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1、关于分离变量法的应用第一张，PPT共二十四页，创作于2022年6月1非齐次边界条件的处理：第二张，PPT共二十四页，创作于2022年6月2 思考题思考题 非齐次泛定方程在非齐次边界条件和非零初始条件下的定解问题应该如何求解？第三张，PPT共二十四页，创作于2022年6月3三维形式的直角坐标分离变量三维形式的直角坐标分离变量以三维空间三维空间中的热传导问题为例，考虑齐次泛定方程：考虑如下形式的解：代入方程可得：第四张，PPT共二十四页，创作于2022年6月4这样得到如下两个微分方程：第二个微分方程可以进一步分离变量，令：代入方程中整理可得：第五张，PPT共二十四页，创作于2022年6月5分析易得
2、：时间部分的解为：空间部分（满足边界条件要求）的解通常为正弦函数和余弦函数的组合。因此，三维热传导问题的完整解为：第六张，PPT共二十四页，创作于2022年6月6例例8.5 8.5 求解下列定解问题：求解下列定解问题：第七张，PPT共二十四页，创作于2022年6月7求解本征值问题可得：第八张，PPT共二十四页，创作于2022年6月8相应地，这时，有：同时可求出 T：构造特解并叠加得到：第九张，PPT共二十四页，创作于2022年6月9代入初始条件可得：故定解问题：的解为：第十张，PPT共二十四页，创作于2022年6月10 在利用分离变量法求解定解问题的时候，对方程和边界条件都要进行变量分离。一般
3、而言，能否应用分离能否应用分离变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，变量法，除了和方程和边界条件本身的形式有关之外，还和所选择的坐标系有关系。还和所选择的坐标系有关系。这个时候要根据边界情况来选取合适的坐标系。在进一步讨论之前，我们引入正交曲线坐标系的概念。第十一张，PPT共二十四页，创作于2022年6月11例例 8.58.5 求解如下定解问题：（P194，例4）第十二张，PPT共二十四页，创作于2022年6月12正交曲线坐标系正交曲线坐标系 由三族互相正交的曲面定义的坐标系称为正交曲线坐标系。正交曲线坐标系和直角坐标的关系为：例：柱坐标系第十三张，PPT共二十四页，创作于2022年
4、6月13球坐标系 其他正交曲线坐标系还有抛物柱面坐标、椭球坐标等。第十四张，PPT共二十四页，创作于2022年6月14正交曲线坐标系中的正交曲线坐标系中的Laplace算符算符第十五张，PPT共二十四页，创作于2022年6月15 一般地，我们总可以对齐次泛定方程的时间和一般地，我们总可以对齐次泛定方程的时间和坐标变量进行分离（和坐标系的选取无关）。现在坐标变量进行分离（和坐标系的选取无关）。现在我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对Laplace方程如何进行变量分离。方程如何进行变量分离。第十六张，PPT共二十四页，创作于2022年6月16柱坐标系的情况柱坐标系的情况第十七张，PPT共二十四页，创作于2022年6月17第十八张，PPT共二十四页，创作于2022年6月18第十九张，PPT共二十四页，创作于2022年6月19球坐标系的情况球坐标系的情况第二十张，PPT共二十四页，创作于2022年6月20第二十一张，PPT共二十四页，创作于2022年6月21例例 8.58.5 求解如下定解问题：（P194，例4）第二十二张，PPT共二十四页，创作于2022年6月22第二十三张，PPT共二十四页，创作于2022年6月23感谢大家观看4/5/2023第二十四张，PPT共二十四页，创作于2022年6月