分离变量法 讲稿.ppt

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1、分离变量法 第一页，讲稿共八十九页哦本章基本要求本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义掌握有界弦的自由振动解及其物理意义着重掌握分离变量法的解题思路、着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题解题步骤及其核心问题-本征值问题本征值问题第二页，讲稿共八十九页哦（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍泛定方程：泛定方程：20ttxxua u边界条件：边界条件：0()tux 0()ttux 00(,)xu x t0(,)x lu x t初始条件：初始条件：这个定解问题的这个定解问题的特点特点是：偏微分方程是是：偏微分方程是线性奇次线性奇次的，边界条的，边界条件也是件也是奇次奇次的。的

2、。研究两端固定的弦的自由振动研究两端固定的弦的自由振动定解问题定解问题解：解：(,)()()u x tX x T t这是解的分离变量这是解的分离变量(0,0)xl t32.1 2.1 齐次方程的分离变数法齐次方程的分离变数法第三页，讲稿共八十九页哦20XTa XT220XTa XTa XT(,)()()u x tX x T t x,t 是相互独立的变量是相互独立的变量2()()()()TtXxX xa T t（求非零解）（求非零解）代入方程中，代入方程中，分离过程：分离过程：得出两个常微分方程：得出两个常微分方程：200Ta TXX 代入边界条件：代入边界条件：,0|0 xu,0|lxu0|0

3、 xX|0 x lX0)()(0)()0(tTlXtTX20ttxxua u4第四页，讲稿共八十九页哦(1)0 12()xxX xC eC e 00()X120CC0()X l 120llC eC e 120CC(2)0 12()X xC xC20C 120C lC(3)0 12()cossinX xCxCx10C 20sinCl 非零解非零解0sinl 20C 222nl 1 2 3,n 2()sinnxX xCl C2是是积分常数积分常数120CC00()X0()X l 00|0 xx lXXXX 第五页，讲稿共八十九页哦222ln n=1,2,31,2,3 解方程解方程 02 TaT 2

4、()()0n aTtTl()cossinn an aT tAtBtll 所以有特征解：所以有特征解：A、B 是积分常数是积分常数本征振动的线性叠加本征振动的线性叠加1(,)(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll1 2 3,n(,)(cossin)sinnnnn atn atn xux tABlll1 2 3,n 特解特解通解通解第六页，讲稿共八十九页哦1(,)(cossin)sinnnnn atn atn xu x tABlll0()tux 初始条件：初始条件：1sin()nnn xAxl 02()sinlnnAdll 0()ttux 1sin()nnn an

5、xBxll 02()sinlnnBdn al 4 4、(,)nux t是驻波，（固有振动模式）是驻波，（固有振动模式）相邻节点之间距离等于半波长相邻节点之间距离等于半波长 2ln波长波长=节点数节点数 n+1 n+1,位置位置 lnlnnlnlx,)1(,2,0 第七页，讲稿共八十九页哦（4 4）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开）、有初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）（1 1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程（2 2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题（3 3）、将本征解叠加无穷级数，给出通

6、解）、将本征解叠加无穷级数，给出通解8本征频率本征频率lnavlannn22,w w w w n=1n=1 时时,1la w w 基频基频基波基波（决定了音调）（决定了音调）n n 1 1 时时lann w w 谐谐频频谐波（决定了音色）谐波（决定了音色）第八页，讲稿共八十九页哦920ttxxua u00(,)xu x t(0,0)xl t0)()0(lXX 0)()0(0)()(lXXxXxXxBxAxXsincos)(边界条件为：边界条件为：相应的相应的特征值特征值问题问题为：为：0lxxu00ttulxxut220例：求解例：求解第九页，讲稿共八十九页哦10.)2,1,0(2120cos

7、0cos0nlnllBA2224)12(lnn.)2,1,0(2)12(sin)(nxlnBxXnn.)2,1,0(2)12(sin 2)12(cos)(ntlanDtlanCtTnnnxl)n(stlanDtlanCtxunn212in)2)12(sin 2)12(cos(),(0n特征值特征值和和特征特征函数函数为：为：对应的对应的通解通解为为：第十页，讲稿共八十九页哦11利用利用初始条件初始条件确定其中的任意常数确定其中的任意常数DnlnnnlxdxlnlxxlCD03322)12(322)12(sin)2(20 xl)n(stlannltxun212in 2)12(cos)12(132

8、),(0332故所求的解为故所求的解为第十一页，讲稿共八十九页哦12xlnstlanDtlanCtxunnin)sin cos(),(nxlnstAtxunnnnin)cos(),(wnnnnnnnCDlnDCAarctan,22wxlnsAtxunnin),(0首先分析一下级数中每一项首先分析一下级数中每一项的物理意义。分析方法是：先固定时间，看看在任一时的物理意义。分析方法是：先固定时间，看看在任一时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。律。其中其中当时间当时间t取定值取定值t0时时第十二页，讲稿共八十九页哦13)cos(),(

9、nn0wtBtxunn波腹波腹波节波节2.557.51012.515-1-0.50.510inxlnsABnn其中其中xlnsAtxunnin),(0当时间当时间t取定值取定值t0时时当弦上点的横坐标当弦上点的横坐标x取定值取定值x0时时第十三页，讲稿共八十九页哦2.2 有限长杆上的热传导物理解释物理解释：一根长为一根长为 l 的均匀细杆，杆侧面绝缘，其的均匀细杆，杆侧面绝缘，其左端左端x=0处保持零度，右端处保持零度，右端x=l处杆的热量处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去，自由发散到周围温度是零度的介质中去，已知杆上的初始的温度分布，求杆上的温已知杆上的初始的温度分布，求杆上的温度

10、变化规律。度变化规律。lxxxuttlhuxtlututlxxuatu0),()0,(0,0),(),(,0),0(0,0,222第十四页，讲稿共八十九页哦15(,)()()u x tX x T t)()()()(2xXxXtTatT 20)()(0)()(222 xXxXtTatTxBxAxXsincos)(0)()(,0)0(lhXlXX设设代入方程有代入方程有：得到常微分方程得到常微分方程解为解为边界条件有边界条件有第十五页，讲稿共八十九页哦160sincos,0lhlAhll1,tan其中后一个方程可改写为后一个方程可改写为：设方程的根为：设方程的根为：.,321n.,22222222

11、22121lllnnxBxXnnnsin)(特征函数为：特征函数为：第十六页，讲稿共八十九页哦17tannneAtT22)(.)3,2,1(sin),(22nxeCtxuntannn11sin),(),(22nntannnxeCtxutxun特解为：特解为：通解为：通解为：最后，考虑满足初始条件最后，考虑满足初始条件1sin)0,(nnnxCxu第十七页，讲稿共八十九页哦18lnmnmxdxx0,0sinsinlnnxdxL02sin1sin)(nnnxCxlkkkkklkxdxxLCCLxdxx00sin)(1sin)(令令根据根据有有第十八页，讲稿共八十九页哦19222,(0,),0(,0

12、)(),0,(0,)(,)0,0 xuuaxl ttxu xxxlutu l tt物理解释物理解释：一根长为一根长为 l 的均匀细杆，其右端保持绝热的均匀细杆，其右端保持绝热，左端保持零度，给定杆内的初始的温度，左端保持零度，给定杆内的初始的温度分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻分布，在没有热源的情况下杆在任意时刻的温度分布的温度分布例例2第十九页，讲稿共八十九页哦 求解的基本步骤第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的变量分离形式的解离形式的解(,)()()u x tX x T t()()0(0)()0XxX xXX l本征值问题本征值问题X(x)

13、：2()()0T taT tT(t)：第二十页，讲稿共八十九页哦第二步：求本征值第二步：求本征值 和本征函数和本征函数 X(x)，以及，以及 T(t)的表达式的表达式T(t)的表达式的表达式222122()()exp0,1,2,3,nnanT tAtln本征值和本征值和本征函数本征函数21212,()sin,0,1,2,3,nnnlnXxxln第二十一页，讲稿共八十九页哦第三步：利用初始条件求得定解问题的解第三步：利用初始条件求得定解问题的解222112220()()(,)expsinnnannu x tAtxll利用初始条件得利用初始条件得120()2()sinlnnAdll 第二十二页，讲

14、稿共八十九页哦 举例2220,(0,),0(,0),0,(0,)(,)0,0 xuuaxl ttxuu xxxllutu l tt22211022222102()()2(1)(,)expsin()nnannuu x ttxnll第二十三页，讲稿共八十九页哦当当 u0=1 时，杆内温度随时间的变化时，杆内温度随时间的变化第二十四页，讲稿共八十九页哦2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题 一个半径为一个半径为0的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘的温度分布为已知，求稳恒状态时圆盘内的温度缘的温度分布为已知，求稳恒状态时圆盘内的温度分布。分布。02 u)(0fu 因为边

15、界形状是个圆周，它在极坐标下的方因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为程为 ，所以在，所以在极坐标系极坐标系下边界条件可表下边界条件可表示为：示为：0第二十五页，讲稿共八十九页哦cossinxryrora+2)2,(),(),0(20),(),(20,01)(1002222uuufuuuu第二十六页，讲稿共八十九页哦第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解约束条件的变量分离形式的解)()(),(Ru RRRRRR22011)(第二十七页，讲稿共八十九页哦280()(2)周期本征值问题周期本征值问题欧拉方程欧拉方程)()0

16、(0 )(2RRRRR第二十八页，讲稿共八十九页哦第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程0()(2)2()cossin0,1,2,nnnnnanbnn)0(02RRRR.)2,1,0()(ncRnnn第二十九页，讲稿共八十九页哦第三步：利用边界条件第三步：利用边界条件20020201()21()cos1()sinnnnnaf t dtaf tntdtabf tntdta利用边界条件利用边界条件100)sincos(2)(nnnnnbnaaf第三十页，讲稿共八十九页哦20122222011(,)()cos()2()12cos()nnru rf tntdtaf t

17、ardtarart解的约化解的约化-Poisson积分公式积分公式第三十一页，讲稿共八十九页哦欧拉方程欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,etx 令常系数线性微分方程xtln即附录：欧拉方程第三十二页，讲稿共八十九页哦欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,etx 令xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222tyyxddtytyyxdddd222 xtln则第三十三页，讲稿共八十九页哦,ddDt记则由上述计算可知:yyxDyyyxD

18、D22,),3,2(ddDktkkky)1D(D用归纳法可证 ykyxkk)1(D)1D(D)(于是欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(eDD11tnnnfybyby转化为常系数线性方程:)(edddd111tnnnnnfybtybty即第三十四页，讲稿共八十九页哦例例1.ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,etx 令,lnxt 则,ddDt记则原方程化为ttyyy22D2)1D(D2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2,121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程,0232 rrtty2)2D3(D22即 ttCCY221ee 第三十

19、五页，讲稿共八十九页哦 的通解为41ln21ln212221xxxCxCy412121ee2221ttCCytt换回原变量,得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数,得4121212ttyttytyty22dd3dd222 第三十六页，讲稿共八十九页哦例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解:将方程化为xyyxyx22(欧拉方程),ddDt记则方程化为,etx 令tye2)1D)1D(D即tye2)1D2(D2特征根:,121 rr设特解:,e2ttAy 代入 解得 A=1,ttttCCyee)(221xxxxCC221ln)ln(所求通解为 第三十七页，讲稿共八十九页哦例例3.满足

20、设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且.)(xy求解解:由题设得定解问题xyyxyx524 0)1(,0)1(yy,etx 令,ddDt记则化为tye54D)1(DDtye5)4(D2特征根:i,2r设特解:,etAy代入得 A1 第三十八页，讲稿共八十九页哦得通解为ttCtCye2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21,121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(xyyxyx524 0)1(,0)1(yy 第三十九页，讲稿共八十九页哦402.4 非奇次方程的解法lxxtuxutuutlx

21、txfxuatuttlxx0),(),(0,00,0),(00022222 研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象。用所产生的振动现象。即考虑下列定解问题：即考虑下列定解问题：第四十页，讲稿共八十九页哦41 在现在的情况，弦的振动由在现在的情况，弦的振动由两部分干扰两部分干扰引起的，一引起的，一是是强迫力强迫力，一是，一是初始状态初始状态，所以由物理意义可知，此时，所以由物理意义可知，此时振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。起的振动的合成。),(),(),

22、(txWtxVtxu 设解为：设解为：lxtVVtVVtlxtxfxVatVttlxx0,00,00,0),(00022222强迫力强迫力初始状态初始状态第四十一页，讲稿共八十九页哦42lxxtWxWtWWtlxxWatWttlxx0),(),(0,00,0,00022222xlntvtxVnn1sin)(),(xlntftxfnn1sin)(),(不难验证，不难验证，V+W一定是原定解问题的解。一定是原定解问题的解。设设第四十二页，讲稿共八十九页哦43xdxlntxfltflnsin),(2)(00sin)()()(12222 nnnnxlntftvlnatv)()()(2222 tftvl

23、natvnnn0)0(,0)0(nnvv 其中其中 代入方程，得到代入方程，得到 由此可得由此可得 利用初始条件有利用初始条件有第四十三页，讲稿共八十九页哦44tnndltanfanltv0)(sin)()(xlndltanfanltxVtnn01sin)(sin)(),(所以所以 采用拉普拉斯变换（或参数变易法），得到采用拉普拉斯变换（或参数变易法），得到),(),(),(txWtxVtxu 原方程的解为：原方程的解为：非奇次方程的解按非奇次方程的解按相应奇次方程相应奇次方程的的特征函数特征函数展开展开，这种方法也叫，这种方法也叫特征函数法特征函数法。第四十四页，讲稿共八十九页哦45 例例

24、在环形域在环形域 内求解下列定解问题内求解下列定解问题byxa22,0,0),(12222222222222byxayxnuubyxayxyuxu解解由于求解区域是环形区域，所以改选用平面极坐标由于求解区域是环形区域，所以改选用平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标系之间的关系系，利用直角坐标与极坐标系之间的关系sincosyx第四十五页，讲稿共八十九页哦46将上述定解问题用极坐标表示出来：将上述定解问题用极坐标表示出来：20,0,020,2cos121)(12222 bauubauu 采用采用特征函数法特征函数法，并利用上节中拉普拉斯方程所对应的，并利用上节中拉普拉斯方程所对应的特征函数，设解为

25、特征函数，设解为0sin)(cos)(),(nnnnBnAu第四十六页，讲稿共八十九页哦47 代入方程并整理得到：代入方程并整理得到：2cos12sin)()(1)(cos)()(1)(202222 nnnnnnnnBnBBnAnAA比较两端的系数可得比较两端的系数可得0)()(1)()2(0)()(1)(12)(4)(1)(222222 nnnnnnnnnBnBBnAnAAAAA 第四十七页，讲稿共八十九页哦48再由边界条件得再由边界条件得0)()(0)()(bBaBbAaAnnnn通解为：通解为：.)3,2,1()()2()(ln)(ln)(000000ndcBndcAdcBdcAnnnn

26、nnnnnn 求解得求解得 0)()2(0)(nnBnA第四十八页，讲稿共八十九页哦49特解有特解有 4*2)(A所以有所以有 422212)(ccA代入边界条件有代入边界条件有 446612babac 42442244244662)2(2)(bababababaA 4422442)2(bababac原定解问题的解为原定解问题的解为 2cos)(),(2Au第四十九页，讲稿共八十九页哦502.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理lxxtuxuttuutuutlxtxfxuatuttlxx0),(),(0),(),(0,0),(0021022222设有定解问题设有定解问题),()

27、,(),(txWtxVtxu设法作一代换将边界条件化为齐次的，令设法作一代换将边界条件化为齐次的，令第五十页，讲稿共八十九页哦5100lxxVV所以要求所以要求)(),(210tuWtuWlxx选取选取W(x,t)使使V(x,t)的边界条件化为齐次的，即的边界条件化为齐次的，即)()(),(tBxtAtxW)()(),()(1)(112tutBtutultA一般这样的函数是很容易找到的，如选取一般这样的函数是很容易找到的，如选取第五十一页，讲稿共八十九页哦52xtutultutxW)()(1)(),(121121xluuuVulxxtuxutVVtlxtxfxVatVttlxx0),(),(0

28、,00,0),(1010122222关于关于V的定解问题为的定解问题为因此只要做如下代换，因此只要做如下代换，V将满足齐次边界条件。将满足齐次边界条件。第五十二页，讲稿共八十九页哦53)0()0()0()()()0()0()0()()()()()(),(),(121112111211xluuuxxxluuuxxxltutututxftxf其中其中再采用上一节的方法来求解。再采用上一节的方法来求解。第五十三页，讲稿共八十九页哦1 1、一般处理方法、一般处理方法20ttxxua u0()tux 0()ttux 0(,)()xu x tt(,)()x lu x tt 例齐次方程齐次方程第一类非齐次边

29、界条件第一类非齐次边界条件非零初值非零初值令令(,)(,)(,)u x tv x tw x t由非齐次边界条件，取由非齐次边界条件，取()()(,)()ttv x txtl 0(,)()xv x tt(,)()x lv x tt 00 xw0 x lw齐次边界条件齐次边界条件220()ttxxttxxwa wva v非齐次方程非齐次方程00()ttwxv 00()ttttwxv 54第五十四页，讲稿共八十九页哦20ttxxua u00tu00ttu0(,)0 xu x t(,)sinx lu x tAtw w(,)(sin)/v x tAt x lw w(,)(,)(,)u x tv x tw

30、 x t00tv0/ttvA x lw w00 xvsinx lvAtw w00tw0/ttwA x lw w 0(,)0 xw x t(,)0 x lw x t22(sin)/ttxxwa wAtx lw w w w解法：边界条件齐次化解法：边界条件齐次化设定设定待求待求满足非齐次边界条件满足非齐次边界条件(,)w x t满足满足 齐次边界条件齐次边界条件非齐次方程非齐次方程初始条件非零初始条件非零例例22(sin)/ttxxva vAtx lw w w w 若选取合适的若选取合适的v v,还可使方程齐次化。还可使方程齐次化。552 2、特殊处理方法、特殊处理方法第五十五页，讲稿共八十九页哦

31、取：取：(,)()sinv x tX xtw w22()0ttxxttxxwa wva v220XXaw w(0)0,()XX lA()cos(/)sin(/)X xCx aDx awwww(0)0X0C()X lAsin(/)ADl aw w(,)sin(/)sinsin(/)Av x txatlaw ww ww w2000000sin(/)0sin(/)ttxxxx ltttwa wwwAx awwl aw ww ww w200000sinsin(/)0sin(/)ttxxxx ltttva vvvAtAx avvl aw ww ww ww w00sinxx lvvAtw w要求要求求求(

32、)?X x 56第五十六页，讲稿共八十九页哦1(,)(cossin)sin.nnnn atn atn xw x tABlll 0nA 初始条件初始条件：02sin(/)sinsin(/)lnAanBdn al alw ww w w w02sin(/)sinsin(/)lAnadn al alw w w w w w1222221(1)/()/nAlaanlw www 1222122sin(/)2(1)(,)sinsinsinsin(/)nnAx aAn atn xu x ttnl aalllalw ww w w ww w w wsin(/)sin(/)sin(/)/()/()/Al anl an

33、n al aanlanlw ww w w w w ww w w w 57第五十七页，讲稿共八十九页哦58lxtuutBuutlxAxuatuttlxx0,00,00,0,00022222例：求的形式解，其中A,B均为常数。)(),(),(xWtxVtxuAWxVatV 22222解：令代入方程有第五十八页，讲稿共八十九页哦59 0,00,0)(02tBWWlxAxWalxxxlBaAlxaAxW)2(2)(222lxtuxWVtVVtlxxVatVttlxx0,0),(0,00,0,00022222通过二次积分求得：则V的方程为：第五十九页，讲稿共八十九页哦60 xlntlanDtlanCtx

34、Vnnnsin)coscos(),(10nDxlntlanCtxVnnsincos),(1xlnCxWnnsin)(1xlnCxlBaAlxaAnnsin)2(21222利用分离变量法，带齐次边界的方程的解为利用初始条件代入第一个条件有即第六十页，讲稿共八十九页哦61nBnaAlnnaAlxdxlnxlBaAlnxlaAxdxlnxlBaAlxaAlClllncos)(22sin)2(sinsin)2(22222222200222202221222sincos)2(2),(nnxlntlanCxlBaAlxaAtxu由傅里叶系数公式可得因此，原定解问题的解为：第六十一页，讲稿共八十九页哦62l

35、xxluutuuutlxubxuatutlxxx0,0,00,0,2210102222求定解问题，其中b,u1均为常数。1),(),(utxVtxu解：令代入方程有第六十二页，讲稿共八十九页哦63lxuxluVtVVtlxubVbxVatVtlxxx0,0,00,0,122100122222lxuxluVtVVVbxVatVItlxxx0,0,0)(12210)1()1(0)1()1(22)1(22)1(lxVtVVubVbxVatVIItlxxx0,00,0)(0)1()2(0)2(12)2(22)2(22)2(分解为两个方程第六十三页，讲稿共八十九页哦64对于问题（I），可以直接采用分离变

36、量法求解。)()(),()1(tTxXtxV代入有222 XXTaTbT由边界条件有由此得到下面两个常微分方程0)(222TabT02 XX0)()0(lXX第六十四页，讲稿共八十九页哦65易求得特征值和特征函数为：.)2,1,0(4)12(2222nln .)2,1,0(2)12(cos)(nxlnBxXnn 代入含T的方程有.)2,1,0(0)4)12(2222nTlnbT 第六十五页，讲稿共八十九页哦66.)2,1,0(0)4)12(2222nTlnbT 它的通解为tlanbnetT)4)12(22222)(从而问题（I）的解可表示为xlneCtxVntlanbn2)12(cos),(0

37、)4)12()1(22222其中Cn由初始条件确定为331101221)12(32)1(2)12(cos)(2nuxdxlnuxlulCnln第六十六页，讲稿共八十九页哦67故所求的解V（1）(x,t）为04)12(3131)1(2)12(cos)12()1(32),(22222ntlanntbxlneneutxV对于问题（II），可以用特征函数法求解，将方程的自由项及解都按特征函数系来展开。0112122)12(cos12)1(4nnxlnnubub0)2(2)12(cos)(),(nnxlntvtxV第六十七页，讲稿共八十九页哦68其中vn（t）满足0)0()12(4)1()()4)12(

38、)(12122222nnnnvnubtvblantv)1()12(4)12(16)1()()4)12(2222221222222tlanbnneanlbnlubtv由此可解得第六十八页，讲稿共八十九页哦69xlneanlbnlubtxVtlanbnn2)12(cos)1()12(4)12()1(16),()4)12(222220212)2(22222从而问题（II）的解为原方程的解为1)2()1(),(),(),(utxVtxVtxu第六十九页，讲稿共八十九页哦2(,)ttxxua uf x t(一一)特征函数法特征函数法例例1 1：定解问题定解问题2cossinttxxxua uAtl w

39、w00(,)xxux t0(,)xx lux t0()tux 0().ttux 解：解：cosn xl 本征函数本征函数 恰好满足边界条件，故可设解为恰好满足边界条件，故可设解为0(,)()cosnnn xu x tT tl 带入泛定方程带入泛定方程20()()()coscossinnnnn an xxTtT tAtlll w wcosn xl 系数：系数：211()()()sinaTtT tAtl w w201()()(),()nnn aTtT tnl 70第七十页，讲稿共八十九页哦初始条件初始条件0000(,)()cos()cosnnnnn xn xu xTxll 0000(,)()cos

40、()costnnnnn xn xu xTxll 00010()()lTdl 211201()()()sin()()(),()nnaTtT tAtln aTtT tnl w w 解方程解方程必须知道必须知道 Tn 的初始条件的初始条件00010()()lTdl 020()()coslnnnTdll 020()()coslnnnTdll 得解得解000()Ttt ()cossinnnnnatlnatTtlnal 2 3,n 71第七十一页，讲稿共八十九页哦211()()()sinaTtT tAtl w w齐次方程的齐次方程的通解通解和非和非齐次方程的齐次方程的特解特解通解通解：11cossinat

41、latlal 特解：特解：221(sinsin)(/)Alatatalla l w ww w w w 002211(,)(sinsin)cos(/)(cossin)cos.nnnAlataaxu x tttallla ln atln atn axln allwwww ww 72第七十二页，讲稿共八十九页哦例例2 2：细杆热传导。初始均匀温度为细杆热传导。初始均匀温度为 ，保持一端温度不变，另一，保持一端温度不变，另一端有恒定热流端有恒定热流 流入。流入。0u0q0lx0q0u0u2220uuatx00(,)xu x tu第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件0(,)/xx l

42、ux tqK非齐次非齐次(不为零不为零)边界条件边界条件,无法直接根据边界条件确定本征函数无法直接根据边界条件确定本征函数解解齐次边界条件的齐次边界条件的通解通解非齐次边界条件的非齐次边界条件的特解特解非齐次边界条件的特解：非齐次边界条件的特解：00(,)qv x tuxK齐次边界条件的通解齐次边界条件的通解:(,)w x t(,)(,)(,)u x tw x tv x t2200()txxtxxwa wva v20txxva v00(,)vtu000(,)(,)(,)qqwl tu l tvl tKK000000(,)(,)(,)wtutvtuu00tuu0(,)xqvl tK73第七十三页

43、，讲稿共八十九页哦0000000()tttqqwuvuuxxKK 初始条件初始条件:分离变量分离变量:(,)()()w x tX x T t20XTa XT00()()XT t 0()()Xl T t 20Ta T 0XX 00()X和和0()Xl 212()()sinkxX xCl 0 1 2 3,k 2222120();kaTTl 222212()()exp;ka tT tCl 222201122()()(,)expsin;kkka tkxw x tCll 200000 0,txxxxx ltwa wwwqwxK74第七十四页，讲稿共八十九页哦00120()(,)sin;kkkxqw xC

44、xlK 00122()sinlkkqCdlKl0014221()cos()lkqdKkl 0000442121212212()()coscos()()llqqkkdKklKkl 0220821212()sin()lq lkdKkl 0022821212()sin()lq lkKkl 10228121()()kq lKk 122200022208121212142()()()(,)expsin;()kkqq lka tkxu x tuxKKkll “和和”是迅速衰减的部分。近似：只保留是迅速衰减的部分。近似：只保留 k=0 项。项。2200022842(,)expsin.qq la txu x

45、tuxKKll 75第七十五页，讲稿共八十九页哦泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数0|00lxxxxxx222lk k=1,2,3k=1,2,3 0|00lxxxxxx21()2kl 0|00lxxxxxx21()2kl k=0,1,2,3 0|00lxxxxxx222lk76k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第七十六页，讲稿共八十九页哦求电场强度求电场强度导线导线(平面问题平面问题)例例3 3 带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电 场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静电场之场强度是竖直的。水平架设的输电线出在这个静

46、电场之 中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷，中，输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，不过离圆柱 “无限远无限远“处的静电场应保持为匀强的。处的静电场应保持为匀强的。现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场。现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场。77第七十七页，讲稿共八十九页哦解解 如图选择坐标系，电荷具有面对称性如图选择坐标系，电荷具有面对称性,形成形成的电场也具有面对称性的电场也具有面对称性.在圆柱外在圆柱外,电势满足电势满足lalapcelalapce方程方程.+_ _ _ _ _ _ _ _

47、 yx(,)0u x y或或22220uuxy导线的表面是等势面，取电势为导线的表面是等势面，取电势为零，零，a为导线半径为导线半径2220 xyau 云、地在无穷远处，由定义云、地在无穷远处，由定义 ，可得，可得，uE0(,)xu x yxE 地：地：0E 无穷远处电场强度无穷远处电场强度0(,)xu x yxE 云：云：定解问题为定解问题为:取平面极坐标取平面极坐标(,)22222110uuu 0au 0(,)cosuE 78第七十八页，讲稿共八十九页哦分离变量分离变量(,)()()uR 22222110uuu 1()ddRRdd 22200 (2)()RRR ，自然周期边界条件自然周期边

48、界条件()cossinmmmAmBm 2m 0,1,2,m cossin(0)()(0)(0)ABABAeBe 求解本征值问题求解本征值问题79第七十九页，讲稿共八十九页哦2220RRR 0m lnRCDtCD 0m mtmtmmRCeDeCD001(,)ln(cossin)(cossin)mmmmmmmuCDAmBmCmDm 000lnCDa00lnCDa 0mmmma AaC2mmmDB a 径向方程径向方程:欧拉型方程，令欧拉型方程，令te lnt 2220d Rm Rdt通解通解代入边界条件确定系数代入边界条件确定系数201(,)ln()(cossin)mmmmmmuDaAmBma 0

49、010ln(cossin)(cossin)mmmmmmamuCDaaAmBmaCmDm cosuE 802mmmCA a 0mmmma BaD第八十页，讲稿共八十九页哦 201(,)ln()(cossin)mmmmmmuDaAmBma 01lim(cossin)cosmmmmAmBmE 1010010mmBAmAEB,(),2000(,)lncoscosauDEEa 电场强度电场强度Eu 22200022(,)lnxya xuDE xEaxy 0002axayEEE 00D 81第八十一页，讲稿共八十九页哦2xxyyuu 00 xu例例4 4：0 x au00yu0y bu(,)()v x y

50、x ax2xxyyvv 0 xxyyww00 xw0 x aw0()ywx xa()y bwx xa1(,)expexpsinnnnn yn yn xw x yABaaa01sin()ynnnn xwABx xaa 1expexpsin()y bnnnn bn bn xwABx xaaaa 1()sinnnn xx xaCa 82第八十二页，讲稿共八十九页哦,nnA B的联立代数方程的联立代数方程1()sinnnn xx xaCa nnnABCexpexpnnnn bn bABCaa 2233330248()sin(1)1(21)annn xaaCx xadxaank 1 exp()exp()