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1、分离变量法第1页，共16页，编辑于2022年，星期五夏日消溶夏日消溶,江河横溢江河横溢,人或为鱼鳖。人或为鱼鳖。傅里叶傅里叶1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推年向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程。导出著名的热传导方程。1822年出版专著热的解析理论年出版专著热的解析理论,将将三角三角级数方法数方法发展展成内容丰富的一般理成内容丰富的一般理论。傅里叶。傅里叶级数、傅里叶数、傅里叶积分的理分的理论由此由此产生，生，对十九世十九世纪的数学和理的数学和理论物理物理产生深生深远影响影响昆仑冰川昆仑冰川热传导热传导(热传递的三种基本方式之一热传递的三种基本方式之一)是指热量从系统
2、的一部分传到另一部是指热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现分或由一个系统传到另一个系统的现象。象。第2页，共16页，编辑于2022年，星期五其中其中,k 是导热系数是导热系数,u(x,y,z,t)是导热体中的温度是导热体中的温度.写成分量写成分量形式形式热传导定律热传导定律:热传导起源于温度热传导起源于温度 u 的不均匀的不均匀,不均匀程不均匀程度用梯度度用梯度 表示表示;热流强度热流强度 q 表示单位时表示单位时间通过单位横截面积的热量间通过单位横截面积的热量,根据实验结根据实验结果得果得单位时间内单位时间内 x 方向净流入方向净流入:第3页，共16页，编辑于2022
3、年，星期五根据热量守恒定律根据热量守恒定律:单位时间内单位时间内 y 方向和方向和 z 方向净流入方向净流入:其中其中,c 是比热是比热,是密度是密度.对于均匀物体对于均匀物体,有有记记 第4页，共16页，编辑于2022年，星期五设设 u(x,t)=T(t)X(x)分解为两个常微分方程分解为两个常微分方程一维热传导问题一维热传导问题第5页，共16页，编辑于2022年，星期五固有值问题固有值问题分三种情形分三种情形:(1);(2);(3)先求解关于先求解关于 m 的二次方程的二次方程:确定非零函数确定非零函数 X(x)和数和数 对于二阶齐次线性常系数常微分方程对于二阶齐次线性常系数常微分方程第6
4、页，共16页，编辑于2022年，星期五不具备固有函数特点不具备固有函数特点X(0)=0,X(L)=0边界条件边界条件:(1),通解通解:(2)通解通解:X(x)=Ax+BX(0)=0,X(L)=0边界条件边界条件:不具备固有函数特点不具备固有函数特点第7页，共16页，编辑于2022年，星期五通解通解:(3)X(0)=0,X(L)=0边界条件边界条件:固有值固有值:固有函数固有函数:(n=1,2,)A=0第8页，共16页，编辑于2022年，星期五un(x,t)=Tn(t)Xn(x)一阶常微分方程一阶常微分方程初始条件初始条件:(叠加原理叠加原理)第9页，共16页，编辑于2022年，星期五是正交函
5、数系证明是正交函数系证明(固有值问题边界条件固有值问题边界条件)第10页，共16页，编辑于2022年，星期五第11页，共16页，编辑于2022年，星期五解传导问题步骤解传导问题步骤一、写出固有值问题并求解一、写出固有值问题并求解二、计算初值函数的付里叶级数系数二、计算初值函数的付里叶级数系数三、写出级数解三、写出级数解第12页，共16页，编辑于2022年，星期五通解通解:当当 0时时,只有零解只有零解。当当 0时时固有值问题固有值问题IIB=0边界条件边界条件第13页，共16页，编辑于2022年，星期五热传导问题热传导问题II设设 u(x,t)=T(t)X(x)第14页，共16页，编辑于2022年，星期五初始条件初始条件:是正交函数系是正交函数系第15页，共16页，编辑于2022年，星期五固有值问题固有值问题III固有值问题固有值问题IV第16页，共16页，编辑于2022年，星期五