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1、18 组合变形8 组合变形28 组合变形8 组合变形目录目录8.1 斜弯曲8.2 拉伸（压缩）与弯曲组合变形8.3 弯曲与扭转组合变形8.4 偏心拉伸与压缩8.5 截面核心8.1 斜弯曲8.2 拉伸（压缩）与弯曲组合变形8.3 弯曲与扭转组合变形8.4 偏心拉伸与压缩8.5 截面核心3轴向拉压轴向拉压MeMe扭转扭转F平面弯曲平面弯曲一、基本变形回顾一、基本变形回顾FF4轴向拉压轴向拉压AFN=FFFFNF 5扭 转扭 转PIMT=PmaxWMT=MeMeMeMTMTmaxmax6平面弯曲平面弯曲zzIyM=中性层中性层xyz主轴平面主轴平面xy(Mz)中性轴中性轴zzWM=minmaxFQy
2、 Mz7zxy(My)中性轴中性轴平面弯曲平面弯曲yyIzM=yyWM=minmax中性层中性层xyz主轴平面主轴平面xz FQz Myyxz8事实上，基本变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。事实上，基本变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。FFq F FF当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。9结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。斜弯曲：两平面弯曲的组合斜弯曲：两
3、平面弯曲的组合F檩条檩条二、组合变形二、组合变形10压弯组合变形压弯组合变形ABFAxFAyPFFxFy11压弯组合变形压弯组合变形12偏心压缩偏心压缩13拉弯组合变形拉弯组合变形14q弯扭组合变形弯扭组合变形15弯扭组合变形弯扭组合变形F16双向弯曲与扭转组合变形双向弯曲与扭转组合变形17组合变形的形式有很多种，本章学习组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式四种典型形式。1.斜弯曲；2.拉伸（压缩）与弯曲组合；3.弯曲与扭转组合；4.偏心拉伸与压缩。应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般组合变形的计算原理和方法。1.斜弯曲；2.拉伸（压缩）与弯曲组合；3.弯曲与扭转组合；4.偏心
4、拉伸与压缩。应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般组合变形的计算原理和方法。18三、组合变形下的计算用强度理论进行强度计算。用强度理论进行强度计算。基本解法：基本解法：外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形；分别计算各基本变形下的内力及应力；对危险点进行应力分析；外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形；分别计算各基本变形下的内力及应力；对危险点进行应力分析；分析方法分析方法：叠加法叠加法前提条件：前提条件：小变形小变形19平面弯曲斜弯曲：两个相互垂直平面内平面弯曲的组合平面弯曲斜弯曲：两个相互垂直平面内平面弯曲的组合一、斜弯曲的特征一、斜弯曲的特征8.1
5、斜弯曲8.1 斜弯曲20受力特征：受力特征：外力作用线通过截面的弯曲中心，但不与任一形心主轴重合或平行；外力作用线通过截面的弯曲中心，但不与任一形心主轴重合或平行；变形特征：变形特征：变形后的挠曲线不与外力作用面相重合或平行。变形后的挠曲线不与外力作用面相重合或平行。zyFFyFZl8.1 斜弯曲21ACBF1F2平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲8.1 斜弯曲221.分解1.分解将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正交的平面弯曲。将外力沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个正交的平面弯曲。二、斜弯曲的研究方法二、斜弯曲的研究方法2.叠加2.叠加分别研究两个平面弯曲；然后叠加计算结果。分别研究两
6、个平面弯曲；然后叠加计算结果。8.1 斜弯曲23例：分析图示悬臂梁斜弯曲时的强度计算。例：分析图示悬臂梁斜弯曲时的强度计算。FyzyzFlx三、斜弯曲的强度计算三、斜弯曲的强度计算8.1 斜弯曲24平面弯曲（绕平面弯曲（绕z轴）轴）+平面弯曲（绕平面弯曲（绕y轴）轴）=+FAByzxyzFy=FcosxyzFz=Fsinx解：1.外力分析解：1.外力分析8.1 斜弯曲252.应力分析2.应力分析+=+=+=zIyIMIzMIyMyzyyzzsincos zzIyM=yyIzM=+任一点任一点K（y，z）处的正应力）处的正应力:注意：正应力的正负号判定。注意：正应力的正负号判定。,yzxMzKy
7、zxMyK8.1 斜弯曲26+Mz图图FlcosMy图图FlsincosmaxFlMz=sinmaxFlMy=（1）确定危险截面:（1）确定危险截面:3.强度计算3.强度计算固定端截面固定端截面zyFy=FcosxyzFz=Fsinx8.1 斜弯曲27zy中性轴中性轴?先先确定中性轴的位置确定中性轴的位置；?再作中性轴的平行线，与横截面边界相切，切点便是危险点。再作中性轴的平行线，与横截面边界相切，切点便是危险点。D1(y1,z1)D2D D1 1、D D2 2为危险点。为危险点。a.若截面有棱角（如矩形、工字形等）a.若截面有棱角（如矩形、工字形等）（）确定危险点，并计算出最大正应力。（）确
8、定危险点，并计算出最大正应力。1max1maxmaxzIMyIMyyzz+=8.1 斜弯曲280sincos00=+zIyIyz中性轴方程中性轴方程（1）中性轴是一条过截面形心的直线；斜率（1）中性轴是一条过截面形心的直线；斜率tantan00yzIIzy=设（设（y0，z0）是中性轴上的任一点。）是中性轴上的任一点。+=zIyIMyzsincos?中性轴位置的确定中性轴位置的确定yzF中性轴中性轴（y0，z0）+=00sincos0zIyIMyz中性轴中性轴：中性轴上各点处的正应力均为零。：中性轴上各点处的正应力均为零。8.1 斜弯曲29（2）当）当IzIy，中性轴与荷载线不垂直。中性轴与荷
9、载线不垂直。tantanyzII=而挠曲线与中性轴垂直，所以挠曲线与荷载线不在同一平面内，为而挠曲线与中性轴垂直，所以挠曲线与荷载线不在同一平面内，为斜弯曲斜弯曲。yzxzyF中性轴中性轴荷载作用面荷载作用面F荷载作用面荷载作用面f挠曲线平面挠曲线平面8.1 斜弯曲30+=+=yyzzctWMWMmaxmaxmaxmaxmm中性轴中性轴maxtD1D2?若截面若截面有棱角有棱角，也可无需定出中性轴，由直接观察得出，危险点必在棱角处。，也可无需定出中性轴，由直接观察得出，危险点必在棱角处。MymaxyzxD1D2yyWMmaxzzWMmaxMzmax yzxD1D28.1 斜弯曲31zy中性轴中
10、性轴b.b.若截面无棱角若截面无棱角，如何确定危险点?，如何确定危险点?D1(y1,z1)D2D1、D2为危险点。为危险点。1max1maxmaxzIMyIMyyzz+=8.1 斜弯曲32（3）强度条件）强度条件危险点危险点D1、D2处于处于单向应力状态单向应力状态。D1maxtD2maxc max若许用拉、压应力不同，则拉、压强度均应满足。若许用拉、压应力不同，则拉、压强度均应满足。D1D28.1 斜弯曲33 =2634 yzq例例1 矩形截面木檩条，矩形截面木檩条，L=3m，q=800N/m，=12MPa，选择截面尺寸。，选择截面尺寸。N/m358447.0800sin=qqz解：解：+=
11、yyzzWMWMmaxmaxmaxN/m715894.0800cos=qqymN40383358822max=LqMzymN80483715822max=LqMyzqLAB614036180422+hbbhqzqy8.1 斜弯曲34一、概念一、概念外力外力轴向力轴向力横向力横向力轴力轴力弯矩剪力（忽略）弯矩剪力（忽略）内力内力二、计算方法二、计算方法1.分别计算轴向力和横向力引起的正应力；分别计算轴向力和横向力引起的正应力；2.按叠加原理求正应力的代数和，即可。按叠加原理求正应力的代数和，即可。xqFFy正应力正应力正应力正应力应力应力8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形8.2 拉伸压缩与弯曲的组
12、合变形35三、注意事项三、注意事项1.若许用拉、压应力不同，最大拉、压应力应分别满足拉、压强度条件。若许用拉、压应力不同，最大拉、压应力应分别满足拉、压强度条件。2.对于对于EI较大的杆，由于横向力产生的挠度与横截面尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩较大的杆，由于横向力产生的挠度与横截面尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩M=Fy可以忽略，叠加原理可以应用。如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则可以忽略，叠加原理可以应用。如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则M=Fy不能忽略，这时叠加法不再适用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。不能忽略，这时叠加法不再适用，应考虑
13、横向力与轴向力之间的相互影响。xqFFy8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形36例例 图示起重机的最大吊重图示起重机的最大吊重G=12kN，材料的许用应力，材料的许用应力=100MPa，试为，试为AB杆选择适当的工字梁。杆选择适当的工字梁。一、计算简图及外力分析一、计算简图及外力分析FAxFAyFCABGFyFx,0=AMB2m1m1.5mGACDmlCD5.2=,031225.25.1=FkN30=F,kN245.22=FFxkN185.25.1=FFykN6 kN24=GFFFFyAyxAx，8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形37FAyFAxCABGFxFyFAxCABFxCABGFAyFy二、
14、变形分析二、变形分析弯曲轴向压缩压弯组合变形弯曲轴向压缩压弯组合变形8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形38FAxCABFxFAyCABFy24kN_FN12kNm_M三、内力分析三、内力分析C 点左侧截面是危险截面点左侧截面是危险截面?8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形39xy四、应力状态四、应力状态 单向应力状态单向应力状态WM=2AFN=121+=8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形40确定危险截面确定危险点确定危险截面确定危险点五、确定危险截面、危险点、建立强度条件五、确定危险截面、危险点、建立强度条件24kN_FN12kNm_MAFN=1WMmax2=D1D2mkN12max=MkN24max
15、=NF tNtWMAF+=maxmax点点点点cNcWMAF+=maxmax8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形41六、选择工字钢型号六、选择工字钢型号按弯曲正应力强度条件选取截面。按弯曲正应力强度条件选取截面。（暂不考虑轴力的影响）（暂不考虑轴力的影响）36maxcm1201001012=MW按压弯组合变形校核。按压弯组合变形校核。C截面下缘的压应力最大。截面下缘的压应力最大。MPa3.94101411012101.2610243623maxmax=+=WMAFNc选取16号工字梁是合适的。选取选取16号工字梁是合适的。选取16号工字钢，号工字钢，W=141cm3，A=26.1cm2。24kN_
16、FN12kNm_MC讨论讨论：为什么只要校核：为什么只要校核cmaxcmax，不要校核，不要校核tmaxtmax？8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形42分析步骤：建立计算简图及外力分析;建立计算简图及外力分析;变形分析；变形分析；内力分析；内力分析；根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算。根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算。8.2 拉伸压缩与弯曲的组合变形43钻床钻床8.3 弯曲与扭转组合变形8.3 弯曲与扭转组合变形44ACEBMOAFrF250250DdMOA=1kNm齿轮直径齿轮直径D=80mm切向力切向力F和径向力和径向力Fr=F tan20轴的直径轴的直径d
17、=60mm材料的许用应力材料的许用应力=170MPa试用第三或第四强度理论校核轴的强度。试用第三或第四强度理论校核轴的强度。8.3 弯曲与扭转组合变形45BxACyzFrMOAE一、计算简图及外力分析一、计算简图及外力分析kN25=FFFz=mkN1=OEMFZ=0 xMkN1.920tan0=FFrMOEMOAFrF250250DACBEd2DFMOE=cZcyBZBykN55.4=CyByFFkN5.12=CzBzFF8.3 弯曲与扭转组合变形46二、变形分析二、变形分析xy面弯曲面弯曲xz面弯曲扭转弯扭组合变形面弯曲扭转弯扭组合变形MOEMOABCEAFrMOAEFZMOEcZcyBBZ
18、ByxACyzFrByCyBCEyxAFzBzCzBCEzxA8.3 弯曲与扭转组合变形47yz三、内力分析三、内力分析MyMzMM 作用面作用面中性轴中性轴T1kNmMOEMOABCEAE截面是危险截面截面是危险截面?1.14 kNmMz3.13kNmMy3.33kNmMFrByCyBCEyxAFzBzCzBCEzxA8.3 弯曲与扭转组合变形48xyz四、应力状态四、应力状态 二向应力状态二向应力状态2234+=rWMMTr223+=（1）2243+=rWMMTr22475.0+=（2）=WW2p=WW2p2231)2(2+=02=PWT=WM=M中性轴中性轴压拉压拉Tyz8.3 弯曲与扭
19、转组合变形49 是由弯曲变形引起的，是由弯曲变形引起的，可以由其他变形引起吗？同样，可以由其他变形引起吗？同样，是由扭转变形引起的，是由扭转变形引起的，可以由其他变形引起吗？适用于非圆截面杆吗？可以由其他变形引起吗？适用于非圆截面杆吗？WMMTr223+=WMMTr22475.0+=和和2.公式公式讨论：讨论：2234+=r2243+=r1在例题中，和中的在例题中，和中的8.3 弯曲与扭转组合变形503.33kNmMxyPWT=WM=z确定危险截面确定危险点确定危险截面确定危险点+=2234r+=WMMTr223或（1）（）（2）五、确定危险截面、危险点、建立强度条件五、确定危险截面、危险点、
20、建立强度条件+=2243r+=WMMTr22475.0或或1kNmTE1E28.3 弯曲与扭转组合变形51六、强度校核六、强度校核22475.01TrMMW+=223100075.0333006.032+=MPa170MPa162=1kNmT3.33kNmM8.3 弯曲与扭转组合变形52分析步骤：建立计算简图及外力分析;建立计算简图及外力分析;变形分析；变形分析；内力分析；内力分析；根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算根据强度理论，确定危险截面和危险点，并进行强度计算8.3 弯曲与扭转组合变形53FTTFa_对图示钢制摇臂轴对图示钢制摇臂轴AB段进行强度校核，已知构件尺寸和材料的
21、段进行强度校核，已知构件尺寸和材料的思考题：思考题：1.对于变截面轴，如何确定危险截面？对于变截面轴，如何确定危险截面？2.若选用不同的强度理论，危险截面是否有所不同？若选用不同的强度理论，危险截面是否有所不同？3.若若C截面处有一水平力，能否用公式：截面处有一水平力，能否用公式：+=WMMTr223？xlayzFCBdAxlayzFCBdAFxlayzFCBdAEDFlM_8.3 弯曲与扭转组合变形54OzyOOxyzAFezPyPyPzPA一、偏心拉伸或压缩一、偏心拉伸或压缩外力与轴线平行，但不与轴线重合。外力与轴线平行，但不与轴线重合。8.4 偏心拉伸与压缩8.4 偏心拉伸与压缩55Oz
22、yOOxyzAFezPyPyPzPAFMz=FyPMy=FzP二、横截面上任意点的应力二、横截面上任意点的应力1.将力将力F 向形心简化；向形心简化；F：轴向压缩：轴向压缩Mz：绕：绕z轴的纯弯曲轴的纯弯曲My：绕：绕y轴的纯弯曲轴的纯弯曲8.4 偏心拉伸与压缩56OzyOOxyzyPyyzPzzIzFzIzMIyFyIyMAF=+=yPzPIzFzIyFyAFyBzFMz=FyPMy=FzP3.组合应力：组合应力：2.任一点（任一点（y,z）的正应力分别为：）的正应力分别为：22yyzzAiIAiI=，+=221yPzPizziyyAFB8.4 偏心拉伸与压缩57OzyzPAyPazay三、
23、中性轴位置的确定三、中性轴位置的确定1.设（设（y0，z0）是中性轴上任一点，得中性轴方程）是中性轴上任一点，得中性轴方程 y0=f(z0)为：为：直线方程直线方程)1(02020yPzPizziyyAF+=012020=+yPzPizziyy3中性轴在中性轴在y、z轴上的截距分别为：轴上的截距分别为：PyzPzyziayia22=，4.ay、az分别与分别与yP、zP符号相反，故中性轴与偏心压力符号相反，故中性轴与偏心压力F 的作用点位于截面形心的两侧。的作用点位于截面形心的两侧。2中性轴是不过截面形心的直线，将截面分成两个区。中性轴是不过截面形心的直线，将截面分成两个区。+=221yPzP
24、izziyyAF（y0，z0）8.4 偏心拉伸与压缩58Ozy四、确定危险点、建立强度条件四、确定危险点、建立强度条件作中性轴的平行线，与横截面边界相切，切点作中性轴的平行线，与横截面边界相切，切点D1和和D2便是危险点。便是危险点。+=yPzPcIzFzIyFyAF11max+=yPzPIzFzIyFyAF危险点危险点D1、D2处于处于单向应力状态单向应力状态D1maxc+=yPzPtIzFzIyFyAF22maxctD1(y1，z1)D2(y2，z2)8.4 偏心拉伸与压缩59思考题思考题在偏心压缩的情况下，中性轴一定通过截面形心吗？中性轴一定在截面内吗？中性轴位置与力作用点的坐标有何关系
25、？在偏心压缩的情况下，中性轴一定通过截面形心吗？中性轴一定在截面内吗？中性轴位置与力作用点的坐标有何关系？8.4 偏心拉伸与压缩60例例图示压力机，图示压力机，F=1400kN，机架 用 铸 铁 作 成，机架 用 铸 铁 作 成，t=35MPa，c=140MPa，试校核压力机立柱的强度。，试校核压力机立柱的强度。500FFhzycyc立柱截面的几何性质为：立柱截面的几何性质为：yc=200mmh=700mmA=1.8105mm2Iz=8.0109mm4。8.4 偏心拉伸与压缩61FezbzcaIFeyIFey2,=AF=zbbzcaaIFeyAFIFeyAF2=+=+=+=FN=FM=FeFN
26、=F abM=Fe a be=yc+500=700mm最大正应力在最大正应力在a、b处。处。=+=MPaIFeyAFMPaIFeyAFzbzca5.533.322符合强度要求。符合强度要求。500FFhzycycy2ycbcaMPa35=tMPa140=c讨论：讨论：若按来定中性轴位置，对吗？若按来定中性轴位置，对吗？252=cyy8.4 偏心拉伸与压缩62Ozy2.研究意义2.研究意义工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截面上不出现拉应力；地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截面上不出现拉应力；地基受偏心压缩，不允许其上建
27、筑物某处脱离地基。1.定义定义PyzPzyziayia22=，azayzPAyP当压力当压力F 作用在截面的某个区域内时，整个截面上只产生压应力，该区域通常就称为作用在截面的某个区域内时，整个截面上只产生压应力，该区域通常就称为截面核心截面核心。8.5 截面核心8.5 截面核心63Ozy3.求截面核心方法求截面核心方法（1）基本方法）基本方法：将截面边界上任一切线作为中性轴，反求出相应压力：将截面边界上任一切线作为中性轴，反求出相应压力F 作用点位置，其连线即为截面核心的边界。作用点位置，其连线即为截面核心的边界。zyzyzyaiai22,=（2）特殊情况）特殊情况截面边界有直线段时，对应的压
28、力作用点只是一点；截面边界有直线段时，对应的压力作用点只是一点；截面边界有棱角时，对应的压力作用点为一直线；截面边界有棱角时，对应的压力作用点为一直线；中性轴不能穿过截面，则当截面边界有内凹时，中性轴取为跨过内凹部分的切线。中性轴不能穿过截面，则当截面边界有内凹时，中性轴取为跨过内凹部分的切线。1234az1ay1PyzPzyziayia22=，8.5 截面核心64ybhzB(yB，zB)1235062121222=zyzyzyaihhhai，点：602bzy=，点：063=zyh，点：604bzy=，点：222 152zByBzBzyiyizyi=：直线4ay=h/2，az=例：例：求矩形截
29、面的截面核心。求矩形截面的截面核心。解：解：012020=+yPzPizziyy0122=+yBzzByiziy1、3点处在截面高度点处在截面高度h 的三分点处，称为“均三分法则”。的三分点处，称为“均三分法则”。8.5 截面核心65思考题思考题1.截面核心与荷载的大小有关吗？截面核心与荷载的大小有关吗？2.中性轴绕截面的角点转动时，截面核心边界点的轨迹是什么？中性轴绕截面的角点转动时，截面核心边界点的轨迹是什么？3.中性轴沿曲线的切线移动时，截面核心边界点的轨迹又是什么？中性轴沿曲线的切线移动时，截面核心边界点的轨迹又是什么？8.5 截面核心66本章知识点本章知识点1.组合变形的概念，组合变
30、形下的叠加原理及其限制条件，掌握组合变形下强度计算的分析方法和步骤。组合变形的概念，组合变形下的叠加原理及其限制条件，掌握组合变形下强度计算的分析方法和步骤。2.掌握斜弯曲的特征，斜弯曲时中性轴位置及危险点位置的确定。掌握斜弯曲的特征，斜弯曲时中性轴位置及危险点位置的确定。4.在弯曲和扭转组合变形中，注意强度计算公式的选取。在弯曲和扭转组合变形中，注意强度计算公式的选取。5.偏心拉伸（压缩）中，注意中性轴位置及危险点位置的确定。偏心拉伸（压缩）中，注意中性轴位置及危险点位置的确定。6.理解截面核心的意义。掌握截面核心的计算方法。理解截面核心的意义。掌握截面核心的计算方法。3.拉伸（压缩）与弯曲组合变形中，注意正应力的正负号，危险截面和危险点的确定。拉伸（压缩）与弯曲组合变形中，注意正应力的正负号，危险截面和危险点的确定。67在组合变形下构件的强度计算中，宜注意其分析方法和步骤，不必强记一些计算公式。在组合变形下构件的强度计算中，宜注意其分析方法和步骤，不必强记一些计算公式。本章特征本章特征68思 考思 考1.还有其他哪些组合变形形式，如何计算？还有其他哪些组合变形形式，如何计算？2.还记得叠加原理吗？还记得使用叠加原理时的限制条件吗？还记得叠加原理吗？还记得使用叠加原理时的限制条件吗？