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1、1.1 空间向量及其运算第I卷（选择题）一、单选题1. 已知空间向量a=13，b=5，且a与b夹角的余弦值为91365，则a在b上的投影向量为()A. 91313bB. 91313bC. 925bD. 925b2. 给出下列说法，其中不正确的是()A. 若a，b是单位向量，且a，b共线，则a=bB. 若OA+OD=OB+OC，则A，B，C，D四点共面C. 若2PC=PA+PB，则点C是线段AB的中点D. 若a+b=0，b+c=0，则a=c3. 已知空间向量a=(3,0,4)，b=(3,2,5)，则向量b在向量a上的投影向量是()A. 1125(3,2,5)B. 1138(3,2,5)C. 11
2、25(3,0,4)D. 1138(3,0,4)4. 已知平面的一个法向量n=2,2,1，点A1,3,2在内，则平面外一点P2,1,2到平面的距离为()A. 4B. 2C. 83D. 35. 已知i，j，k是三个不共面的向量，AB=i2j+2k，BC=2i+j3k，CD=i+3j5k，且A，B，C，D四点共面，则的值为()A. 1B. 1C. 2D. 26. 如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，BF=3FP，设PA=a，PB=b，PC=c，则FE=A. 12a13b+12cB. 12a14b+12cC. 13a+14b+13cD. 23a14b+23c7. 已知空间向量a=(2,0,1)，
3、b=(1,2,1)，c=(0,4,z)，若向量a，b，c共面，则实数z=()A. 1B. 2C. 3D. 48. 在三棱锥PABC中，M是平面ABC上一点，且3PM=4PA+tPB+2MC，则t=()A. 1B. 1C. 15D. 129. 如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G满足MG=2GN，设OA=a，OB=b，OC=c，则OG=()A. 13a+13b+13cB. 16a+13b+13cC. 13a+16b+16cD. 16a+16b+16c10. 已知四棱锥PABCD，底面ABCD为平行四边形，M,N分别为PC，PD上的点，CMCP=13,PN=ND，设A
4、B=a,AD=b,AP=c，则向量MN用a,b,c为基底表示为() A. 13a+23b+13cB. 13a23b13cC. 13a16b+16cD. 23a16b+16c二、多选题11. 已知空间向量a=(2,1,1)，b=(3,4,5)，则下列结论正确的是()A. (2a+b)/aB. 5|a|=3|b|C. a(5a+6b)D. a在b上的投影向量为(310,25,12)12. 已知空间向量a=(2,2,1)，b=(3,0,4)，则下列说法正确的是()A. 向量c=(8,5,6)与a，b垂直B. 向量d=(1,4,2)与a，b共面C. 若a与b分别是异面直线l1与l2的方向向量，则其所成
5、的角的余弦值为23D. 向量a在向量b上的投影向量为(6,0,8)13. 下列命题中错误的是()A. 若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0B. ab=a+b是a，b共线的充要条件C. 若AB，CD共线，则AB/CDD. 对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面14. 下列四个说法正确的说法是()A. 若a、b、c是空间的一组基底，则a+b、ab、c也是空间的一组基底B. 若空间的三个向量a，b，c共面，则存在唯一的实数、，使c=a+bC. 若两条不同直线l，m的方向向量分别是a、b，则l/m
6、a/bD. 若两个不同平面，的法向量分别是u、v，且u=(1,2,2)，v=(2,4,4)，则/15. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60，则下列说法中正确的是()A. AC1=6B. AC1DB1C. 向量B1C与AA1的夹角是120D. BD1与AC所成角的余弦值为63第II卷（非选择题）三、填空题16. A(1,1,3)，B(7,0,2)为空间直角坐标系中的两个点，m=(2,)，若m/AB，则=17. 已知向量a=(2,0,2)，b=(0,2,1)，c=(3,4,m)，若向量a，b，c共面，则实数m的值为18. a,b,c是空
7、间向量的一组基底，OA=2a+mb+c，OB=a+2b，OC=a+b+c，已知点O在平面ABC内，则m=_19. a,b,c是空间向量的一组基底，OA=2a+mb+c，OB=a+2b，OC=a+b+c，已知点O在平面ABC内，则m=_20. 设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB=e1+ke2，BC=5e1+4e2，DC=e12e2，且A，B，D三点共线，实数k=四、解答题21. 已知向量a=(2,1,2),b=(1,1,2),c=(x,2,2)(1)当|c|=22时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值;(2)若向量c与向量a,b共面，求实数x的值22. 如图，已知平行六面体ABC
8、DA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,A1AB=A1AD=120.设AB=a,AD=b,AA1=c()求AC1；()求AA1BD23. 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积(1)BCED1(2)BFAB124. 已知空间三点A(1,2,1)，B(0,1,2)，C(3,0,2)(1)求向量AB与AC的夹角的余弦值；(2)若向量3ABAC与AB+kAC垂直，求实数k的值25. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1D1上，且A1E=2ED1，点F在对角线A1C
9、上，且A1F=23FC.设AB=a，AD=b，AA1=c，(1)若A1F=xa+yb+zc，求x，y，z的值(2)求证：E，F，B三点共线第3页，共3页学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1、D；2、A；3、C；4、B；5、B；6、B；7、C；8、B；9、B；10、D；11、BCD；12、BC；13、BCD；14、ACD；15、AC；16、23；17、1；18、3；19、3；20、121、解：()因为|c|=x2+22+22=22，所以x=0且ka+b=2k1,1k,2k+2因为向量ka+b与c垂直，所以(ka+b)c=0.即02k1+21k+22k+2=0，即2k+6=0所以
10、实数k的值为3()因为向量c与向量a,b共面，所以c=a+b(,R)因为(x,2,2)=(2,1,2)+(1,1,2)，x=22=2=2+2,所以x=12=12=32所以实数x的值为1222、解：()AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c，ABAD=ab=0，ABAA1=ac=12(12)=1，ADAA1=bc=12(12)=1，|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=1+1+4+2(011)=2，即有|AC1|=2；()AA1BD=AA1ADAB=cba=cbca=1(1)=023、解：如图所示，设AB=a，AD=b，AA1=c，则|a|
11、=|c|=2，|b|=4，ab=bc=ca=0，(1)BCED1=BC(EA1+A1D1)=b12(ca)+b=|b|2=42=16；(2)BFAB1=(BA1+A1F)(AB+AA1)=(ca+12b)(a+c)=|c|2|a|2=2222=024、解：(1)AB=(1,1,3)，AC=(2,2,1)，|AB|=12+(1)2+(3)2=11，|AC|=3ABAC=2+23=3cos=ABAC|AB|AC|=3311=1111；(2)向量3ABAC与向量AB+kAC垂直，(3ABAC)(AB+kAC)=3AB2+(3k1)ABACkAC2=0，即311+(3k1)(3)9k=0，解得k=225、解：(1)因为A1F=23FC，所以A1F=25A1C，所以A1F=25(ACAA1)=25(AB+ADAA1)=25a+25b25c，又A1F=xa+yb+zc，则x=25，y=25，z=25证明：(2)A1E=2ED1，所以A1E=23A1D1，所以A1E=23AD=23b，由(1)知，A1F=25a+25b25c，所以EF=A1FA1E=25a415b25c=25(a23bc)，又EB=EA1+A1A+AB=23bc+a=a23bc，所以EF=25EB，又因为EF与EB有公共点E，所以E，F，B三点共线