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1、1几种常见的几种常见的固有函数系固有函数系的形式的形式; 0),(, 0), 0(tlutu(1)(1);, 2, 1(sin nlxn; 0),(, 0), 0(tlutux(2)(2);, 2, 1(2) 12(sin nlxn; 0),(, 0), 0(tlutux(3)(3);, 2, 1(2) 12(cos nlxn; 0),(, 0), 0(tlutuxx(4)(4);, 2, 1, 0(cos nlxn以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和矩形域矩形域上的拉普拉斯方程是适用的。上的拉普拉斯方程是适用的。圆域圆域上的拉普拉斯方程对应的上
2、的拉普拉斯方程对应的固有函数系固有函数系为为,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nn(5)(5)小结小结22.4 非齐次方程的求解问题本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种常用的解法：常用的解法：固有函数法固有函数法。下面我们将以三种类型定解问题的解法为例，下面我们将以三种类型定解问题的解法为例，来说明这种解法的要点与解题步骤。来说明这种解法的要点与解题步骤。一、有界弦的一、有界弦的强迫振动强迫振动问题问题二、有限长杆的热传导问题二、有限长杆的热传导问题( (有热源有热源) )三、三、泊松方程泊松方程( (非齐次的拉普拉斯方程非齐
3、次的拉普拉斯方程) )3一、有界弦的一、有界弦的强迫振动强迫振动问题问题 ).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xxuxxutlututlxtxfuautxxtt(54)(54)首先，我们考察下列问题首先，我们考察下列问题此时，弦的振动是由两部分干扰引起的：此时，弦的振动是由两部分干扰引起的：其一是其一是外界的强迫力外界的强迫力， 其二是其二是弦所处的初始状态弦所处的初始状态。由物理意义知，这种振动可以看做是由物理意义知，这种振动可以看做是仅由强迫力仅由强迫力引起引起的振动和的振动和仅由初始状态引起仅由初始状态引起的振动之合成。的振动之合成。4),()
4、,(),(txwtxvtxu),( txv),( txw ).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xxuxxutlututlxtxfuautxxtt(54)(54)于是，我们可以设问题于是，我们可以设问题(54)(54)的解为的解为其中其中表示表示仅由强迫力仅由强迫力引起的弦振动的位移；引起的弦振动的位移；而而表示表示仅由初始状态仅由初始状态引起的弦振动的位移；引起的弦振动的位移；),( txv),(txw和和分别满足如下定解问题：分别满足如下定解问题：5 ).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xxuxxutlu
5、tutlxtxfuautxxtt(54)(54) . 0) 0 ,() 0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xvxvtlvtvtlxtxfvavtxxtt ).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxwxxwtlwtwtlxwawtxxtt(55)(55)(56)(56),(txv),(txw和和分别满足如下定解问题：分别满足如下定解问题：6为此，我们首先讨论为此，我们首先讨论齐次边界条件齐次边界条件与与零初值条件零初值条件的的强迫振动强迫振动问题：问题： . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxut
6、lututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46)上述问题，可采用类似于线性非齐次常微分方程上述问题，可采用类似于线性非齐次常微分方程所用的所用的参数变易法参数变易法， 并保持这样的设想：并保持这样的设想：即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，的叠加， 而每个驻波的波形仍然是由该振动体的而每个驻波的波形仍然是由该振动体的固有函数固有函数所决定。所决定。7为此，我们首先讨论为此，我们首先讨论齐次边界条件齐次边界条件与与零初值条件零初值条件的的强迫振动强迫振动问题：问题： . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0)
7、, 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46),sin)sincos(),(lxnlatnblatnatxunnn1(14)(14)由由2.12.1节的知识可知，节的知识可知， 与与(46)(46)相应的相应的齐次方程齐次方程,2 xxttuau 满足满足齐次边界条件齐次边界条件(47)(47)的的固有函数固有函数满足满足8. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX )., 2, 1(sin)( nlxnBxXnn为此，我们首先讨论为此，我们首先讨论齐次边界条件齐次边界条件与与零初值条件零初值条件的的强迫振动强迫振
8、动问题：问题： . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46),sinlxn因此可知与因此可知与(46)(46)相应的齐次方程且同时满足相应的齐次方程且同时满足齐次边界条件齐次边界条件(47)(47)的的固有函数系固有函数系为为9 . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46),sin)(),(1nnlxntutxu)(tunt),( txf,sin)(
9、),(1nnlxntftxf第一步第一步：设所求的解为设所求的解为其中其中是关于是关于的待定函数。的待定函数。第二步第二步：将方程中的自由项将方程中的自由项也按上述也按上述固有固有函数系函数系展成傅里叶级数：展成傅里叶级数：(49)(49)(50)(50)10, 0sin)()()( 12nnnnlxntftulantu)., 2, 1( ndxlxntxfltfln0sin),(2)( . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46),sin)(),(1nnlxntftxf
10、(50)(50)其中其中(51)(51),sin)(),(1nnlxntutxu(49)(49)把把(49)-(50)(49)-(50)代入方程代入方程(46)(46)中可得中可得11 , 0)0(nu)()()( 2tftulantunnn, 0sin)()()( 12nnnnlxntftulantu)., 2, 1( n由此得由此得 . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46)在表达式在表达式(49)(49)中利用中利用初值条件初值条件(48)(48)得得, 0) 0
11、(nu ,sin)(),(1nnlxntutxu(49)(49)12lnndtlanfanltu0)(sin)()()., 2, 1( n)., 2, 1( n)()()( 2tftulantunnn, 0)0()0(nnuu . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46)于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(52)(52)应用常微分方程中的应用常微分方程中的参数变易法参数变易法或或拉氏变换拉氏变换法，得法，得问题问题(52)(52)的解为的解为(5
12、3)(53)13应用应用常数变易法常数变易法求解二阶线性求解二阶线性非齐次非齐次常微分方程常微分方程)()()( xfyxqyxpy0)()( yxqyxpy)()(2211xycxycy( (* *) )步骤步骤：21,cc )()()()(2211xyxCxyxCy21,CC 21,CC , 0)()()()(2211xyxCxyxC),()()()()(2211xfxyxCxyxC1.1.先写出出方程先写出出方程( (* *) )所对应的所对应的齐次齐次方程方程的的通解通解形式形式此时此时为任意常数。为任意常数。2.2.假设假设非齐次方程非齐次方程( (* *) )的通解形式为的通解形式
13、为( (* * *) )将将( (* * *) )式代入式代入非齐次方程非齐次方程( (* *) )可得可得满足满足21,CC 14补充补充),()()(2tftuktu . 0)0(, 0)0(uu 用用拉普拉斯变换拉普拉斯变换求解求解,)(fLsF记记对方程两边作对方程两边作解解,)(uLsU)()() 0() 0()(22sFsUkususUs)()()(sFsUksUs22).()(sFkskksU221.)(sin)(10dtkfktkttfktusin)(1)(22asaatLsin拉普拉斯变换拉普拉斯变换得得因此因此对上式作对上式作拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换得得)( )()()
14、( 002usutuLstuL15tnndtlanfanltu0)(sin)()()., 2, 1( n)., 2, 1( n)()()( 2tftulantunnn, 0)0()0(nnuu . 0)0 ,()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46)于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(52)(52)应用常微分方程中的应用常微分方程中的参数变易法参数变易法或或拉氏变换拉氏变换法，得法，得问题问题(52)(52)的解为的解为(53)(53)16 . 0)0 ,(
15、)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xuxutlututlxtxfuautxxtt(47)(47)(48)(48)(46)(46)lnndtlanfanltu0)(sin)()()., 2, 1( n(53)(53),sin)(),(1nnlxntutxu(49)(49)将将代入代入即得定解问题即得定解问题(46)-(48)(46)-(48)的解。的解。17例例1 1 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt , A其中其中均是常数。均是常数。解解前几节的知识可知，与原方程相应的齐次前几节的知识可知，与原方程相应的齐次,2 xxtt
16、uau 满足满足齐次第二类边界条件齐次第二类边界条件的的固有函数固有函数满足满足 , 0),(, 0), 0(tlutuxx . 0)0 ,()0 ,(xuxut方程方程. 0)( )0( , 0)()( lXXxXxX )., 2, 1(cos)( nlxnAxXnn00)(BxX18,cos0nlxn因此可知与方程相应的因此可知与方程相应的齐次方程齐次方程且同时满足且同时满足齐次齐次第二类边界条件第二类边界条件的的固有函数固有函数系系为为例例1 1 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt ,A其中其中均是常数。均是常数。 , 0),(, 0), 0
17、(tlutuxx . 0)0 ,()0 ,(xuxut解解,cos)(),(0nnlxntutxu)(tunt首先，首先，设所求的解为设所求的解为其中其中是关于是关于的待定函数。的待定函数。19,cos)(),(0nnlxntutxu,cossincos 02lxtAlxnulanunnn0 2nnulanu例例1 1 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt ,A其中其中均是常数。均是常数。 , 0),(, 0), 0(tlutuxx . 0)0 ,()0 ,(xuxut解解.sin 121tAulau),1( n将将代入原方程化简得代入原方程化简得比
18、较等式两边系数即得比较等式两边系数即得20 , 0)0(nu中利用中利用初值条件初值条件得得 , 0cos)0(0nnlxnu, 0)0(nu , 0cos)0(0nnlxnu例例1 1 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(cossin2tlxlxtAuauxxtt ,A其中其中均是常数。均是常数。 , 0),(, 0), 0(tlutuxx . 0)0 ,()0 ,(xuxut解解,cos)(),(0nnlxntutxu在在0 2nnulanu.sin 121tAulau),1( n)., 2, 1 , 0( n21 , 0)0()0(nnuu, 0)0()0(nnuu 0 2nnulan
19、u.sin 121tAulau),1( n于是，我们得到两组常微分方程的初值问题于是，我们得到两组常微分方程的初值问题tlanBtlanAtunnnsincos)(利用通解公式有利用通解公式有首先当首先当1n, 0)( tun时，时，利用条件利用条件可得可得tlanlanBtlanlanAtunnncossin)( , 0)0()0(nnuu) 1( n22 , 0)0()0(nnuu, 0)0()0(nnuu 0 2nnulanu.sin 121tAulau),1( n于是，我们得到两组常微分方程的初值问题于是，我们得到两组常微分方程的初值问题tnndltanfanltu0)(sin)()(
20、53)(53)利用公式利用公式tdltaAaltu01)(sinsin)(1n当当时，时，23tdtlaAaltu01)(sinsin)(ttdtlaladtlalaaAltu001coscos2)(ttlalalaaAl0sin12由于由于latlatlatlataAlsinsinsinsin2ttlalala0sin1.sinsin122tlatlalaaAl24.sinsin1)(221tlatlalaaAltu,cos)(),(0nnlxntutxu1n, 0)(tun将将代入代入.cossinsin1),(22lxtlatlalaaAltxu 即得所求解为即得所求解为25二、有限长杆
21、的导热问题二、有限长杆的导热问题( (有热源有热源) ) ).()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xxutlututlxtxfuauxxt(70)(70)首先，我们考察下列问题首先，我们考察下列问题此时，导热现象是由两部分引起的：此时，导热现象是由两部分引起的：其一是其一是内部有热源内部有热源， 其二是其二是长杆的初始温度长杆的初始温度。那么这种导热现象可以看做是那么这种导热现象可以看做是仅由内部热源仅由内部热源引起的导热和引起的导热和仅由初始温度仅由初始温度引起的导热之合成。引起的导热之合成。26),(),(),(txwtxvtxu),( txv),( txw于是，我
22、们可以设问题于是，我们可以设问题(70)(70)的解为的解为其中其中表示表示仅由内部热源仅由内部热源引起的温度函数；引起的温度函数；而而表示表示仅由初始温度仅由初始温度引起的温度函数；引起的温度函数；),( txv),(txw和和分别满足如下定解问题：分别满足如下定解问题： ).()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xxutlututlxtxfuauxxt(70)(70)27 ),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xxutlututlxtxfuauxxt(70)(70) . 0) 0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xvtlv
23、tvtlxtxfvavxxt ).()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxwtlwtwtlxwawxxt),(txv),(txw和和分别满足如下定解问题：分别满足如下定解问题：( (* *) )( (* * *) )28为此，我们首先讨论为此，我们首先讨论齐次边界条件齐次边界条件与与零初始条件零初始条件的情形，的情形， . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57)(57)我们依然用我们依然用固有函数法固有函数法来求这个定解问题的解。来求这个定解问题的解。以以两端温度保持两端温度保
24、持0 0度度为例：为例：由由2.22.2节的知识可知，节的知识可知， 与与(57)(57)相应的齐次方程相应的齐次方程,2 xxtuau 满足齐次满足齐次第一类第一类边界条件边界条件(58)(58)的的固有函数固有函数满足满足29. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX )., 2, 1(sin)( nlxnBxXnn,sinlxn因此可知与因此可知与(57)(57)相应的齐次方程且同时满足齐次相应的齐次方程且同时满足齐次第一类第一类边界条件边界条件(58)(58)的的固有函数固有函数系系为为为此，我们首先讨论为此，我们首先讨论齐次边界条件齐次边界条件与与零初始条件零初始条件的情形，的情
25、形， . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57)(57)以以两端温度保持两端温度保持0 0度度为例：为例：30 . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57)(57),sin)(),(1nnlxntutxu),( txf,sin)(),(1nnlxntftxf第一步第一步：将定解问题的解关于将定解问题的解关于第二步第二步：将方程中的自由项将方程中的自由项也按上述也按上述固有固有函数系函数系展成傅里叶级
26、数：展成傅里叶级数：(60)(60)(61)(61)x按按固有函数系展开固有函数系展开傅里叶级数傅里叶级数31, 0sin)()()(12nnnnlxntftulantu)., 2, 1( ndxlxntxfltfln0sin),(2)(,sin)(),(1nnlxntftxf(61)(61)其中其中(62)(62),sin)(),(1nnlxntutxu(60)(60)把把(60)-(61)(60)-(61)代入方程代入方程(57)(57)中可得中可得 . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57
27、)(57)32 , 0)0(nu)()()(2tftulantunnn, 0sin)()()(12nnnnlxntftulantu)., 2, 1( n由此得由此得在表达式在表达式(60)(60)中利用中利用初值条件初值条件(59)(59)得得,sin)(),(1nnlxntutxu(60)(60) , 0sin)0(1nnlxnu . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57)(57)., 2, 1( n33.)()(0)()(2ttlannndeftu)., 2, 1( n)., 2, 1( n
28、)()()(2tftulantunnn, 0)0(nu 于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(63)(63)应用应用一阶线性微分方程的通解公式一阶线性微分方程的通解公式或或拉氏变换法拉氏变换法，得问题得问题(52)(52)的解为的解为(64)(64) . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57)(57)34),()()( tftuktu2.)(00 u求解求解直接利用一阶线性微分方程的通解公式得直接利用一阶线性微分方程的通解公式得解解00 )(u.)()()(deftutt
29、k020C利用条件利用条件即得即得所以原问题的解可表示为所以原问题的解可表示为)()(Cdfeetutktk02235补充补充),()()( tftuktu2.)(00 u用用拉普拉斯变换拉普拉斯变换求解求解,)(fLsF记记对方程两边作对方程两边作解解,)(uLsU)()()()(sFsUkussU20)()()(sFsUkssU2).()(sFkssU21.)()(defttk02tketftu2)()(aseLat1拉普拉斯变换拉普拉斯变换得得因此因此对上式作对上式作拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换得得)()()( 0utusLtuL36.)()(0)()(2ttlannndeftu).,
30、2, 1( n)., 2, 1( n)()()(2tftulantunnn, 0)0(nu 于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(63)(63)应用应用一阶线性微分方程的通解公式一阶线性微分方程的通解公式或或拉氏变换法拉氏变换法，得问题得问题(52)(52)的解为的解为(64)(64) . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57)(57)37,sin)(),(1nnlxntutxu(60)(60)将将代入代入即得定解问题即得定解问题(57)-(59)(57)-(59)的解。
31、的解。值得指出的是：值得指出的是：对于有热源的有限长杆的热对于有热源的有限长杆的热传导方程传导方程(57)(57)和零初值条件和零初值条件(59),(59),公式公式(64)(64)是通用是通用的。的。.)()(0)()(2ttlannndeftu)., 2, 1( n(64)(64) . 0)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(),(2xutlututlxtxfuauxxt(58)(58)(59)(59)(57)(57)38例例2 2 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(2tlxAuauxxtA其中其中 为常数。为常数。解解类似于类似于2.12.1例例2 2中的分析，与原方程相
32、应的齐次中的分析，与原方程相应的齐次, 2xxtuau 满足满足齐次边界条件齐次边界条件的的固有函数固有函数满足满足 , 0),(, 0), 0(tlutux . 0)0 ,(xu方程方程. 0)( )0(, 0)()( lXXxXxX ). , ,( )(sin)(21212nlxnBxXnn(65)(65)39,)(sinxln212因此可知与方程相应的因此可知与方程相应的齐次方程齐次方程且同时满足且同时满足齐次齐次边界条件边界条件的的固有函数系固有函数系为为解解,)(sin)(),(1212nnxlntutxu首先，首先，设所求的解为设所求的解为例例2 2 求解下列问题求解下列问题 ),
33、0,0(2tlxAuauxxtA其中其中为常数。为常数。 , 0),(, 0), 0(tlutux . 0)0 ,(xu(65)(65)(66)(66)40例例2 2 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(2tlxAuauxxtA其中其中为常数。为常数。 , 0),(, 0), 0(tlutux . 0)0 ,(xu(65)(65)解解A再将再将按上述固有函数系展成傅里叶级按上述固有函数系展成傅里叶级数数.)(124nAdxxlnAltAln02122)(sin)(,)(sin)(1212nnxlntAA(67)(67)其中其中,)(sin)(),(1212nnxlntutxu(66)(66)
34、41,)(sin)()()()(120212124212nnnlxnnAtulantu把把(66)-(67)(66)-(67)代入代入(65)(65)的的方程中可得方程中可得例例2 2 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(2tlxAuauxxtA其中其中为常数。为常数。 , 0),(, 0), 0(tlutux . 0)0 ,(xu(65)(65)解解,)(sin)(1212124nxlnnAA(67)(67),)(sin)(),(1212nnxlntutxu(66)(66)42解解从而有从而有例例2 2 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(2tlxAuauxxtA其中其中为常数。为常数。
35、 , 0),(, 0), 0(tlutux . 0)0 ,(xu(65)(65)()()()(1242122nAtulantunn(68)(68) , 0)0(nu在表达式在表达式(66)(66)中利用中利用(65)(65)中的中的初值条件初值条件得得 ,)(sin)(021201xlnunn). , ,(21n,)(sin)(),(1212nnxlntutxu(66)(66)(69)(69)43.)()()()(ttlanndenAtu02122124, 0)0(nu 于是得如下常微分方程的初值问题于是得如下常微分方程的初值问题(68)(68)应用常微分方程中的应用常微分方程中的通解公式通解
36、公式或或拉氏变换法拉氏变换法，得，得问题问题(68)-(69)(68)-(69)的解为的解为)()()()(1242122nAtulantunn). , , (21nttlandenA02122124)()()(69)(69).)()(tlaneanAl221223321121644tlanneanAltu2212233211216)()()(将将代入代入即得所求解为即得所求解为,)(sin)(),(1212nnxlntutxu(66)(66).)(sin)(),()(12122332212112162ntlanxlneanAltxu例例2 2 求解下列问题求解下列问题 ),0,0(2tlxA
37、uauxxt , 0),(, 0), 0(tlutux . 0)0 ,(xu(65)(65)45固有函数法固有函数法的解题步骤：的解题步骤：小结小结1.1.将所考虑的定解问题的解按将所考虑的定解问题的解按固有函数系固有函数系展开展开2.2.将非齐次方程中的自由项也按将非齐次方程中的自由项也按固有函数系固有函数系展开展开如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。进入下一步。3.3.将将步骤步骤1 1、2 2中的形式中的形式代入非齐次方程代入非齐次方程中化简，中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程并比较待定系数得到一个常微分方程4.4.将利用将利
38、用初值条件初值条件得到得到步骤步骤3 3中常微分方程的附中常微分方程的附加条件。加条件。然后求解常微分方程的初值问题然后求解常微分方程的初值问题。5.5.将将步骤步骤4 4中得到的常微分方程初值问题的解中得到的常微分方程初值问题的解 代回步骤代回步骤1 1。46三、三、泊松方程泊松方程( (非齐次的拉普拉斯方程非齐次的拉普拉斯方程) )用用固有函数法固有函数法求解非齐次的拉普拉斯方程的边值求解非齐次的拉普拉斯方程的边值问题。问题。我们通过举例来说明求解这类问题的要点我们通过举例来说明求解这类问题的要点与步骤。与步骤。例例3 3在以原点为中心以在以原点为中心以1 1为半径的圆内，试求为半径的圆内
39、，试求泊松方程泊松方程xuuyyxx2. 0|122yxu,cosrx ,sinry ),sin,cos(),(rruru的解，的解，使它满足边界条件使它满足边界条件解解由于区域是圆域，由于区域是圆域， 作极坐标变换作极坐标变换并记并记则问题归结为则问题归结为47cos2112rurururrr),10( r. 0|1ru(71)(71)(72)(72)由由2.32.3节的讨论可知，节的讨论可知， 与与(71)(71)相应的齐次方程相应的齐次方程满足满足单值性条件单值性条件的的固有函数固有函数满足满足0112urururrr.)(00B. 0 ).()2(41)(41)因此，与因此，与(71)
40、(71)相应的齐次方程且同时满足相应的齐次方程且同时满足单值性单值性条件条件的的固有函数系固有函数系为为.sincos)(nBnAnnn,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nn48cos2112rurururrr),10( r. 0|1ru(71)(71)(72)(72),sin)(cos)(),(0nnnnrbnraru02222sin1 cos1 nnnnnnnnbrnbrbnarnara.cos2rnnsin,cos 由由固有函数法固有函数法，设方程，设方程(71)(71)的解为的解为(73)(73)将将(73)(73)式代入方程式代入方程(71)(71)化简得化简
41、得比较上式两端关于比较上式两端关于的系数，的系数，4901 22nnnarnara, 01 22nnnbrnbrb),1( nrarara211 1211),1( ncos2112rurururrr),10( r. 0|1ru(71)(71)(72)(72),sin)(cos)(),(0nnnnrbnraru(73)(73), 0) 1 (na. 0) 1 (nb(74)(74)(75)(75)可得可得将将边界条件边界条件(72)(72)代入代入(73)(73)式式, ,则有则有(77)(77)(76)(76)50),(ru,| )0(|na,| )0(|nb01 22nnnarnara, 0
42、1 22nnnbrnbrb),1( nrarara211 1211),1( ncos2112rurururrr),10( r. 0|1ru(71)(71)(72)(72),sin)(cos)(),(0nnnnrbnraru(73)(73)(74)(74)(75)(75)可得可得(76)(76)再根据函数再根据函数的的有界性有界性，得，得(78)(78)5101 22nnnarnara, 01 22nnnbrnbrb),1( n(75)(75)(76)(76), 0) 1 (na. 0) 1 (nb(77)(77),| )0(|na,| )0(|nb(78)(78).)(nnnnnrBrAra.
43、)(nnnnnrBrArb, 0nB, 0nB, 0nA, 0nA0)(ran),1( n. 0)(rbn首先注意方程首先注意方程(75)(76)(75)(76)是齐次的是齐次的欧拉方程欧拉方程，则，则通解分别为通解分别为),1( n由条件由条件(78)(78)得得再由条件再由条件(77)(77)得得因此，因此，52, 02c,411c.4141)(31rrrararara211 1211),1( n(74)(74)通解为通解为由于方程由于方程(74)(74)是非齐次的是非齐次的欧拉方程欧拉方程，则，则, 0) 1 (na. 0) 1 (nb(77)(77),| )0(|na,| )0(|nb
44、(78)(78)由条件由条件(78)(78)得得再由条件再由条件(77)(77)得得故故1211rcrcra)(.341r530)(ran),1( n0)(rbn,sin)(cos)(),(0nnnnrbnraru(73)(73),cos)1 (41),(2rrru.)(1 41),(22xyxyxu,4141)(31rrra然后将然后将代入级数代入级数则得定解问题则得定解问题(71)(72)(71)(72)的解为的解为化成直角坐标，则得化成直角坐标，则得cos2112rurururrr),10( r. 0|1ru(71)(71)(72)(72)54cos2112rurururrr),10(
45、r. 0|1ru(71)(71)(72)(72),w,wvu,cos41),(),(3rrvru解法二解法二思路：思路：如果我们知道泊松方程的一个如果我们知道泊松方程的一个特特解解,cos413rw, 0112vrvrvrrr),10( r.cos41|1rv则通过作则通过作函数变换函数变换就可将泊松方程化成就可将泊松方程化成拉普拉斯方程拉普拉斯方程， 然后通过求解拉普拉斯方程的边然后通过求解拉普拉斯方程的边值值问题来得到泊松方程的边值问题。问题来得到泊松方程的边值问题。显然方程显然方程(71)(71)有一个有一个特解特解令令则问题则问题(71)(72)(71)(72)可化为可化为55, 01
46、12vrvrvrrr),10( r.cos41|1rv,cos),(BArrv,cos41cos), 1 (BAv,41A, 0B.cos41),(rrv),(),(),(rwrvrucos41cos413rr.cos)1 (412rr我们设这个我们设这个拉普拉斯方程边值问题拉普拉斯方程边值问题的解为的解为这个函数显然满足方程。这个函数显然满足方程。 为了满足为了满足边界条件边界条件，则有，则有于是边值问题于是边值问题(71)(72)(71)(72)的解为的解为56固有函数法固有函数法的解题步骤（圆域上的解题步骤（圆域上泊松方程泊松方程）小结小结1.1.将所考虑的定解问题的解按将所考虑的定解问
47、题的解按固有函数系固有函数系展开展开2.2.将非齐次方程中的自由项也按将非齐次方程中的自由项也按固有函数系固有函数系展开展开如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接进入下一步。进入下一步。3.3.将将步骤步骤1 1、2 2中的形式代入非齐次方程中化简，中的形式代入非齐次方程中化简，并比较待定系数得到一个常微分方程并比较待定系数得到一个常微分方程4.4.将利用将利用有界性和边界条件有界性和边界条件求解求解步骤步骤3 3中常微分中常微分方程的相关问题。方程的相关问题。5.5.将将步骤步骤4 4中得到的常微分方程初值问题的解中得到的常微分方程初值问题的解 代回
48、步骤代回步骤1 1。57对于如下对于如下泊松方程泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：补充补充),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P),(),(),(rwrvru),(112rFvrvrvrrr),0(0rr . 0|0rrv(P1)(P1)思路思路1 1 将问题将问题(P)(P)的解看成两部分，的解看成两部分，令令),(rv),(rw和和分别满足分别满足58),(112rFvrvrvrrr),0(0rr . 0|0rrv(P1)(P1), 0112wrwrwrrr),0(0rr ).(|0fwrr(P2)(P2)和和固有函数法分离变量法(或试探法)对于
49、如下对于如下泊松方程泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：补充补充),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P)59),(rw),(),(),(rwrvru, 0112vrvrvrrr),0(0rr ).,()(|00rwfvrr(Q)(Q)思路思路2 2 (1)(1)找出此找出此泊松方程泊松方程的一个的一个特解特解令令(2)(2)将泊松方程化成将泊松方程化成拉普拉斯方程拉普拉斯方程可用可用分离变量法分离变量法或或试探法试探法求解问题求解问题(Q)(Q)对于如下对于如下泊松方程泊松方程的边值问题而言：的边值问题而言：补充补充),(112rFurururrr),0(0rr ).(|0furr(P)(P)