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1、第八章第八章 分离变数法分离变数法l利用分离变数法求解齐次弦振动方程的混合问题既有初始又有边界条件问题：长为 均匀有弹性的弦两端固定而自由振动教学重点：介绍用分离变数法求解数学物理定解问题，在此基础上教学重点：介绍用分离变数法求解数学物理定解问题，在此基础上介绍傅里叶级数法。如何根据边界条件直接设定试探解以简化求解介绍傅里叶级数法。如何根据边界条件直接设定试探解以简化求解过程是一个关键点。过程是一个关键点。8.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法(一)分离变数法介绍基本思想：把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有些常微分方程带上附加条件构成本征值问题。泛定方程：定解条件：20ttxx
2、ua u000( , )0, ( , )0( , )( ),( , )( )xx ltttu x tu x tu x tx u x tx边界条件初始条件根据达朗贝尔法求解振动问题，可知问题的解是由初始位移和初始速度引起的向相反方向传播的行波。现在端点被固定，那么波遇到端点会反射，同频率的前进波与反射波叠加形成驻波。( , )( ) ( ),u x tX x T t驻波的一般表达式为：代入定解问题中波节波节波腹波腹驻波特点：驻波特点：具有波腹具有波腹(振幅最大的振幅最大的点点)和波节和波节(振幅最小的点振幅最小的点)。从外形上看，没有波形的传播，各点从外形上看，没有波形的传播，各点的振动位相没有
3、滞后现象，它们是按的振动位相没有滞后现象，它们是按同一方式随时间同一方式随时间t振动，记做振动，记做T(t)，各，各点的振幅随坐标而异，记做点的振幅随坐标而异，记做X(x)。2( ) ( )( ) ( )0X x Tta Xx T t(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l22( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )X x Tta Xx T tTtXxa T tX xtxxt只是 的函数，只是 的函数，而 、 是相互独立的变量只有两边都等于一个常数时，等式才成立，设为- 。2( )( )( )( )TtXxa T tX x 2( )( )0
4、( )( )0XxX xTta T t( )( )0(0)0,( )0XxX xXX t其中构成本征问题2( ) ( )( ) ( )0X x Tta Xx T t(0)0,( )0XX l2( )( )0( )( )0XxX xTta T t( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l其中特性方程/本征方程合成本征值问题本征条件称为特征值或本征值0,0,0下面分别就三种情况下来求解：20( )( )00XxX xr(1)：二阶线性常系数微分方程1,2r 12( )xxX xC eC e 1212(0)0( )0llXCCX lC eC e 代入本征条件：120( )00( , )0CX
5、 xCu x t无意义0 时方程无解。0( )0Xx(2)：12( )X xC xC12212100000CCCC lCC代入本征条件：( )0( , )0X xu x t无意义,=0无解20( )( )00XxX xr(3)：1,21212,(cossin)( )cossinxrieCxCxX xCxCx 112(0)0( )cossin0XCX lClCl代入本征条件：120( , )00Cu x tC无意义20,sin0Cl除非：只有222,1,2,3,.nnlnnl特征值( )sin,nnnn xXxCCl相应的本征函数为：为任意常数2222)( )( )0nnnaT tTtT tl关
6、于 ( 的常微分方程：( )cossinnnnn an aT tAtBtll( , )( )( )(cossin)sinnnnnnn an an xux tXx T tAtBtlllnn由此得一般解：为正整数，每一个 对应一种驻波。也称为本征振动，有无穷个本征振动2( )( )0(0)0,( )0( )( )0XxX xXX lTta T t( , )( )( )(cossin)sinnnnnnnn an an xux tXx T tAtBtlllu x tu x t已得到一般解：由于任一个解 ( , )均不满足初始条件。要得到满足初始条件的解，必须将这些本征振动进行线性叠加。其和记为 ( ,
7、 ),即：20000( , )0, ( , )0( , )( ),( , )( )ttxxxx ltttua uu x tu x tu x tx u x tx边界条件初始条件11( , )(cossin)sinnnnnnn an an xu x tux tAtBtlll( , )=10sin( )nnn xu xAxl代入初始条件： ( , )02( )sinlnnn xAxdxll1sinnnn xl10sin( )tnnn an xu xBxll( , )1sinnnn xl02( )sinlnnln xBxdxn an al12 分离变数分离变数回顾整个求解过程：常微分方程解1偏微分方程
8、常微分方程齐次边界条件条件20000( , )0, ( , )0( , )( ),( , )( )ttxxxx ltttua uu x tu x tu x tx u x tx边界条件初始条件11( , )(cossin)sinnnnnnn an an xu x tux tAtBtlll( , )=02( )sinlnnn xAxdxll02( )sinlnnln xBxdxn an al2解（本征函数）本征解（解1 解2）分离变数法本征值所求解=本征解初始条件，确定叠加系数1( )sinnnu x tn xu x tT tl解：参照边界条件(2)式，将 ( , )展为傅里叶正弦级数( , )(
9、二)傅里叶级数法定解问题：2222( )( )0nnnaTtT tl代入(1)式得:1( )cossin(cossin)sinnnnnnnn an aT tAtBtlln atn atn xu x tABlll方程的解为：( , )20000(1)( , )0, ( , )0(2)(0)( , )( ),( , )( )(3)ttxxxx ltttua uu x tu x txlu x tx u x tx22221( )( )sin0nnnnan xTtT tll0120sin( )( )sinlnnnnn xn xu xAxAxdxlll由 ( , )0120sin( )( )sinltnn
10、nn an xn xu xBxBxdxlln al由 ( , )以上方以上方法称为法称为傅里叶傅里叶级数法级数法磁致伸缩换能器的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。鱼群探测换能器的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。0( )cos,nnu x tn xu x tT tl解：参照边界条件(2)式，将 ( , )展为傅里叶余弦级数试探解： ( , )代入(1)式(三)例题：下面给出分离变数法(傅里叶级数法)的例题例1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆它作纵振动，研究两端自由棒的纵振动。2222( )( )0nnnaTtT tl00cossin(0)( )(0)nnnn
11、atn atABnT tllAB tn方程的解为：20000(1)( , )0,( , )0(2)(0)( , )( ),( , )( )(3)ttxxxxxx ltttua uux tux txlu x tx u x tx定解问题：22220( )( )cos0nnnnan xTtT tll得001(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB tABlll( , )001(cossin)cosnnnn atn atn xu x tAB tABlll( , )01010cos( )( ,0)cos( )nntnnn xu xAAxln an xu xBBxll( , )00
12、( , )( ),( , )( )tttu x tx u x tx代入初始条件00000011( )( ),22( )cos( )cosllllnnAx dxBx dxlln xn xAxdxBxdxlln al单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放。例2：单簧管是直径均匀的细管，一端封闭而另一端开放，试求管内空气柱的本征振动。200(1)( , )0,( , )0ttxxxxx lua uu x tux t定解问题：(2)1()2( )sin,nnxu x tT tl解：法一：参照边界条件(2)式，可设试探解为( , )代入（1）式得222
13、211()()22( )( )sin0nnnanxTtT tll22221()2( )( )0nnnaTtT tl因为没有初始条件，所以不(必求和)11()()22( )cossinnnnnatnatT tABll111()()()222( , )cossinsinnnnatnatnxu x tABlll可见只有奇次谐音，无偶次谐音，这是单簧管特有的音色。本征振动200(1)( , )0,( , )0ttxxxxx lua uu x tux t定解问题：(2)( , )( ) ( ),u x tX x T t法二：由分离变数法，令代入泛定方程得2( ) ( )( ) ( )0X x Tta X
14、x T t(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l2( )( )0( )( )0XxX xTta T t( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l构成本征值问题21,200rr (1)：12( )xxX xC eC e 121212(0)00, ( , )0,( )0llXCCCCu x tX lCeC e 代入本征条件：无意义0( )0Xx(2)：12( )X xC xC1221100000CCCCC代入本征条件：( , )0u x t无意义,=0无解20( )( )00XxX xr(3)：1,21212,(cossin)( )cossinx
15、rieCxCxX xCxCx 112(0)0sincos0XCClCl代入本征条件：120( , )00Cu x tC无意义20,0Cl除非：只有cos2221(),1,2,3,.2nnnl特征值12()( )sin,nnnnxXxCCl相应的本征函数为：为任意常数222122()( )( )0nnnaTtT tl 的解为：1122()()( )cossinnnnnanaT tAtBtll1()2ln111222( , )( )( )()()()cossinsinnnnnnux tXx T tnatnatnxABlll由此得一般解：0u例3：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端
16、温度为 ，杆上温度梯度均匀。零度的一端保持温度不变，另一端跟外界绝热，试求细杆上温度的变化。220000(/)( , )0,( , )0( , )( )txxxxx ltu x tua uak cu x tux tu xu x txl解：杆上温度 ( , )满足下列泛定方程和定解条件0l0u0000000:,0,00,/xtuCuCuCxduCdxuCxCxuCuuxxl CluCull 一维情况下，即120222112220222122222122()( , )( )sin,()()( )( )sin0()( )( )0()( ),( )nnnnnnnnnnxu x tT tlnanxTtT
17、 tllnaTtT tlnadT tdtT tl 设积分22 21()2222 21()22120( )()( , )sinnalnaltnntnnT tC enxu x tC el22 21()22120()( , )sinnaltnnnxu x tC el22 21()221020010022210210222102()( ,0)/sin()22sin( 1)()()2( , )( 1)sin()nalnnlnntnnnxu xu xu x lCllnxu xuCdxlllnnxuu x tenl 代入初始条件：将右边展为傅里叶正弦级数则22 21()222 22402nn=0n08( ,
18、 )sin2nalalttt 0euxu x tel,则随而急剧所以可只保留项而略去项0,y bUyxxauu x y0例4：散热片的横截面为矩形， = 边处于较高温度 ，其他三边（ =0,）则处于冷却介质中因而保持较低的温度 ，求解横截面上的稳定温度分布 ( , ).000000(0),(0),xxyyxx ayy buuybuu uuxauu uU解：定解问题0abu0u0u0U二维拉普拉斯方程的第一类非齐次边界条件问题。不能将边界条件全化为齐次的，因为该方程在齐次边界条件下只能是零解。但又要尽量把一些边界条件齐次化，采用以下办法。0000000( , )( , )( , ),00,( )
19、0,0 ( )0,0,xxyyxxyyxx axx ayy byy bu x yv x yw x yv wvvwwvu vuiwwiivvwu wU设且分别满足：0abu0u0u0U0000000( , )( , )( , ),00,( )0,0 ( )0,0,xxyyxxyyxx axx ayy byy bu x yv x yw x yv wvvwwvu vuiwwiivvwu wU设且分别满足：112121( , )( )sin.( , )()sinCC( , )( )sin.nn xn xbbnnn yv x yX xbn yv x yC eC ebn xv x yY ya1根据(i)(
20、3)可设：代入(i)(2)条件,可得，根据(ii)(2)可设：0例5：带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电场强度E是竖直的，水平架设的输电线处在这个静电场中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷。圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱“无限远”处的静电场仍保持为匀强的。现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场。带电的云带电的云xyxy解：首先将该物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴，因为圆柱无限长，所以静电场的电场强度、电势与z无关，只需在平面研究它。如图：0/00(xxyyuuuu 电势 满足静电场方程柱外空间无电荷是二维拉普拉斯方程。柱外)2220 xyau静电
21、平衡后，导体中的电荷不再移动，导体是等势体,可将导体电势当作零。有边界条件：0au边界是圆的， 提示我们采用平面极坐标系：带电的云带电的云xy,0coscosxyxEE EuEuEuE xExuE 0000无限远处的电场强度为又另一个边界条件为：22222110()0cosauuuauuE 0定解条件为：222220110()xxyyuuuuua在极坐标系中的表达式为：22222110()(1)0(2)cos(3)auuuauuE 0定解条件为：22222( , )( )( ),110uRd RdRdRddd 解:设代入(1)式得22222222222,101Rd RdRdR dR ddd R
22、dRdR dR dd 两边乘以得左边只是 的函数，右边只是 的函数两边要相等除非等于同一个常数20(4)0(5)RRR ( ,2 )( , )(2 )( )0(2 )( )uu 关于 的方程还有一个隐含附加条件即：称自然周期条件(6)构成本征值问题2202.00()3.0,0cossinABrAeBeriAB 1.时，时，r不具周期性r0(2 )( ) 构成本征值问题20,cossincos(2 )sin(2 )cossin22,0,1,2.(2 )0ABABABmm mABABB 代入周期条件：又22cossin,0( )(7),0(8)(0)AmBmmA mRRm R将 代入(5)式欧拉型
23、常微分方程22222222220,ln,11111111tRRm Re tdRdR dtdRddt ddtd RddRdRddRdddtdtddtdRd dRdtdtdt dt ddRd Rdtdt 作代换方程化为22201,0ln,0mtmtmmd Rm RdtCeDeCDmRCDtCDm其解为：cossin,0( ),0AmBmmA m1,0ln,0mtmtmmCeDeCDmRCDtCDm( , )( )( )uR 000001ln,(0)( , )()(cossin)(cossin)(cossin)(0)( , )ln(cossin)(cossin)mmmmmmmmmmmmmmmmuCD
24、muCDAmBmAmBmCmDmmuCDAmBmCmDm 一般解应该是所有本征解的叠加接下来代入边界条件确定系数。001002200( , )ln(cossin)(cossin)0ln0,0,0ln ,mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmu aCDaaAmBmaCmDmCDaa AaCa BaDCDa CA aDB a 代入边界条件(2)一个傅里叶级数等于零，意味着所有傅里叶系数为000011012102000ln( , )(cossin)cos0,0(1),0(1),0(1),0(1)( , )lncoscosmmmmmmmmmmCDauAmBmEABmAE BmCE a CmDmau
25、DEEa 代入边界条件(3),可略去及项，很大。比较得：最后柱的静电势为：2000( , )lncoscosauDEEa 最后柱外的静电势为：0D 不确定，圆柱原来所带电量的影响原来场强对应的电势分布代表圆柱体(柱面感应电荷)对匀强电场的影响，此项贡献越小200200020,0,( , )coscoscoscos22aaDauEEuaEEEEAB 0讨论：1.设圆柱体原来不带电=0、 处的场强是其他地方的 倍，特别容易击穿带电的云带电的云xyBA2000( , )lncoscosauDEEa 最后柱外的静电势为：20020022( , )coscoscoscos0auEEauEEyz 2.表明平面的电势与导体圆柱电势相同。让导体圆柱的两侧沿yz平面伸出两翼，静电场并不改变3.若只看带翼圆柱体下方，则可看成平行板电容器两极板之间的静电场，上极板的突起对高压电容器来说，容易导致击穿高压电容器的极板必须刨得非常光滑。