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1、一、齐次方程的解一、齐次方程的解 1313 线性动态方程与等价动态方程线性动态方程与等价动态方程 首先考虑一般的线性微分方程：的解的性质。预备定理预备定理（解的存在和唯一性）设A及f 的每个元素aij(t)，fi 均在 上连续，则对于任何 及任何常向量x0，方程(A1)恒有定义在整个 上的解x=x(t)，满足初值条件并且方程(A1)也只能有一个解满足(A2)。因此，其解向量x(t)必然属于 。称 是微分方程(1-50)的一个解，系指：说明：说明：=A(t)x 打开后的形式是：定理定理1212 方程dx/dt=A(t)x 的所有解的集合，组成了实数域上的n 维向量空间。要证：要证：a)解的集合组
2、成线性空间；b)解空间的维数是n。分成两部分证明：1）dx/dt=A(t)x有n个线性无关的解；2）其任一解均可表成它们的线性组合。证明：证明：a)方程所有解构成线性空间：方程所有解构成线性空间：任取dx/dt=A(t)x的两个解 1、2，则对任意的实数1和2，有(i=1，2，n)时方程 的解。要证明，是线性无关的 n个解。反证法。反证法。若线性相关，必存在 一个n1非零实向量 使得特别，当t=t0时就有始条件是个n个线性无关的向量，是在初1)设b)b)证明解空间的维数是证明解空间的维数是n：上式意味着向量组 线性相关，这写原先假设矛盾。矛盾表明在 上线性无关。2)2)证明dx/dt=A(t)
3、x的任一解均可表成它们的线性组合，即解的集合组成了n维线性空间。的任一解。e 显然可唯一地被 线性表出：令 是方程dx/dt=A(t)x满足初条件 容易验证，是方程dx/dt=A(t)x满足初值条件 的解。根据唯一性定理，满足初值条件的解只有一个。故必有证完。证完。其中E为某个非奇异常量矩阵。定义定义1818：以方程 的 n 个线性无关解所构成的矩阵二、基本矩阵与状态转移矩阵二、基本矩阵与状态转移矩阵1.1.基本矩阵基本矩阵称为方程 的基本矩阵或基本解矩阵。根据定理1-2，基本矩阵具有如下性质：在证明该定理之前，需要了解如下命题：若 是微分方程 的一个解，且对某个t0，有 ,则 证明：证明：显
4、然，是方程的一个解是方程的一个解；又已知 由于满足上述初始条件的解只有一个，故必有命题：命题：定理定理1313 方程 的基本矩阵对于 中的每一个 t 均为非奇异矩阵。证完。证完。证明：证明：反证法。若不然，设有t0，使得基本矩阵 为奇异阵。于是，存在非零实向量，使得由于 是微分方程的一个解，故由以上命题知 定理定理1313 方程dx/dt=A(t)x的基本矩阵对于 中的每一个 t 均为非奇异矩阵。这与基本矩阵的定义相矛盾。证完。证完。定定理理1414 若 均为dx/dt=A(t)x的基本矩阵，则存在nn非奇异实常量矩阵C，使得证明：证明：根据基本矩阵的性质即可证明。定义定义1919 令 是的任
5、一基本矩阵，则称为(150)的状态转移矩阵，这里状态转移矩阵具有下列重要性质：状态转移矩阵具有下列重要性质：2.2.状态转移矩阵状态转移矩阵可证明 是下列矩阵微分方程的唯一解：4).由基本矩阵的性质5).齐次方程dx/dt=A(t)x在初始条件 下的解为（153）故 可看作一个线性变换，它将t0时的状态x0映射到时刻t 的状态x(t)。事实上，x(t)总可以表示为特别，例例：试证明状态转移矩阵是唯一的，即状态转移矩阵与基本矩阵的选取无关。将其代入上式，就是所要证明的。三、非齐次方程的解三、非齐次方程的解 令 则容易得到如下结论：1.时变线性系统的解时变线性系统的解定理定理1515 状态方程的解
6、由式（154）给出：是初值x0的线性函数，称为零输零输入响应入响应是外作用u的线性函数，称为零状态响应零状态响应其中推论推论1515 动态方程（134）的输出为 2.2.输入输出关系输入输出关系特别，若 x(t0)=0，可得到脉冲响应矩阵：这里利用了脉冲函数的采样特性。其中A、B、C和D分别为nn、np、qn和qp的实常量矩阵。由对应的齐次方程可得：3.3.线性时不变动态方程的解线性时不变动态方程的解 线性时不变动态方程：基本矩阵为基本矩阵为:状态转移矩阵状态转移矩阵:通常假定t0=0，这时则有解为式对应的脉冲响应矩阵或更通常地写为式对应的传递函数阵这这是一个有理函数矩阵。定义定义110110
7、 线性时不变方程称为原系统(A,B,C,D)的等价动态方程，当且仅当存在非奇异矩阵P，使得四、等价变换四、等价变换,等价动态方程等价动态方程（1 68）1.1.时不变系统的等价动态方程时不变系统的等价动态方程 动态方程是等价动态方程的必要条件是它们的维数相同和传递函数阵相同。但反之未必成立。定义定义（零状态等价）（零状态等价）：两个时不变动态系统称为是零状态等价的，当且仅当它们具有相同的脉冲响应矩阵或相同的传递函数阵。根据这个定义，两个等价的动态方程显然是零状态等价的。但反之不真（见习题）。设线性时变动方程为2.2.时变系统的等价动态方程时变系统的等价动态方程（171）定义定义110110动态方程称为(A(t),B(t),C(t),D(t)的代数等价动态方程，当且仅当存在P(t)，使得3.经等价变换后系统的基本矩阵和状态转移矩阵：经等价变换后系统的基本矩阵和状态转移矩阵：若(t)是(A(t),B(t),C(t),D(t)的一个基本矩阵，则 P(t)(t)是 的一个基本矩阵；若(t,t0)是(A(t),B(t),C(t),D(t)的状态转移矩阵，则 P(t)(t,t0)P-1(t0)是 的转移矩阵。