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1、第六章第六章 分离变量法分离变量法分离变量法（三）分离变量法（三）第六章第六章 分离变量法分离变量法拉普拉斯方程拉普拉斯方程 散热片的横截面为一矩形散热片的横截面为一矩形0,a 0,b，它的一边，它的一边 y=b 处于处于较高的温度较高的温度u0，其它三边保持较低的温度，其它三边保持较低的温度u1。求横截面上的。求横截面上的稳恒的温度分布。稳恒的温度分布。第六章第六章 分离变量法分离变量法解：解：第六章第六章 分离变量法分离变量法第六章第六章 分离变量法分离变量法第六章第六章 分离变量法分离变量法 因非齐次方程的解经叠加以后一般不再是原方程的解，因非齐次方程的解经叠加以后一般不再是原方程的解，
2、所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程的定解问题，所以不能用分离变量法直接求解非齐次方程的定解问题，在这里，给出求解非齐次方程定解问题的常用方法。在这里，给出求解非齐次方程定解问题的常用方法。非齐次方程的解法非齐次方程的解法 如果要研究长为如果要研究长为l 的弦，两端固定在的弦，两端固定在 x=0,x=l 两点，两点，在受到强迫力的作用下所产生的强迫振动现象，则归结在受到强迫力的作用下所产生的强迫振动现象，则归结为求解定解问题。为求解定解问题。第六章第六章 分离变量法分离变量法方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解叠
3、加成非齐次解思考 在这个定解问题中，弦的振动是由部分干扰引起的，在这个定解问题中，弦的振动是由部分干扰引起的，即即强迫力强迫力和和初始状态初始状态，受此启发，利用叠加原理，可设，受此启发，利用叠加原理，可设上述定解问题的解。上述定解问题的解。第六章第六章 分离变量法分离变量法令：有界均匀弦强迫振动方程的试探解法有界均匀弦强迫振动方程的试探解法 第六章第六章 分离变量法分离变量法初始状态引起的弦振动问题初始状态引起的弦振动问题 带入方程后得带入方程后得 令：第六章第六章 分离变量法分离变量法未知函数未知函数T 的微分方程为的微分方程为 其解为其解为 第六章第六章 分离变量法分离变量法第六章第六章
4、 分离变量法分离变量法令：为什么？固有值固有值固有函数固有函数 待定函数待定函数 把自由项把自由项 f(x,t)也按固有函数在也按固有函数在(0,l)内展开为以下级数：内展开为以下级数：由强迫力引起的弦振动：由强迫力引起的弦振动：第六章第六章 分离变量法分离变量法第六章第六章 分离变量法分离变量法 这是二阶常系数线性非齐次常微分方程的初值问题，这是二阶常系数线性非齐次常微分方程的初值问题，我们可以用参数变易法求解这个定解问题。我们可以用参数变易法求解这个定解问题。上述方程的对应的齐次方程上述方程的对应的齐次方程 通解为：通解为：第六章第六章 分离变量法分离变量法的通解为：的通解为：可设可设 其
5、中其中C1(t),C2(t)为待定函数：为待定函数：令令 第六章第六章 分离变量法分离变量法即即C1(t),C2(t)满足满足 带入公式中得带入公式中得第六章第六章 分离变量法分离变量法得：得：从0到 t 积分得：第六章第六章 分离变量法分离变量法由初始条件由初始条件得：得：第六章第六章 分离变量法分离变量法 上面介绍的求解非齐次偏微分方程定解问题的方法上面介绍的求解非齐次偏微分方程定解问题的方法适用于弦振动以外的定解问题，在使用时，应根据问题适用于弦振动以外的定解问题，在使用时，应根据问题的特点及对解题的方法作适当的选取。的特点及对解题的方法作适当的选取。第六章第六章 分离变量法分离变量法热
6、传导方程的定解问题（有热源的第一边值问题）热传导方程的定解问题（有热源的第一边值问题）设设 1 确定固有函数（由齐次方程确定）确定固有函数（由齐次方程确定）第六章第六章 分离变量法分离变量法2 确定函数确定函数Tn(t)这个解适合边界条件，但不适合方程和初始条件。这个解适合边界条件，但不适合方程和初始条件。同样将同样将f(x,t)等函数进行傅里叶级数展开：等函数进行傅里叶级数展开：带入方程得：带入方程得：第六章第六章 分离变量法分离变量法 这是一个一阶非齐次常微分方程的初值问题，将问题的这是一个一阶非齐次常微分方程的初值问题，将问题的解分解为齐次方程解分解为齐次方程+非齐次初值问题与非齐次方程
7、非齐次初值问题与非齐次方程+齐次初值齐次初值问题，即：问题，即：第六章第六章 分离变量法分离变量法解为：解为：齐次方程：齐次方程：第六章第六章 分离变量法分离变量法带入方程中得带入方程中得 然后，从然后，从0 t 积分，利用齐次初始条件：积分，利用齐次初始条件：非齐次方程零初值问题，利用参数变易法求解。非齐次方程零初值问题，利用参数变易法求解。令：令：第六章第六章 分离变量法分离变量法第六章第六章 分离变量法分离变量法第六章第六章 分离变量法分离变量法经典的分离变量法，固有函数法经典的分离变量法，固有函数法齐次方程齐次方程+齐次边界条件：齐次边界条件：固有函数法（试探解法）固有函数法（试探解法
8、）非齐次方程非齐次方程+齐次边界条件：齐次边界条件：？非齐次方程非齐次方程+非齐次边界条件：非齐次边界条件：总的原则是将边界条件齐次化。总的原则是将边界条件齐次化。第六章第六章 分离变量法分离变量法波动方程的定解问题波动方程的定解问题将非齐次边界条件化为齐次边界条件：令将非齐次边界条件化为齐次边界条件：令第六章第六章 分离变量法分离变量法使得使得则有则有 w 满足非齐次边界条件：满足非齐次边界条件：为了简单期间，取为了简单期间，取 w 为为 x 的一次幂，有的一次幂，有带入边界条件后可得：带入边界条件后可得：则：则：第六章第六章 分离变量法分离变量法代入波动方程：代入波动方程：即：即：第六章第
9、六章 分离变量法分离变量法这样，原定解问题可转化为齐次边界条件的定解问题：这样，原定解问题可转化为齐次边界条件的定解问题：按齐次边界条件的定解问题求解后得按齐次边界条件的定解问题求解后得 v第六章第六章 分离变量法分离变量法w可以取可以取w可以取可以取w可以取可以取w可以取可以取（1）（2）（3）（4）第六章第六章 分离变量法分离变量法边界条件非齐次，转换为齐次边界条件。非齐次方程，齐次边界条件。齐次方程，齐次边界条件分离变量法非齐次方程，齐次定解条件固有函数法应用分离变量法求解定解问题的步骤定解问题第六章第六章 分离变量法分离变量法例 求下列定解问题解：令第六章第六章 分离变量法分离变量法例
10、 求定解问题解：令第六章第六章 分离变量法分离变量法例 求定解问题解：令第六章第六章 分离变量法分离变量法例 求定解问题解：令第六章第六章 分离变量法分离变量法定解问题：定解问题：物理意义：设有一条长为物理意义：设有一条长为 的导热细杆，密度均的导热细杆，密度均匀，它的侧面是绝热的，沿着杆的侧面没有热源。匀，它的侧面是绝热的，沿着杆的侧面没有热源。在左端点处的温度为零度，而在右端处把热量传给在左端点处的温度为零度，而在右端处把热量传给周围的介质，介质的温度为零。杆的初始温度为已周围的介质，介质的温度为零。杆的初始温度为已知，求杆内温度的变化规律。知，求杆内温度的变化规律。第六章第六章 分离变量
11、法分离变量法第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解：离形式的解：边界条件怎样变化？边界条件怎样变化？边界条件怎样变化？边界条件怎样变化？左端是左端是t的函数，右端是的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，的函数，由此可得只能是常数，记为记为 。求解的基本步骤求解的基本步骤第六章第六章 分离变量法分离变量法得到本征值问题得到本征值问题和和第六章第六章 分离变量法分离变量法第一步回顾：第一步回顾：X(x)：T(t)：第二步：求解固有值问题和第二步：求解固有值问题和 T(t)求解的基本步骤求解的基本步骤第六章第六章 分离变量法分离变量法
12、要解要解这这个固有个固有值问题值问题，我，我们们可以按照可以按照的取的取值值分分为为，和和三种情形三种情形讨论讨论，得知必，得知必须须取取记记得到通解得到通解为任意常数。为任意常数。第六章第六章 分离变量法分离变量法再代入边值条件再代入边值条件 为为使使X(x)为为非零解非零解 得到得到A=0这方程有无穷多个根：这方程有无穷多个根：代入边值条件代入边值条件得得第六章第六章 分离变量法分离变量法第六章第六章 分离变量法分离变量法正交性：正交性：从从得到得到第六章第六章 分离变量法分离变量法第三步：利用初始条件求得定解问题的解第三步：利用初始条件求得定解问题的解为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件把所有特解把所有特解 叠加起来，使之满足初始条件，即叠加起来，使之满足初始条件，即取取代入初始条件代入初始条件得到得到从而得到定解问题的解从而得到定解问题的解 第六章第六章 分离变量法分离变量法常用本征方程常用本征方程 齐次边界条件齐次边界条件