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1、 课题：1.2空间向量基本定理主备人： 审核： 课时：1 学案编号：班 级： 姓名： 学习笔记【学习目标】1.掌握空间向量基本定理.2.了解空间向量正交分解的含义.3.空间向量基本定理的应用。【重点难点】难点：用空间向量基本定理解决有关问题.空间向量基本定理解决有关问题.【知识梳理】1、空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p ，其中a，b，c叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底2、空间向量的正交分解(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为1，那么
2、这个基底叫做 常用i，j，k表示(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得axiyjzk.像这样，把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行 练习：e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底题型一利用基底表示向量例1 如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，.如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是ABC，OBC的重心，设a，b，c，D为BC的中点试用向量a，b，c表示向量和.题
3、型二 空间向量基本定理的应用例2已知正四面体ABCD的棱长为1，点E，F分别是BC，AD的中点(1)证明：EFBC；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60，M是PC的中点，设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量；(2)求BM的长归纳总结：应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两
4、向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).【当堂检测】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是() A.AB,AC,AD B.AB,AA1,AB1 C.D1A1,D1C1,D1D D.AC1,A1C,CC12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CC1D1D的中心,且AF=AD+mAB-nAA1,则m,n的值分别为()A. B. C. D.3.下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底a,b,c中基向量与基底e
5、,f,g中基向量对应相等4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若PA=a,PB=b,PC=c,则BE=.【课后作业】1在长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则()Aijk B.ijk C3i2j5k D3i2j5k2若a，b，c是空间的一个基底，则一定可以与向量p2ab，q2ab构成空间的另一个基底的向量是()Aa Bb Cc Dab3.如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D是四边形BB1C1C的对角线BC1和B1C的交点，且a，b，c，则()A.abc B.abcC.abc Dabc4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，x2y3z，则xyz()
6、A1 B. C. D.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是()A重合 B垂直 C平行 D无法确定6(多选)给出下列命题，其中真命题有()A若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0 ，则a，b，d也可以作为空间的一个基底B已知ab，则a，b与任何向量都能构成空间的一个基底CA，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D已知a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底7.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用，作为基向量，则_ 8如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，用向量，表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值。第 5 页 共 5 页 第 5 页 共 5 页学科网（北京）股份有限公司