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1、9.2 9.2 三向应力状态简介三向应力状态简介1.1.应力状态矩阵应力状态矩阵xyz2.2.符号规定符号规定=z zzyzyzxzxyzyzy yyxyxxzxzxyxyx x T T拉应力为正，压应力为负。拉应力为正，压应力为负。n nx xy yz zn nx xy yz z3.3.斜截面上的应力矢量斜截面上的应力矢量TnpTT=TnTnp p=z zy yx xz zzyzyzxzxyzyzy yyxyxxzxzxyxyx xz zy yx xn nn nn np pp pp p =coscoscoscoscoscosz zy yx xn nn nn nn nn nx xy yz zp
2、 pn nx xy yz zp p 4.4.法法向向应力分量应力分量TnTnn nn np pT TT T=z zy yx xz zzyzyzxzxyzyzy yyxyxxzxzxyxyx xz zy yx xn nn nn nn nn nn n )(n nx xy yz zp pt t n nx xy yz zp pt t 5.5.切向应力分量切向应力分量TtTtn nt tp pT TT T=z zy yx xz zzyzyzxzxyzyzy yyxyxxzxzxyxyx xz zy yx xt tt tt tn nn nn n )(若有若有 1 1=2 2=3 3，则称之为则称之为静水压
3、力静水压力静水压力静水压力(hydrostatic hydrostatic press)press)状态。状态。静静水压力状态的应力矩阵水压力状态的应力矩阵E ET T =0 00 00 00 00 00 0对于任意方位的斜截面，对于任意方位的斜截面，=nnEnnTnnTTT=nnEnnTnnTTT=nnEnnTnnTTT=nnEnnTnnTTT=nnEnnTnnTTT=nnEnnTnnTTT=nnEnnTnnTTT=nnEnnTnnTTT例例讨论静水压讨论静水压力状态中斜截面力状态中斜截面上的正应力和切上的正应力和切应力。0=tnEtnTtnTTT0=tnEtnTtnTTT0=tnEtnTt
4、nTTT0=tnEtnTtnTTT0=tnEtnTtnTTT0=tnEtnTtnTTT0=tnEtnTtnTTT0=tnEtnTtnTTT即任意方位上的正应力均为即任意方位上的正应力均为 ，任意任意方位上的切应力均为零。应力。方位上的切应力均为零。动脑又动脑又动脑又动脑又动笔动笔动笔动笔分析以下应力状态的主应力。分析以下应力状态的主应力。5 58 84 45 54 48 83 32 21 1=7 77 77 73 32 21 1=7 77 710106 64 410107 710103 32 21 1=7 76 68 88 82 28 810103 32 21 1=9.3 9.3 双向应力状态
5、下的应变分析双向应力状态下的应变分析正应变正应变切应变切应变P PA AB Bx xy y线应变以拉长为正，缩短为负；线应变以拉长为正，缩短为负；p pa ab b PAPAPAPApapaPAPAx x=0 0limlim PBPBPBPBpbpbPBPBy y=0 0limlim +=xyxy角应变以直角的减小量为正，增加量为负。角应变以直角的减小量为正，增加量为负。1.1.应变状态矩阵应变状态矩阵2121xyxyyyxx=y yxyxyxyxyx x 2 22 2 2.2.斜方向上的应变斜方向上的应变正应变正应变x xy y TnnT=TnnT=sin2cos22121xyyxyx+=)
6、()(sin2cos22121xyyxyx+=)()(nnT=nnT=sin221cos22121xyyxyx+=)()(sin221cos22121xyyxyx+=)()(cos221sin22121xyyx+=)(cos221sin22121xyyx+=)(切应变切应变从从斜线起逆时针方向斜线起逆时针方向 9090 的减小量的减小量TtnT=TtnT=cos2sin221xyyx+=)(cos2sin221xyyx+=)(x xy y tnT=21tnT=21例例边长为边长为 1 1 的正方形发生如图的形变，的正方形发生如图的形变，为很小的数。求对为很小的数。求对角线角线 AC AC 的伸
7、长量和的伸长量和 CED CED 的变化量。的变化量。0 01 124245 52 21 11 14 42 2+=LL 0 01 124245 52 21 11 14 42 2+=LL 1 1secsec =ADADADADD DA Ay y 1 1secsec =ADADADADD DA Ay y A AB BC CD D E ED D C C 在小在小在小在小变形情况下，切应力对正应变的影响可以忽略不计。变形情况下，切应力对正应变的影响可以忽略不计。变形情况下，切应力对正应变的影响可以忽略不计。变形情况下，切应力对正应变的影响可以忽略不计。4 4 =xyxyy yx x,0 00 0A A
8、B BC CD D 2 21 12 2sinsin2 21 14 4=+=xyxyLL 2 22 21 1=)(ACAC 0 02 2coscos2 21 12 21 14 4=+=xyxyLL (0 0=)CEDCED 3.3.主应变与主方向主应变与主方向正应变的极值称为正应变的极值称为主应变主应变主应变主应变。使正应变取极。使正应变取极值的方向称为值的方向称为主方向主方向主方向主方向。yxxy=2tg222221xyyxyx+=)(yxxy=tg2222221+=xyyxyx)(一定存在着相互正交的主方向。一定存在着相互正交的主方向。两个主方向间所夹的直角在变形过程中不两个主方向间所夹的直
9、角在变形过程中不会改变。会改变。=z zzyzyzxzxyzyzy yyxyxxzxzxyxyx x 2 22 22 22 22 22 2 6.6.三向应变三向应变例例边长为边长为 1 1 的正方形发生如图的形变，的正方形发生如图的形变，为很小的数。求主为很小的数。求主方向和主应变。=xyxyy yx x,0 00 04 43 34 4 ,=方向和主应变。A AB BC CD D E ED DC C 2 21 12 2sinsin2 21 14 4=+=LL 对应于对应于 /4 4 的主应变的主应变对应于对应于 3 3/4 4 的主应变 2 21 12 23 3sinsin2 21 14 43
10、 3=+=LL 的主应变7.7.应变的测量应变的测量应变片应变片(strain gage)strain gage)直角应变花直角应变花(rectangular rosette)rectangular rosette)sin2sin22 21 1cos2cos22 21 12 21 1xyxyy yx xy yx x+=)()(等角应变花等角应变花(equiangular rosette)equiangular rosette)sin2sin22 21 1cos2cos22 21 12 21 1xyxyy yx xy yx x+=)()(sin2sin22 21 1cos2cos22 21 12
11、 21 1xyxyy yx xy yx x+=)()(9.4 9.4 广义虎克定律广义虎克定律(generalized generalized HookeHooke s law)s law)1.1.定律及其应用定律及其应用考虑考虑 Poisson Poisson 效应效应 )(z zy yx xx xE E +=1 1 )(z zx xy yy yE E +=1 1 )(x xy yz zz zE E +=1 1 xyxyxyxyxyxyE EG G )(+=1 12 21 1 yzyzyzyzyzyzE EG G )(+=1 12 21 1 xzxzxzxzxzxzE EG G )(+=1
12、12 21 1 EEEzyxx=EEEzyxx=EEEzyxx=EEEzyxx=EEEzyxx=EEEzyxx=EEEzyxx=EEEzyxx=P P3030 例例横截面积为横截面积为 A A 的杆的杆 E E 和和 己知，己知，承受轴向拉伸，求与轴线成承受轴向拉伸，求与轴线成 3030 角角方向上单位长线段的伸长量，以及方向上单位长线段的伸长量，以及该方位上直角的变化量。x x=P/AP/A该方位上直角的变化量。0 00 0=xyxyy yx xA AP P ,3 3coscos2 21 12 21 16 6 y yx xy yx x+=)()(EAEAP PE EE Ex xy yx xx
13、 x=1 1 3 3sinsin2 21 1 xyxy+)(=3 34 4EAEAP P EAEAP PE EE Ex xx xy yy y =1 1 3 3coscos2 21 13 3sinsin2 21 12 21 16 6 xyxyy yx x+=)(0 0=G Gxyxyxyxy )(+=1 13 32 21 16 6EAEAP P =0 00 01 1EAEAP P A AB BC CD D x xy yx x y y 在在图示坐标系下，图示坐标系下，例例利用如图微元正方形的纯剪切变形，利用如图微元正方形的纯剪切变形，证明证明。=)(+1 12 2E EG G =xyxyy yx
14、x,0 00 0 =xyxyy yx x,0 00 0纯剪状纯剪状态主应态主应力如图。2 21 12 2sinsin2 21 14 4=+=xyxyLL 考虑考虑 AC AC 的线应变的线应变力如图。0 0=y yx xy yx x 另取另取主轴坐标系主轴坐标系 2 21 1=)(+=1 1E E =1 1E Ey yx xx x +=1 1E E 4 4=G G =G GE E =+2 21 11 1)()(+=1 12 2E EG G2 2.体积变化率体积变化率d dx xd dy yd dz zd dx xd dy yd dz zx xy yz z3 32 21 1d dd dd d +
15、=V VV Vv ve e z zy yx xV Vd dd dd dd d=在在主轴坐标系下主轴坐标系下()x xx xd d1 1d d1 1+()y yy yd d1 1d d2 2+()z zz zd d1 1d d3 3+z zy yx xv vd d1 1d d1 1d d1 1d d3 32 21 1)()()(+=V Vd d1 12 21 13 32 21 1)(LL+=V Vv vd d1 1d d3 32 21 1)(+=忽略二阶微量忽略二阶微量=z zzyzyzxzxyzyzy yyxyxxzxzxyxyx x 2 22 22 22 22 22 2 3 32 21 1
16、+=e ez zy yx x +=故有故有应变状态矩阵主对角线元素的和表示体积变化率，也是应变状态矩阵主对角线元素的和表示体积变化率，也是坐标变换的不变量。坐标变换的不变量。例例证明：在各向同性弹性体中，静水压力状态只会引起体积证明：在各向同性弹性体中，静水压力状态只会引起体积的变化而不会引起形状的变化。的变化而不会引起形状的变化。E ET T =0 00 00 00 00 00 0静静水压力状态的应力矩阵水压力状态的应力矩阵 E EE Ex x2 21 11 1=+=)(E EE Ex x2 21 11 1=+=)(引用广义引用广义 Hooke Hooke 定律定律三个坐标方向上的切应变均为
17、零。三个坐标方向上的切应变均为零。相应的应变状态矩阵为相应的应变状态矩阵为 )(2 21 11 1=E E E E =0 00 00 00 00 00 0三个坐标方向上的正应变均为三个坐标方向上的正应变均为例例证明：在各向同性弹性体中，静水压力状态只会引起体积证明：在各向同性弹性体中，静水压力状态只会引起体积的变化而不会引起形状的变化。的变化而不会引起形状的变化。=n nn nEnEnn n n nT TT TT Tn n n n =n nn nEnEnn n n nT TT TT Tn n n n =n nn nEnEnn n n nT TT TT Tn n n n =n nn nEnEnn
18、 n n nT TT TT Tn n n n 任意方位上的正应变任意方位上的正应变0 02 2=t tn nEtEtn n t tn nT TT TT Tn n 0 02 2=t tn nEtEtn n t tn nT TT TT Tn n 0 02 2=t tn nEtEtn n t tn nT TT TT Tn n 0 02 2=t tn nEtEtn n t tn nT TT TT Tn n 任意方位上的切应变任意方位上的切应变这说明各个方向上的变形程度相同，任意两个微元线段这说明各个方向上的变形程度相同，任意两个微元线段之间的夹角不会改变，故形状不变。之间的夹角不会改变，故形状不变。静
19、水压力状态所引起的静水压力状态所引起的体积变化量体积变化量 E E)(2 21 13 33 33 32 21 1=+9.5 9.5 应变比能应变比能(strainstrain-energy density)energy density)d d d d d d d d0 0=+d dz zz z)zxzxzxzxyzyzyzyzxyxyxyxy d dd dd d+=0 00 0d dd dd dy yy yx xx xT T(2 21 1=)zxzxzxzxyzyzyzyzxyxyxyxy +=z zz zy yy yx xx x (2 21 1 1.1.应变比能的定义应变比能的定义线线弹性体
20、的应变比能弹性体的应变比能在主在主坐标系下的应变比能坐标系下的应变比能)(3 33 32 22 21 11 12 21 1 +=()1 13 33 32 22 21 12 23 32 22 22 21 12 22 21 1 +=E E()()1 13 33 32 22 21 12 23 32 21 11 12 22 21 1 +=)(E E2.2.形状改变比能形状改变比能(distortion energy density)distortion energy density)体积改变比能体积改变比能()2 23 32 21 16 62 21 1 +=E E2 22 22 21 13 32 21
21、 12 21 13 32 21 13 3 E EE E)(=体积改变比能体积改变比能应变比能应变比能()()1 13 33 32 22 21 12 23 32 21 11 12 22 21 1 +=)(E E()2321621+=E()2321621+=E形状改变比能形状改变比能()()()2 21 13 32 23 32 22 22 21 16 61 1 +=E E 本本 章章 内内 容容 小小 结结斜斜截面上的应力截面上的应力sin2cos22121xyyxyx+=)()(sin2cos22121xyyxyx+=)()(cos2sin221xyyx+=)(cos2sin221xyyx+=)(主主方向、主应力、主平面的概念方向、主应力、主平面的概念主主方向、主应力的计算方向、主应力的计算yxxy=2tan2yxxy=2tan222221xyyxyxji+=)(,22221xyyxyxji+=)(,()31max21=()31max21=最大切应力最大切应力应变理论与应力理论的相似性应变理论与应力理论的相似性广义广义 Hooke Hooke 定律定律xyxyxyEG)(+=121xyxyxyEG)(+=121)(zyxxE+=1)(zyxxE+=1体积变化率体积变化率321ddd+=VVve321ddd+=VVve综合训练综合训练综合训练综合训练讨论弯曲梁中主应力迹线的规律。