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1、精品_精品资料_n数列专题复习（ 0929）（ 2） 设 Tn=1+ a1 1+ a2 1a+n,求 Tn 及数列 an的通项.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、证明等差等比数列1. 等差数列的证明方法：答案 .2Tn32n1 , a32n 11;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）定义法：an 1and 常数 （ 2）等差中项法：an 1an 12an n2二通项的求法（ 1）利用等差等比的通项公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 等比数列的证明方法：2 累加法：an 1anf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1
2、）定义法：an 1q 常数 （ 2）等比中项法：aaa2 n211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1n 1na例 3已知数列a满意 a, aa,求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n例 1.设 an为等差数列, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S7 7, S1575,n1n 1n211n2nn11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tn 为数列Sn的前 n 项和,求 Tnn解：由条件知：an 1ann 2nnn1nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设等差数列 an的公差为 d,就分别令 n1,2,3, n1 ,
3、代入上式得 n1 个等式累加之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn =na11n（ n 1） d S7 7, S15 75,7a121d7,a13d1,即a2a1a3a2 a4a3 anan 1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_215a1S1105d175,a17d5,11 1221 11 33411n1n 所以 an1a11n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 a1 2,d 1n a 1n（ n1） d 22（ n1）21a1,an2113112 n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
4、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn 1Sn1,数列Sn1是等差数列,其首项为2,公差为,（ 3）构造等差或等比an 1panq 或 an 1panf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1n2n2例 4已知数列an满意 a11,an 12an1nN* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_129求数列an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ Tnn4n4解：an 12an1nN * ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2设数列 an 的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满意关系式：an 112
5、an1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3tSn（ 2t+3）Sn 1=3t（ t0, n=2, 3, 4, ）an1是以 a112 为首项, 2 为公比的等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：数列 an 是等比数列.3解：（ 1）由 a1=S1=1 , S2=1+ a2,得 a2=2t , a23 2ta12n.na2n1nN* .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3ta13t即n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5已知数列a中, a1, a1 a1n 1 ,求 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又
6、 3tSn（ 2t+3 ） Sn1=3t3tSn1（ 2t+3） Sn 2=3tn1n 111nn22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在 aan1两边乘以2 n 1 得： 2n 1 a2na 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得 3tan（ 2t +3）aann 1=0 a2t33t,（ n=2 ,3, ）n 1n22nn 1nbnn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1令 bn2an ,就 bn 1bn1,解之得： bnb1n1n1 ,所以annn.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 an 是一个首项为 1,公比为2
7、t3的等比数列 .3t练习 : 已知数列 an 满意 a n2a n 12n（1 n2）,且 a 481 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 已知 a1=2,点an,an+1 在函数2fx=x+2x的图象上,其中 =1, 2, 3,（ 1）求a1, a2, a3 . （ 2）求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 证明数列 lg1+ an是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1） a15,a 213,a333所以数列 an2 是公比为 4 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可
8、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） a n2a n 12n1an1n2 a n 112所以：aan2a124n1nn14n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nan1an 111an1n1得： n4（其中 n 为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n2n 12 n（ II ）Snan3121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ann1 2n12n32nn1n2124n4n21n2122n 12333333T311可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1nSn2212122n12n 11可编辑资料 - - -
9、欢迎下载精品_精品资料_aS1 n 1n3113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）利用nSnSn1 n 2Ti1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以：i 1221212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6如Sn 和 Tn 分别表示数列 an 和 bn 的前 n 项和,对任意正整数（ 5）累积法an 1f nan转化为an 1anf n ,逐商相乘 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an解：an2n1 , Tn3Sn4n .求数列 bn 的通项公式.5n 2分当2 n1a14d2Snn 23nTn3Sn4n3n23 5
10、8例 7已知数列an满意 a12, an 13nan ,求n1an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1时,T1b1解：由条件知an 1ann,分别令 nn11,2,3,n1 ,代入上式得 n1 个等式累乘之,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 n2时,bn TnTn 16n2bn6n2. 4分a2a3a4a1a2a3an123n1an1234na1nan 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n练习 ：1. 已知正项数列 a n ,其前 n 项和 Sn 满意 10Sn=a项 an2+5an+6
11、且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列 an 的通又a12 ,a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解: 10Sn=a22n +5an+6, 10a1=a1+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=33 3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 10Sn 1=an 12+5an 1+6 n 2, 练习 ： 1.已知 a13 , an 13n1ann1 ,求an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2+6 a a a 5=0由得 10an= an2 an 1nn 1 ,即an+an 1ann 13n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
12、 an+an 10, an an1 =5 n 23n43n752 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1=3 时, a3=13 , a15=73a1, a3,a15 不成等比数列 a1 3;3当 a1=2 时, a3=12 , a15=72, 有 a 2=a1a15 , a1=2, an=5n 3解： an3n3n113n12 3 n2132131a122322323n13n4385n3 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设数列an的前 n 项的和2已知数列 an ,满意 a1=1, ana12a23a3n1an 1n 2,可编辑资料 - - - 欢迎下
13、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S4 a12n 12 , n1,2,3,就 a1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn333n 的通项 ann2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求首项a1与通项2nan .n3解：由已知,得an 1a12a23a3n1an 1nan ,用此式减去已知式,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设 Tn, n1,2,3,Sn,证明：Tii 12当 n2 时,an 1annan ,即an 1n1an ,又 a2a11,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I）a1
14、S1441n 2n 1n ,将以上 n 个式子相乘,得 an4a1312223 ,解得： a12a1, a21a1, a3a3, a44a, ana3123n1n. n2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an 1Sn 1Snan 1an22a2n 14 a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_333n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1（ 6）倒数变形：an 1an,两边取倒数后换元转化为paqan 1panq .Sn 2n1x2n1 xn21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n例 8：已知数列 an满意： anan 13
15、a, a111 ,求数列 an的通项公式.练习： 求数列2 , 42221, 6 ,23x, 2n ,2 n前 n 项的和 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 113 an 111解：由题可知, 2n2 n1 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 2 n 的通项之积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：取倒数：anan 13an 1设 Sn24624622232 4222232nn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11111 S2n 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是等差数列,anann1 3a11n1 3an3n22n2
16、 n 122222n12n2223242 n2 n 12n 122 n 112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 ：已知数列 an满意： a1 3,且 an3na n1（ n2, nN ）1 Sn22n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求数列 an的通项公式.2an1n1Sn4n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将条件变为： 1 nan1n1 （1）,因此 13an1n 为一个等比数列,其首项为an4、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原可编辑资料 - - - 欢迎下
17、载精品_精品资料_11a11,公比31,从而 13n1na3n,据此得 ann3n 3n1（ n 1）数列相加,就可以得到n 个 a15、分组法求和an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三数列求和1、等差数列求和公式：Snna1an na1nn1) d有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2na12q1例 10 求数列的前 n 项和： 11, 12n 1a14, a27,1a n 13n2 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
18、料_2、等比数列求和公式：Sna1 1qn a1an q q1解：设 Sn11 14 171可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3n21q1qaaa将其每一项拆开再重新组合得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、错位相减法求和11Sn12aa1an 1 1473n2 （分组）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. Sna1b1a2b2anbn当 a 1 时, Snn3n1) n3n1n（分组求和）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 求和： Sn13x5x27 x32n1 xn 12211n1 n
19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由题可知,设 Sn13x5x7x2n1) x1 当 a1 时, Sna23nn113n1) naa2a13n21) n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xSn1x3x 25x37x42n1) x （设制错位）a6、裂项法求和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得1xSn12x2x 22x32x41xn 12xn 12n1 xn（错位相减） 再这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）可编辑资料 - - -
20、 欢迎下载精品_精品资料_利用等比数列的求和公式得：1x Sn12 x1x 2n1x n .（ 1）an为等差数列,1111a aaad可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n 1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） an1nn1n1n求证数列an为等差数列,并求它的公差1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11 求数列1,1,1,1223nn1的前 n 项和.设 bnnan an 1N ,求 b1b2bn .n 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 a1n1n ,就解：由条件, an12nnn12 nn22n1n
21、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn1 an1n2 . an 1an2n2n1221 n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S11n122312nn1132n1n故 an b为等差数列,公差 d12114可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1 n2n1 n2n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n1112n222又知 114n2n11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12在数列 an 中,an,又 bn,求数列 b n 的前 n 项的和 .n1n2n1 n2n1 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
22、_精品资料_解： ann1n112n1n1n1nnn12anan 1 bn411n1n2111111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bn2nn1228 11nn1数列 b n 的前 n 项和：b1b2 bn442334411 4n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11Sn8 11 11 11 811 8n2n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习：22334nn1n1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知数列 an 的前 n 项和为Sn ,且满意 an1Sn12.求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎
23、下载精品_精品资料_解：（ 1）数列 an 的前 n 项和为Sn ,且满意 an1Sn12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 an1S11n 12（ n2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相减得： an1an 1an2anan 12（ n2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又当 n=1 时, a111,a2,a112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 是以 a12 为首项,公比 q2 的等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an22n 12n（ nN * ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 12312100,22 3331001001002. 已知数列an： 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载