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1、山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂第三节 齐次方程2.2.可化为齐次的方程可化为齐次的方程 1.1.齐次方程齐次方程 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂原方程可写成 解 分离变量 得 两边积分 得 uln|u|Cln|x|或写成 ln|xu|uC山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例 2 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂可得 OMA=OAM=例例3.在制造探照灯反
2、射镜面时,解解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成.过曲线上任意点 M(x,y)作切线 M T,由光的反射定律:入射角=反射角取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO=OM要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而 AO 于是得微分方程:山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂利用曲线的对称性,不妨设 y 0,积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂顶到底的距离为 h,说明说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂(
3、h,k 为待*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂得 C=1,故所求特解为思考思考:若方程改为 如何求解?提示提示:山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：作业：P-309习题习题7-3 1(1),(4),(6);2(2),(3);3;4(4)