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1、 空间向量基本定理 同步练习一、选择题1. 若 a,b,c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是 A a，2b，3c B a+b，b+c，c+a C a+b+c，b+c，c D a+2b，2b+3c，3a9c 2. 已知非零向量 e1，e2 不共线，若 AB=e1+e2，AC=2e1+8e2，AD=3e13e2，则 A，B，C，D 四点 A一定共圆B恰是空间四边形的四个顶点C一定共面D一定不共面3. 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AC 与 BD 的交点为 M，若 A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则 2B1M= A a+b+2c B a+b+2c
2、C ab+2c D ab+2c 4. 如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是 OA，CB 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG=3GN，则下列说法正确的是 A OG=16OA+13OB+13OC B OG=16OA+23OB+23OC C OG=18OA+34OB+34OC D OG=18OA+38OB+38OC 5. 设 p：a，b，c 是三个非零向量，q：a,b,c 为空间的一个基底，则 p 是 q 的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6. 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，有如下关系：OP=16OA+1
3、3OB+12OC，则 A O，A，B，C 四点必共面B P，A，B，C 四点必共面C O，P，B，C 四点必共面D O，P，A，B，C 五点必共面7. 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与 B1M 相等的向量是 A 12a+12b+c B 12a12b+c C 12a+12b+c D 12a12b+c 8. 有下列命题：若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有 AB+BC+CD+DA=0； ab=a+b 是 a，b 共线的充要条件；若 a，b 共线，则 a 与 b 所在直线平行；对于空间任意
4、一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若 OP=xOA+yOB+zOC其中x,y,zR，则 P，A，B，C 四点共面其中不正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 2、 多选题9. 在平行六面体 ABCDABCD 中，与向量 AB 相等的向量有 A CD B AB C DC D BC 10. 下列条件中，一定使点 P 与 A，B，C 三点共面的是 A PC=13PA+23PB B OP=13OA+13OB+13OC C OP=OA+OB+OC D OP+OA+OB+OC=0 11. 下列命题中是假命题的为 A若向量 p=xa+yb，则 p 与 a，b 共面B若 p 与 a，b 共面，则
5、 p=xa+yb C若 MP=xMA+yMB，则 P，M，A，B 四点共面D若 P，M，A，B 四点共面，则 MP=xMA+yMB 12. 下列命题错误的是 A aba+b 是向量 a，b 不共线的充要条件B在空间四边形 ABCD 中，ABCD+BCAD+CABD=0 C在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，ABBC=12 D设 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若 OP=13OA+23OB+OC，则 P，A，B，C 四点共面三、填空题13. 已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是对边 OA，BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG=2GN
6、，若有 OG=xOA+yOB+zOC，则 x，y，z 的值分别为 14. 已知 A，B，C 三点共线，则对空间任一点 O，存在三个不为 0 的实数 ，m，n，使 OA+mOB+nOC=0那么 +m+n 的值为 15. 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，A1C1B1D1=F，若 AF=xAB+yAD+zAA1，则 x+y+z= 16. 在各棱长都等于 1 的正四面体 OABC 中，若点 P 满足 OP=xOA+yOB+zOCx+y+z=1，则 OP 的最小值为 四、解答题17. 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点(1) 化简：A1O12AB12
7、AD；(2) 设 E 是棱 DD1 上的点，且 DE=23DD1，若 EO=xAB+yAD+zAA1，试求实数 x，y，z 的值18. 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设 AA1=a，AB=b，AD=c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点试用 a，b，c 表示以下各向量(1) AP；(2) A1N；(3) MP+NC119. 如图，空间四边形 OABC 的各边及对角线长都为 2，E 是 AB 的中点，F 在 OC 上，且 OF=2FC(1) 用 OA,OB,OC 表示 EF；(2) 求向量 OE 与向量 BF 所成角的余弦值20. 如图，三棱锥 OABC
8、各棱的棱长都是 1，点 D 是棱 AB 的中点，点 E 在棱 OC 上，且 OE=OC，记 OA=a，OB=b，OC=c(1) 用向量 a，b，c 表示向量 DE；(2) 求 DE 的最小值21. 如图，在三棱锥 PABC 中，点 G 为 ABC 的重点，点 M 在 PG 上，且 PM=3MG，过点 M 任意作一个平面分别交棱 PA，PB，PC 于点 D，E，F，若 PD=mPA，PE=nPB，PF=tPC，求证：1m+1n+1t 为定值22. 已知四棱锥 TABCD 的底面是平行四边形，平面 与直线 AD，TA，TC 分别交于点 P，Q，R，且 APAD=TQTA=CRCT=x，点 M 在直线 TB 上，N 为 CD 的中点，且 直线MN平面(1) 设 TA=a，TB=b，TC=c，试用基底 a,b,c 表示向量 TD；(2) 证明：四面体 TABC 中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形；(3) 证明：对所有满足条件的平面 ，点 M 都落在某一条长为 52TB 的线段上