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1、4.24.2指数函数指数函数学习目标学习目标1.1.通过指数函数的实际背景通过指数函数的实际背景,理解指数函数的概念理解指数函数的概念,培养数学抽象素养培养数学抽象素养.2.2.通过借助计算工具画出指数函数的图象通过借助计算工具画出指数函数的图象,归纳指数函数的性质归纳指数函数的性质,掌握指数掌握指数函数图象和性质的简单应用函数图象和性质的简单应用,发展直观想象和逻辑推理素养发展直观想象和逻辑推理素养.3.3.通过指数函数的实际应用通过指数函数的实际应用,培养数学建模素养培养数学建模素养.第第1 1课时指数函数的概念、图象和性质课时指数函数的概念、图象和性质知识梳理知识梳理自主探究自主探究师生
2、互动师生互动合作探究合作探究知识梳理知识梳理自主探究自主探究情境导入情境导入拿一张报纸拿一张报纸,将这张报纸连续对折将这张报纸连续对折,折叠次数折叠次数x x与对应的层数与对应的层数y y、对折后的面、对折后的面积积S(S(设原面积为设原面积为1)1)之间的对应关系如表之间的对应关系如表:探究探究:对应的层数对应的层数y y与折叠次数与折叠次数x x之间存在怎样的函数关系之间存在怎样的函数关系?对折后的面积对折后的面积S S与与折叠的次数折叠的次数x x之间呢之间呢?你得到的两个函数解析式有什么共同特征你得到的两个函数解析式有什么共同特征?知识探究知识探究1.1.指数函数的概念指数函数的概念一
3、般地一般地,函数函数 叫做指数函数叫做指数函数,其中指数其中指数x x是自变是自变量量,定义域是定义域是R R.思考思考1:1:为什么规定指数函数的底数为什么规定指数函数的底数a0,a0,且且a a1?1?提示提示:(1)(1)若若a0,a0 x0时时,a,ax x=0;=0;当当x x0 0时时,a,ax x无意义无意义.(3)(3)若若a=1,a=1,则对于任何则对于任何x xR R,a,ax x=1,=1,没有研究的必要性没有研究的必要性.为了避免上述各种情况为了避免上述各种情况,所以规定所以规定a0,a0,且且a a1.1.y=ay=ax x(a0,(a0,且且a a1)1)2.2.指
4、数函数的图象和性质指数函数的图象和性质a1a10a10a0 x0时时,;当当x0 x0 x0时时,;当当x0 x1y10y10y10y10y1y1提示提示:关于关于y y轴对称轴对称.师生互动师生互动合作探究合作探究探究点一探究点一指数函数的概念指数函数的概念解析解析:(1)(1)根据指数函数的定义进行判断根据指数函数的定义进行判断,得得为指数函数为指数函数.中自变量不在指数上中自变量不在指数上;系数不为系数不为1;1;中底数中底数-40;-40,(a0,且且a a1)1)这一结构形式这一结构形式,其具备的特点为其具备的特点为探究点二探究点二指数函数的图象指数函数的图象类型一图象过定点问题类型
5、一图象过定点问题方法总结方法总结解决指数型函数图象过定点问题的思路解决指数型函数图象过定点问题的思路指数函数指数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a a1)1)的图象过定点的图象过定点(0,1),(0,1),据此据此,可解决形如可解决形如y=ky=ka ax+cx+c+b(k+b(k0,a0,0,a0,且且a a1)1)的函数图象过定点的问题的函数图象过定点的问题,即令即令x=-c,x=-c,得得y=k+b,y=k+b,则函数图象过定点则函数图象过定点(-c,k+b).(-c,k+b).针对训练针对训练2 2:已知函数已知函数f(x)=4+af(x)=4+ax+1x+1的图象恒过定点的
6、图象恒过定点P,P,则点则点P P的坐标是的坐标是()A.(-1,5)A.(-1,5)B.(-1,4)B.(-1,4)C.(0,4)C.(0,4)D.(4,0)D.(4,0)解析解析:当当x+1=0,x+1=0,即即x=-1x=-1时时,f(-1)=4+a,f(-1)=4+a0 0=5,=5,所以函数所以函数f(x)f(x)的图象恒过定点的图象恒过定点P P(-1,5).(-1,5).故选故选A.A.类型二指数函数图象的识别类型二指数函数图象的识别 例例3 3(2021(2021北京高一期中北京高一期中)已知函数已知函数y=ay=ax x,y=b,y=bx x,y=c,y=cx x,y=d,y
7、=dx x的大致图象如图的大致图象如图所示所示,则下列不等式一定成立的是则下列不等式一定成立的是()A.b+da+cA.b+da+cB.b+da+cB.b+db+cC.a+db+cD.a+db+cD.a+dd1ab0,cd1ab0,所以所以b+da+c.b+d0,-(b+1)(a0,且且a a1)1)的图象经过第一、第三、第四象限的图象经过第一、第三、第四象限,则必有则必有()A.0a0A.0a0B.0a1,b0B.0a1,b1,b1,b1,b0D.a1,b0解析解析:法一法一由指数函数由指数函数y=ay=ax x(a1)(a1)图象的性质知函数图象的性质知函数y=ay=ax x(a1)(a1
8、)的图象过第的图象过第一、第二象限一、第二象限,且恒过点且恒过点(0,1),(0,1),而函数而函数y=ay=ax x-(b+1)-(b+1)的图象是由的图象是由y=ay=ax x的图象向的图象向下平移下平移(b+1)(b+1)个单位长度得到的个单位长度得到的,如图如图,若函数若函数y=ay=ax x-(b+1)-(b+1)的图象过第一、第的图象过第一、第三、第四象限三、第四象限,则则a1,a1,且且b+11,b+11,从而从而a1,a1,且且b0.b0.故选故选D.D.法二法二由函数是增函数知由函数是增函数知a1,a1,又又x=0 x=0时时,f(0)0,f(0)0.b0.故选故选D.D.方
9、法总结方法总结根据函数图象特征根据函数图象特征,确定指数型函数确定指数型函数y=ay=ax+bx+b+c(a0,+c(a0,且且a a1)1)中的参数中的参数,可借可借助图象的升、降确定助图象的升、降确定a a的范围的范围,利用函数图象与利用函数图象与y y轴的交点轴的交点,确定确定c c的范围的范围,也可利用图象的平移变化确定也可利用图象的平移变化确定c c的范围的范围.针对训练针对训练4 4:(1):(1)如果函数如果函数f(x)=3f(x)=3x x+b+b的图象经过第一、第二、第三象限的图象经过第一、第二、第三象限,不经不经过第四象限过第四象限,则则()A.b-1A.b-1 B.-1b
10、0 B.-1b0C.0b1C.0b1 D.b1解析解析:(1)(1)函数函数f(x)=3f(x)=3x x+b+b的图象经过第一、第二、第三象限的图象经过第一、第二、第三象限,不经过第四不经过第四象限象限,则则0b+11,0b+11,解得解得-1b0.-1b0,0,所以所以(2(2x x+1)+1)2 21,1,所以所以y=4y=4x x+2+2x+1x+1+3+3的值域是的值域是(3,+(3,+).).方法总结方法总结(1)(1)对于对于y=ay=af(x)f(x)这类函数这类函数:定义域是指使定义域是指使f(x)f(x)有意义的有意义的x x的取值范围的取值范围.值域问题值域问题,应分以下
11、两步求解应分以下两步求解:a.a.由定义域求出由定义域求出u=f(x)u=f(x)的值域的值域;b.b.利用指数函数利用指数函数y=ay=au u的单调性求得此函数的值域的单调性求得此函数的值域.(2)(2)利用指数函数利用指数函数y=ay=ax x的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下方法如下.由于指数函数由于指数函数y=ay=ax x(a0,(a0,且且a a1)1)的定义域是的定义域是R R,所以函数所以函数y=ay=af(x)f(x)(a0,(a0,且且a a1)1)与与函数函数f(x)f(x)的定义域相同的定义
12、域相同,利用指数函数的单调性求值域利用指数函数的单调性求值域.形如形如f(x)=kaf(x)=ka2x2x+ma+max x+t(a0,+t(a0,且且a a1,k,m1,k,m0)0)型函数的值域型函数的值域,常用换元法转化常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题为二次函数在给定区间上的最值问题.典例探究典例探究:已知关于已知关于x x的方程的方程2m32m3-|x|-|x|-3-3-2|x|-2|x|-2m-1=0-2m-1=0有实数解有实数解,求实数求实数m m的取的取值范围值范围.学海拾贝学海拾贝当堂检测当堂检测A A1.1.函数函数y=2y=2x+1x+1的图象是的图象是()解
13、析解析:当当x=0 x=0时时,y=2,y=2,且函数单调递增且函数单调递增.故选故选A.A.B B答案答案:1 1答案答案:(1,3)(1,3)4.4.函数函数f(x)=2af(x)=2ax-1x-1+1+1的图象恒过定点的图象恒过定点.解析解析:令令x-1=0,x-1=0,得得x=1,f(1)=21+1=3,x=1,f(1)=21+1=3,所以所以f(x)f(x)的图象恒过定点的图象恒过定点(1,3).(1,3).备用例题备用例题 例例2 2 设设a0,a0,且且a a1,1,则函数则函数y=ay=ax x+b+b与与y=b-axy=b-ax在同一平面直角坐标系中的在同一平面直角坐标系中的
14、图象可能是图象可能是()解析解析:对于对于A,y=b-axA,y=b-ax中的中的-1b0,0a1,y=a-1b0,0a1,a1,不能统一不能统一,A,A错误错误;对于对于B,y=b-axB,y=b-ax中的中的b-1,y=ab-1,y=ax x+b+b中的中的-1b0,-1b0,不能统一不能统一,B,B错误错误;对于对于C,y=b-axC,y=b-ax中的中的-1b0,0a1,y=a-1b0,0a1,y=ax x+b+b中的中的-1b0,0a1,C-1b0,0a1,C正确正确;对于对于D,y=b-axD,y=b-ax中的中的b-1,y=ab-1,y=ax x+b+b中的中的-1b0,-1b0,-2(a0,且且a a1)1)在区间在区间-1,1-1,1上的最大值为上的最大值为8,8,求它在这个求它在这个区间上的最小值区间上的最小值.