弯矩图，并求梁中横截面上的最大拉应力和截面上的最大拉应力和最大切应力。最大切应力。4 46 62 23 3mmmm101064645 52 275755 55757757550507575505012121 1=+.).(2 2kNkN1.251.25kNmkNm1.751.75kNmkNm0.50.5kNmkNm5 55757757550501001001001002 27575757550505050100100100100.=c cy y +=2 23 350505 5575710010010010010010010010012121 1).(I I
10、+=2 23 350505 5575710010010010010010010010012121 1).(I I 4 46 62 23 3mmmm101064645 52 275755 55757757550507575505012121 1=+.).(4 46 62 23 3mmmm101064645 52 275755 55757757550507575505012121 1=+.).(2.52.5kNkN横横截面形心坐标截面形心坐标 y yc c关于中性轴的惯性矩关于中性轴的惯性矩3 3kNmkNm4 4kNkN/mm5005005005005005002.52.5kNkN0.50.5k
11、NkNA AB BC C25252525252510010010010057.557.5例例画出如图结构的剪画出如图结构的剪力弯矩图，并求梁中横力弯矩图，并求梁中横截面上的最大拉应力和截面上的最大拉应力和最大切应力。最大切应力。2 2kNkN2.52.5kNkN梁中最大正应力出现在梁中最大正应力出现在 A A 截面截面上侧上侧最大拉应力在最大拉应力在 A A 截面上侧截面上侧，其值为，其值为 13.213.2MPaMPa1.251.25kNmkNm1.751.75kNmkNm0.50.5kNmkNmMPaMPa2 21313101064645 55 55757100100101075751 1
12、6 66 6.).(.=MPaMPa7 71212101064645 55 55757101025251 16 66 6.=下侧下侧3 3kNmkNm4 4kNkN/mm5005005005005005002.52.5kNkN0.50.5kNkNA AB BC C25252525252510010010010057.557.525252525252510010010010057.557.5例例画出如图结构的剪画出如图结构的剪力弯矩图，并求梁中横力弯矩图，并求梁中横截面上的最大拉应力和截面上的最大拉应力和最大切应力。最大切应力。2 2kNkN2.52.5kNkN最大切应力出现在最大切应力出现在
13、BC BC 区段中性层上区段中性层上bIbIS SQ Q=maxmax 1.251.25kNmkNm1.751.75kNmkNm0.50.5kNmkNm3 34 4mmmm101027278 82 22 25 557575 557572525=.S S MPaMPa7 70 0101064645 52 22525101027278 810105 52 26 64 43 3maxmax.=bIbIS SQ Q 校核梁的校核梁的强度的一般流程强度的一般流程计算横截面形心位置以确定中性轴计算横截面形心位置以确定中性轴计算横截面关于中性轴的惯性矩计算横截面关于中性轴的惯性矩确定可能产生最大正应力的截面
14、及其弯矩确定可能产生最大正应力的截面及其弯矩用公式计算最大正应力用公式计算最大正应力zIyMmaxmaxmax=zWMmaxmax=或或根据许用应力校核强度根据许用应力校核强度确定可能产生最大切应力的截面及其剪力确定可能产生最大切应力的截面及其剪力用公式计算最大切应力用公式计算最大切应力bISQz=maxmaxAQk=max或或l lq qd d例例试计算如图悬臂梁中最大正试计算如图悬臂梁中最大正应力与最大切应力之比。应力与最大切应力之比。3 32 23 32 2maxmax161632322 2d dqlqld dl lq qWWMM =3 32 23 32 2maxmax161632322
15、 2d dqlqld dl lq qWWMM =最大正应力产生在最大正应力产生在左端截面中上下两点左端截面中上下两点2 22 2maxmax3 316164 43 34 4d dqlqld dQ QA AQ Qk k =2 22 2maxmax3 316164 43 34 4d dqlqld dQ QA AQ Qk k =最大切应力产生在最大切应力产生在左端截面中性轴上左端截面中性轴上d dl l 3 3maxmaxmaxmax=两者之比两者之比动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔移动荷载可从简支梁左端移到右端，移动荷载可从简支梁左端移到右端，试计试计算横截面上最大正应力与最大切应力之比。
16、算横截面上最大正应力与最大切应力之比。l lP P2 22 2maxmaxmaxmax2 23 36 64 4bhbhPlPlh hb bl lP PWWMM=2 22 2maxmaxmaxmax2 23 36 64 4bhbhPlPlh hb bl lP PWWMM=h hb bbhbhP PA AQ Q2 23 3maxmax=bhbhP PbhbhP PA AQ Qk k4 43 32 22 23 3maxmaxmaxmax=bhbhP Pk k2 23 3maxmax=h hl l=maxmaxmaxmax maxmaxmaxmax h hL L WWMMmaxmaxmaxmax=3
17、3h hPLPLWWPLPL A AQ Qk k=maxmax 2 2h hP P结论结论一般一般细长细长梁梁的的横截面上弯曲正应力几乎总比弯曲切应横截面上弯曲正应力几乎总比弯曲切应力高出一个数量级。力高出一个数量级。结论结论在一般细长梁中，弯曲正应力是引起破坏在一般细长梁中，弯曲正应力是引起破坏的主要原因。的主要原因。在短粗梁、薄壁杆件、层合梁、抗剪能力在短粗梁、薄壁杆件、层合梁、抗剪能力较弱的复合材料梁中，弯曲切应力是引起破坏较弱的复合材料梁中，弯曲切应力是引起破坏的值得重视的因素。的值得重视的因素。+脆性材料脆性材料塑性材料塑性材料 +6.46.4薄壁杆件中的弯曲切应力薄壁杆件中的弯曲切
18、应力1.1.方向方向方向方向薄壁杆件薄壁杆件横截面上横截面上的弯的弯曲切应力方向总是平行于周曲切应力方向总是平行于周边的，并且沿厚度方向均匀边的，并且沿厚度方向均匀分布。分布。薄壁杆件切应力方向分析薄壁杆件切应力方向分析薄壁杆件薄壁杆件横截面上横截面上的切应力分布构成的切应力分布构成 切应力流切应力流切应力流切应力流(shearing shearing stress flow)stress flow)。bIbIS SQ Q=2.2.大小大小大小大小bIbIS SQ Q=240240200200y yz z240240200200y yz z240240200200y yz z240240200
19、200y yz z240240200200y yz zx xy yz zF F例例如图的悬臂梁的壁厚均为如图的悬臂梁的壁厚均为2020mmmm，自由端竖自由端竖直直方向上作用着方向上作用着F F=15=15 kN kN 的集中力。求横截面上的集中力。求横截面上的切应力分布。的切应力分布。4 48 83 3mmmm10105855851 1240240202012121 1=+.4 48 83 3mmmm10105855851 1240240202012121 1=+.+=320020121zI+=320020121zI+=320200121zI+=320200121zI222024020200
20、2+2220240202002+=320200121zI+=320200121zI2220240202002+2220240202002+=320200121zI+=320200121zI横横截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩翼板翼板中的切应力中的切应力240240200200y yz z240240200200y yz zz zx xy yz zF F翼板中坐标为翼板中坐标为 z z 处的面积对中性轴处的面积对中性轴的静矩的静矩+=22022402022001zS+=22022402022001zS()33mm1010062=z.()33mm1010062=z.1 13 3101015
21、15=bIbIS SQ Qz z 8 810105855851 12020.1 13 310101515=bIbIS SQ Qz z 8 810105855851 12020.()3 310101001006 62 2 .z z MPaMPa101010010023231 12 2 =)(.z z 240240200200y yz z240240200200y yz z240240200200y yz zz240240200200y yz zy yx xy yz zF F腹板中坐标为腹板中坐标为y y 处的面积对中性轴的处的面积对中性轴的静矩静矩+=S S2 220202 2240240200
22、20020202 2+y yy y2 22402402 21 120202 2240240 3 32 22 25 5mmmm120120101010102 25 5)(.y y +=腹板中的切应力腹板中的切应力 2 23 310101515=8 810105855851 12020 .bIbIS SQ Qz z 2 22 25 5120120101010102 25 5 +)(.y y()MPaMPa12012010102 25 54734730 02 22 24 4y y+=.240240200200y yz zx xy yz zF F横横截面上切应力分布如图。截面上切应力分布如图。翼板翼板
23、中的切应力中的切应力MPaMPa101010010023231 12 2 =)(.z z 最大切应力出现在最大切应力出现在z z=10=10 处处MPaMPa23231 1maxmax.=腹板中的切应力腹板中的切应力()MPaMPa12012010102 25 54734730 02 22 24 4y y+=.最大切应力出现在中性轴上最大切应力出现在中性轴上MPaMPa14143 3maxmax.=bIbIS SQ Q=典型薄壁杆件横截面上切应力分布典型薄壁杆件横截面上切应力分布3.3.弯曲中心弯曲中心(bending center)bending center)横横截面具有左右对称轴的构件截
24、面具有左右对称轴的构件横横截面不具有左右对称轴的构件截面不具有左右对称轴的构件弯曲中心弯曲中心分布的切应力向弯曲中心简化的结果是主分布的切应力向弯曲中心简化的结果是主矢矢不为不为零，主矩为零。零，主矩为零。thbx1thbx1thbQ1thbmQt th hb be e弯曲中心的确定弯曲中心的确定z zz zI IQhxQhxt tI IS SQ Q2 21 1=z zz zI IQhxQhxt tI IS SQ Q2 21 1=2 2h hxt xtS S=z zb bz zb bI IQhtbQhtbx xI IQhxtQhxtx xt tQ Q4 4d d2 2d d2 20 00 01
25、 11 1=z zb bz zb bI IQhtbQhtbx xI IQhxtQhxtx xt tQ Q4 4d d2 2d d2 20 00 01 11 1=z zb bz zb bI IQhtbQhtbx xI IQhxtQhxtx xt tQ Q4 4d d2 2d d2 20 00 01 11 1=z zI It tb bQhQhh hQ Qm m4 42 22 21 1=z zI It tb bQhQhh hQ Qm m4 42 22 21 1=z zI It th hb bQ Qm me e4 42 22 2=弯曲中心位置弯曲中心位置RRthbez zI It th hb be e4 42 22 2=双轴对称及反对称图形双轴对称及反对称图形两个两个狭长矩形的组合狭长矩形的组合