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1、第十三章第十三章 压杆稳定压杆稳定什么是失稳？失稳有什么特征？什么是失稳？失稳有什么特征？如何确定理想压杆的临界荷载和临界应力？如何确定理想压杆的临界荷载和临界应力？13.1 13.1 理想压杆的欧拉公式理想压杆的欧拉公式uP1.1.失稳失稳(lost stability)lost stability)屈屈曲曲(buckling)buckling)2.2.屈曲压杆的平衡微分方程屈曲压杆的平衡微分方程q qd dx xd dv vP+P+Q QQ+Q+d dQ QM+M+d dMMP Pd dP PMM0d0=+=)(PPPX0d0=+=)(PPPX0d=P0d=PxQqdd=xQqdd=0dd
2、0=+=)(QQxqQY0dd0=+=)(QQxqQYxvPxMQdddd+=xvPxMQdddd+=0ddd21d2=+)()(MMvPMxqxQ0ddd21d2=+)()(MMvPMxqxQ0=m0=m22ddxvEIM=22ddxvEIM=qxvPxM=+2222ddddqxvPxM=+2222ddddqxvPxvEIx=+222222ddddddqxvPxvEIx=+222222ddddddEIqxvkxv=+22244ddddEIqxvkxv=+22244dddd2ConstkEIPEI=2ConstkEIPEI=3.3.理想压杆的理想压杆的 Euler Euler 公式公式0=q0
3、=q0dddd22244=+xvkxv0dddd22244=+xvkxvA A、B B、C C、D D 不全为零。不全为零。d dx xd dv vP PQ QQ+Q+d dQ QMMM+M+d dMMP P00222224=+=+)(krrrkr00222224=+=+)(krrrkrDCxkxBkxAv+=sincosDCxkxBkxAv+=sincos=CkxBkkxAkv+=cossinCkxBkkxAkv+=cossinEIM=EIM=)(kxBkxAPMsincos+=)(kxBkxAPMsincos+=kxBkkxAkvsincos22=kxBkkxAkvsincos22=2kE
4、IP=2kEIP=xvPxMQdddd+=xvPxMQdddd+=PkCvPMQ=+=PkCvPMQ=+=PkCvPMQ=+=PkCvPMQ=+=)(kxBkxAPkMcossin=)(kxBkxAPkMcossin=000000sincos1sincos00011001DCBAklkllklkl=000000sincos1sincos00011001DCBAklkllklklnklkl=0sinnklkl=0sin22=lnEIPk22=lnEIPk22crlEIP=22crlEIP=kxBxvsin=)(kxBxvsin=)(0sincos=+DClklBklA0sincos=+DClkl
5、BklAn=n=1 1l lEIEIP PP Pn=n=2 2n=n=3 3P PDCxkxBkxAv+=sincosDCxkxBkxAv+=sincos)(kxBkxAPMsincos+=)(kxBkxAPMsincos+=000=+=DAv)(000=+=DAv)(000=+=DAv)(000=+=DAv)(000=AM)(000=AM)(000=AM)(000=AM)(0=)(lv0=)(lv0sincos0=+=klBklAlM)(0sincos0=+=klBklAlM)(0sincos0=+=klBklAlM)(0sincos0=+=klBklAlM)(临界荷载临界荷载(critic
6、al load)critical load)分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论确定如图情况的边界条件。确定如图情况的边界条件。22cr2)(lEIP=22cr2)(lEIP=22cr50).(lEIP=22cr50).(lEIP=22cr70).(lEIP=22cr70).(lEIP=000000sincos1sincos0101001DCBAklkllklklk=000000sincos1sincos0101001DCBAklkllklklkklklklcossin=klklklcossin=klkl=tanklkl=tan704934.=&kl704934.=&klP Pl lEIE
7、IP Pl lEIEIl lEIEIP P =1重要公式重要公式22cr)(lEIP=22cr)(lEIP=1 =2 =0.70.7 =0.5l lEIEIP Pl lEIEIP Pl lEIEIP P20.5P Pl lEIEI22cr)(lEIP=22cr)(lEIP=分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论压压杆杆中局部中局部的孔、槽对强度和稳定性的影响。的孔、槽对强度和稳定性的影响。EulerEuler公式中的公式中的 I I 应取应取最小的形心主惯性矩。最小的形心主惯性矩。理想压杆：理想压杆：2222cr125251aEIaEIP.).(=2222cr125251aEIaEIP.).
8、(=2222cr242aEIaEIP=)(2222cr242aEIaEIP=)(例例求图示的结构的临界荷载。求图示的结构的临界荷载。1.51.5a aEIEIP Pa aA AB BC CEIEI22cr4aEIP=22cr4aEIP=临界荷载临界荷载齐次微分方程齐次微分方程齐次边界条件齐次边界条件例例在图示的结构中部增加一铰在图示的结构中部增加一铰支座，距离支座，距离x x 应为多大，才使轴应为多大，才使轴向荷载向荷载P P 达到最大？lEIPxABCl lEIEIP Px xA AB BC C达到最大？只有当支座只有当支座B B 所分隔的两段杆同时失稳，才使所分隔的两段杆同时失稳，才使P
9、P 达到最达到最大。此时：大。此时：22cr70).(xEIPAB=22cr70).(xEIPAB=22cr)(xlEIPBC=22cr)(xlEIPBC=lx5880.=lx5880.=crcrBCABPP=crcrBCABPP=P PL/L/2 2EIEIL/L/2 2分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论如图的结构如图的结构如何确定临界荷载？它的屈曲曲如何确定临界荷载？它的屈曲曲线是什么形状？线是什么形状？6060 L LEIEIEIEIB BA AC C3030 P P例例图中图中ABC ABC 三处均为铰结点。外力三处均为铰结点。外力P P 可可以在图示的直角范围内变换角度。以在图
10、示的直角范围内变换角度。只考虑只考虑结构由失稳引起的破坏，求结构承受最大结构由失稳引起的破坏，求结构承受最大荷载时的角度荷载时的角度。2222cr3423LEILEIPAB=)(2222cr3423LEILEIPAB=)(结构承受的最大结构承受的最大荷载，应使荷载，应使ABAB、BC BC 两杆同时达到临界荷两杆同时达到临界荷载。两杆载。两杆 值均为值均为1 1，故有P PP P0 03 3P P0 00crcr33PPPBCAB=0crcr33PPPBCAB=由由B B 结点的平衡可得结点的平衡可得故有2222cr42LEILEIPBC=)(2222cr42LEILEIPBC=)(o4183
11、1tan.=o41831tan.=13.2 13.2 临界应力和稳定性条件临界应力和稳定性条件AlEIAP22crcr)(=AlEIAP22crcr)(=AIi=AIi=惯性半径惯性半径(radius of gyration)radius of gyration)bi321=bi321=)(2141+=di)(2141+=didi41=di41=22crE=22crE=il=il=柔柔度度(slenderness)slenderness)压杆压杆稳定临界应力应限制在线弹性范围内。稳定临界应力应限制在线弹性范围内。EulerEuler公式公式的柔度条件ppE=ppE=ppE=ppE=pE=22c
12、rpE=22cr的柔度条件 s s p p s s20cr=20cr=s s p pba=crba=cr中柔中柔度度小柔小柔度度s=crs=cr p p大柔度大柔度stcrstnnw=stcrstnnw=稳定安全条件稳定安全条件输入E、L、I、w、n计算 p？cr=0 s？直线，输入s、a、b计算nwN选择计算模式按Euler方法计算crYcr=sNcr=abY输出安全标志Y输出不安全标志Nnw n？抛物线，输入0、b b=60E E=210GPa=210GPa =160MPa=160MPaP P=15kN=15kNl l1 1=1250=1250l l2 2=550=550=60h h=80
13、 =30=30=80h hb bP Pl l1 1 l l2 2l l1 1d dd d=20=20 p p=100 n nst st=2100=2例例校核如图的矩形截面横梁和圆校核如图的矩形截面横梁和圆形截面立柱的安全性。形截面立柱的安全性。横梁承受拉弯组合荷载横梁承受拉弯组合荷载故故立柱属于大柔度杆立柱属于大柔度杆ANWM+=maxmaxANWM+=maxmaxMPa17122cr=EMPa17122cr=EbhPbhPlcossin621+=bhPbhPlcossin621+=MPa474sin22=dPAPwMPa474sin22=dPAPwMPa7148=.MPa7148=.63st
14、wcrstnn=.先先计算立柱柔度计算立柱柔度pil=1102pil=1102故结构安全。故结构安全。P Pl ll ll ll ll lN N1 1N N2 2lPlNlN3221=+lPlNlN3221=+平衡方程平衡方程PNN3221=+PNN3221=+EAlNEAlN2211=EAlNEAlN2211=物理方程物理方程212=212=协调方程协调方程E E=120GPa=120GPad=d=3030PN531=PN531=PN562=PN562=l=l=1000 n nst st=1.5=1.51000 =70MPa=70MPa p p=75751 1 号杆属拉杆，只考虑强度号杆属拉
15、杆，只考虑强度例例图示结构中横梁是刚图示结构中横梁是刚性的。两杆均为圆截面杆，性的。两杆均为圆截面杆，求许用荷载求许用荷载P P。AN1AN1。kN770413521.=dPkN770413521.=dP问题属于拉压超静定问题属于拉压超静定P Pl ll ll ll ll lkN1476424322cr.)(=lEdlEIPkN1476424322cr.)(=lEdlEIPkN12665stcr2.=nPPkN12665stcr2.=nPPPN531=PN531=PN562=PN562=kN126.=PkN126.=P故应取故应取2 2 号号杆属压杆属压杆，先计算柔度杆，先计算柔度pdlil=
16、804pdlil=8042 2 号号杆属杆属大柔度杆，只考虑大柔度杆，只考虑稳定稳定分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论如如图的图的连杆可能怎样失稳？连杆可能怎样失稳？拱拱可能的失稳形式可能的失稳形式13.3 13.3 非理想压杆简介非理想压杆简介偏心受压杆偏心受压杆有有横向荷载的压杆横向荷载的压杆DCxkxBkxAv+=sincosDCxkxBkxAv+=sincos0dddd22244=+xvkxv0dddd22244=+xvkxvl lEIEIP Pm=m=PePel lEIEIP Pe e有有初始曲率的压杆初始曲率的压杆1.1.偏心受压杆问题偏心受压杆问题微分方程微分方程通解通解)
17、(kxBkxAPMsincos+=)(kxBkxAPMsincos+=kxBkkxAkvsincos22=kxBkkxAkvsincos22=EIM=EIM=0=)(lv0=)(lv00=)(v00=)(v0=+DA0=+DAeA=eA=0sincos=+DClklBklA0sincos=+DClklBklADCxkxBkxAv+=sincosDCxkxBkxAv+=sincos)(kxBkxAPMsincos+=)(kxBkxAPMsincos+=l lEIEIP Pm=m=PePePeM=)(0PeM=)(0PeM=)(0PeM=)(0边界条件边界条件PelM=)(PelM=)(eklBk
18、lA=+sincoseklBklA=+sincos=eeDCBAklkllklkl0000sincos1sincos00011001=eeDCBAklkllklkl0000sincos1sincos00011001u uP PEIEI/l l()klkleBsincos1=()klkleBsincos1=0=C0=CeD=eD=eA=eA=12secmaxklev=12secmaxklev+=1sinsincos1coskxklklkxexv)(+=1sinsincos1coskxklklkxexv)(屈曲屈曲曲线曲线2.2.有横向荷载的受压杆问题有横向荷载的受压杆问题EIqxvkxv=+22
19、244ddddEIqxvkxv=+22244dddd通解通解)(Pqxvp22=)(Pqxvp22=l lEIEIP Pq qpvDCxkxBkxAxv+=sincos)(pvDCxkxBkxAxv+=sincos)(pvDCxkxBkxAxv+=sincos)(pvDCxkxBkxAxv+=sincos)(微分方程微分方程00=)(v00=)(v00=)(M00=)(M0=)(lv0=)(lv0=)(lM0=)(lM边界条件边界条件=12sin)cos1122lkklklPkqDCBA(=12sin)cos1122lkklklPkqDCBA(=)()()(PkqPqlPkqDCBAklkll
20、klkl2222000sincos1sincos00011001=)()()(PkqPqlPkqDCBAklkllklkl2222000sincos1sincos00011001+=)()(xlxkkxklklkxPkqxv22211sinsincos1cos+=)()(xlxkkxklklkxPkqxv22211sinsincos1cos屈曲屈曲曲线曲线3.3.两类压杆在研究方法上的区别两类压杆在研究方法上的区别理想压杆理想压杆通过齐次问题非零解存在的条件求临界荷载。通过齐次问题非零解存在的条件求临界荷载。非理想压杆非理想压杆求出非齐次问题中的屈曲函数，研究其失稳特性。求出非齐次问题中的屈曲函数，研究其失稳特性。u uP Pu uP Pu uP P分分岔岔(bifurcation)bifurcation)的概念的概念综合训练综合训练综合训练综合训练两根立柱上部与刚性板固结，两根立柱上部与刚性板固结，下部与地基固结。从稳定性要求下部与地基固结。从稳定性要求出发，立柱的横截面的形状和尺出发，立柱的横截面的形状和尺寸怎样更为合理？寸怎样更为合理？