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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列一、挑选题1（天津理 4）已知a n为等差数列,其公差为-2,且a 是a 与a 的等比中项,S 为a n的前n项和,n* N ,就S 10的值为A-110 B-90 C90 D110 【答案】 D 2（四川理28）数列a n的首项为3,nb为等差数列且b nan1annN*如就b 3,b 1012,就a 8D11 A0 B3 C8 【答案】 B 【解析】由已知知b n2n8,a n1a n2n8,由叠加法460a 8a 13a 2a 1a 3a2a 8a7642023（四川理 11）已知定义在0,上的函数f x 满意f x
2、 3 f x2,当x0,2时,f x22x 设f x 在2 n2,2n 上的最大值为annN*,且a n的前n项和为S ,就lim nS n35A3 B2C2 D2【答案】 D 名师归纳总结 【解析】由题意f x21f ,在2n2,2 n 上,a n1 3n1S n1 131 13nlimS n3第 1 页,共 21 页3n1,f x 1, n2,f x 1,n3, 1 32324（上海理18 ）设an是各项为正数的无穷数列,iA是边长为a ai1的矩形面积（i1,2,）,就A n为等比数列的充要条件为Aan是等比数列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
3、 Ba a 3,a 2n1,或a a4,学习必备欢迎下载,a 2n,是等比数列；Ca a 3,a2n1,和a a4,a 2n,均是等比数列；Da a3,a 2n1,和a2,a 4,a2n,均是等比数列,且公比相同；【答案】 D 5（全国大纲理4）设S 为等差数列a n的前n项和,如a 11,公差d2,S k2S k24,就 kA8 B7 C6 D5 【答案】 D 6（江西理 5） 已知数列 a 的前 n 项和S 满意：S nS mS n m,且a =1那么a 10= A1 B9 C10 D55 【答案】 A 7（福建理 10）已知函数f（x）=e+x,对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三
4、个点A,B,C,给出以下判定： ABC肯定是钝角三角形 ABC可能是直角三角形 ABC可能是等腰三角形 ABC不行能是等腰三角形其中,正确的判定是ABC D【答案】 B 二、填空题8（湖南理 12）设S 是等差数列 a nnN,的前n项和,且a 11,a47,就S = 【答案】 25 9（重庆理 11）在等差数列an中,a3a 737,就a 2a 4a6a 8_ 【答案】 74 1名师归纳总结 10 （ 北 京 理 11 ） 在 等 比 数 列 an 中 , a1=2 , a4=-4, 就 公 比q=_ ；第 2 页,共 21 页a 1a 2.a n_；2 【答案】2n11211（安徽理14）
5、已知ABC 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4 的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等差数列,就 ABC 的面积为 _. 【答案】15 312（湖北理 13）九章算术“ 竹九节” 问题：现有一根 9 节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,就第 5 节的容积为升；67【答案】6611）等差数列a n前 9 项的和等于前4 项的和如a 11,a ka40,就13（广东理k=_【答案】 10 14（江苏 13）设1a1a2a7,其中a 1,a3,a 5,a7成公比为
6、q 的等比数列,a2,a 4,a6成公差为 1 的等差数列,就q 的最小值是 _ 【答案】3 3三、解答题15（江苏 20）设部分为正整数组成的集合,数列ka n的首项a 11,前 n 项和为S ,S nk2S nS k都成立已知对任意整数kM,当整数nk时,Sn（1）设M1 ,a22,求a 5的值；（2）设M3 ,4 ,求数列an的通项公式本小题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础学问,考查考生名师归纳总结 分析探究及规律推理的才能,满分16 分；S nS 1,2n22n2.第 3 页,共 21 页解：（1）由题设知,当n2 时,S n1S n12即S n1S nS n
7、S n12 S ,2 时,a na2从而a n1an2 a 12,又a22,故当n所以5a的值为 8；n kS nk2 S na2S k（2）由题设知,当kM3, 4,且nk时,S且S n1kS n1k2 S n12S k,a na两式相减得a n1kan1k2an1,即a n1k1kn1n1k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以当n8 时,a n6,an3,a n,an学习必备欢迎下载an6,a n2,an2,a n6也成等差数3,an6成等差数列, 且列从而当n8时,2 ana n3an3a n6a n6.（* ）d.可且a n6an6a n2a
8、n2,所以当n8 时, 2 anan2an2,即an2ananan2. 于是当n9 时,an3,an1,an1,an3成等差数列,从而an3an3a n1an1,故由（ * ）式知2ana n1a n1,即an1a nana n1.当n9时,设da nan1.当2m8 时 ,m68,从而由（ *）式知2am6a ma m12故2a m7am1a m13.从而2a m7a m6a m1amam13a m12,于是a m1am2dd因此,an1a nd 对任意n2都成立,又由S nkS n k2S k2S kk3, 4知S n kS nS nS n k2S k,故9 d2S 3且 16d2S 4,
9、解得a47d,从而a 23d a 1d.222n2个因此,数列an为等差数列,由a 11 知d2.所以数列a n的通项公式为an2 n1.16（安徽理18）在数 1 和 100 之间插入n个实数,使得这n2个数构成递增的等比数列,将这数的乘积记作T ,再令anlgT n,n . （）求数列an的通项公式；（）设b ntanantana n1,求数列bn的前n项和S . 此题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本学问,考查名师归纳总结 敏捷运用学问解决问题的才能,综合运算才能和创新思维才能100 ,. 第 4 页,共 21 页解：（I）设l1,l2,nl2构成等比数列,其中
10、t1,1nt2就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - T nt1t2tn1tn2,学习必备欢迎下载T n t n 1 t n 2 t 2 t 1 , 并利用 t 1 t n 3 i t 1 t n 2 10 2 1 i n 2 , 得2 2 n 2 T n t 1 t n 2 t 2 t n 1 t n 1 t 2 t n 2 t 1 10 , a n lg T n n 2 , n 1 .（II）由题意和（ I）中运算结果,知 bn tan n 2 tan n 3 , n 1 .tan k 1 tan ktan 1 tan k 1 k ,另一方面,利用 1
11、 tan k 1 tan ktan k 1 tan ktan k 1 tan k 1 .得 tan 1n n 2S n b k tan k 1 tan k所以 k 1 k 3n 2 tan k 1 tan k 1 k 3 tan 1tan n 3 tan 3n .tan 117（北京理 20）如数列 A n a a 2, ., a n 2 满意 a n 1 a 1 1 k 1,2,., n 1,数列 A 为 E 数列,记 S A n = a 1 a 2 . a （）写出一个满意 a 1 a s 0,且 S A s 0 的 E 数列 A ；（）如 a 1 12,n=2000,证明： E 数列 A
12、 是递增数列的充要条件是 a =2022；（）对任意给定的整数 n（n2）,是否存在首项为 0 的 E 数列 A ,使得 S A n=0？假如存在,写出一个满意条件的 E 数列 A ；假如不存在,说明理由；解：（） 0,1,2,1,0 是一具满意条件的 E 数列 A5；（答案不唯独,0,1,0, 1,0 也是一个满意条件的 E 的数列 A5）（）必要性：由于 E 数列 A5 是递增数列,所以 a k 1 a k 1 k 2,1 , , 1999 . 所以 A5 是首项为 12,公差为 1 的等差数列 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - -
13、- - - - - - 学习必备 欢迎下载所以 a2000=12+（20001） 1=2022. 充分性,由于 a2000a10001,a2000 a1000 1 a2 a11 所以 a2000 a 19999,即 a2000 a1+1999.又由于 a1=12,a2000=2022, 所以 a2000=a1+1999. 故an1an10 k,1,2, 1999,即A n是递增数列 . 综上,结论得证；（）令ckak1ak10 kc 2,1,2,n1 ,就cA1 .由于a2a 1c 1a 1a 1c 1 名师归纳总结 a na 1c 1c2cn1,a4k1第 6 页,共 21 页所以SA nn
14、a1n1 c 1n2c2n3 c3cn1n n11c 1n1 1c2n21cn1.2由于ck,1所以1ck为偶数k,1,n1 .所以*1c1n1 1c2n21cn为偶数 , 所以要使S A n0 ,必需使n n1为偶数 , 2即 4 整除n n1 ,亦即n4 m 或n4m1mN*. 当n4 m1 mN*时,E 数列An 的项满意a4k1a4k10,a4k21 ,k,12 ,m 时,有a 10,S An0 ;,1a4k1 k1 2,m ,a4 k10 时,有a10 ,SAn0;当n4 m1 mN*时,E 数列An的项满意,a4k1a3k30,a4k2当n4 m2 或n4 m3 mN 时 ,n m
15、1 不能被 4 整除,此时不存在E 数列 An,使得a 10,SAn0.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 18（福建理16）学习必备欢迎下载13已知等比数列 an的公比 q=3,前 3 项和 S3= 3 ；（I）求数列 an的通项公式；（II）如函数f x Asin2xA0,0p在x6处取得最大值,且最大值为 a3,求函数 f（x）的解析式；本小题主要考查等比数列、三角函数等基础学问,考查运算求解才能, 考查函数与方程思想,满分 13 分；名师归纳总结 解：（I）由q3,S 313得a 113 3 13,2n2第 7 页,共 21 页3133解得a 1
16、1. 3所以a n13n13n2 .3（II）由（ I）可知a nn 32,所以a33.由于函数f x 的最大值为3,所以 A=3；由于当x6时f x 取得最大值,所以sin261.又0,故6.所以函数f x 的解析式为f x 3sin2x619（广东理20）设 b0,数列a n满意 a1=b,ana nnban112n（1）求数列a n的通项公式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）证明：对于一切正整数n,an学习必备1.欢迎下载bn12n1解：名师归纳总结 （1）由a 1b0,知ana nnban120,n12nn1.bn11bn2n）第 8
17、页,共 21 页12nanbb a1令A nn,A 11a nb ,当n2 时,A n12A n1bb122n2n 21A 1bb2bn1bn1nbn11, 只需证nbn122n2n 2n1.n1bb2bb当b2时,A n112nbnb2n,bb12n b2b当b2 时,A nn.2a nn nbbn 22 ,b2bn2,b2（2）当b2时,（欲证annbnb22n1bnn2n12b22n 212n1bn1bnn 22n1bn1b12bnb22n1bn12n2bn222nb2n2 b2n1n 21n b12nbn2222nbnbn1bbb2bn2nn 212- - - - - - -精选学习资
18、料 - - - - - - - - - 2nbn2222 n2n学习必备2欢迎下载bnnn1n b ,n n 1nb b 2 ba n n n n 1 1.b 2 2n 1bb 2 时 , a n 2 n 1 1.当 2n 1ba n n 1 1.综上所述 220（湖北理 19）已 知 数 列 a n 的 前n项 和 为 S , 且 满 足 ：a 1 a a 0,a n 1 rS n n N* ,r R r 1（）求数列 a n的通项公式；（）如存在 k N* ,使得 S k 1,S ,S k 2 成等差数列,是判定：对于任意的 m N* ,且 m 2,a m 1,a ,a m 2 是否成等差
19、数列,并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等基础学问,同时考查推理论证才能,以及特别与一般的思想； （满分 13 分）名师归纳总结 解：（I）由已知a n1rSn,可得an2rS n1,两式相减可得第 9 页,共 21 页a n2an1rS n1S nr a 1 ,an0（n* N ）,即an2r1 an1,又a2ra1ra 所以 r=0 时,数列a n为： a,0, , 0, ；当r0,r1时,由已知a0,所以于是由an2r1 a n1,可得a n2r1 nNan1,a a3,a n成等比数列,当n2时 ,a nr rn 12a.- - - - - - -精选学习资料 - - -
20、- - - - - - 综上,数列an的通项公式为学习必备欢迎下载2a na nr rn1,n 12a n（II）对于任意的 m N ,且 * m 2, a m 1 , a m , a m 2 成等差数列,证明如下：a n 1,a m当 r=0 时,由（ I）知,0, n 2对于任意的 m N ,且 * m 2, a m 1 , a m , a m 2 成等差数列,当 r 0,r 1 时,S k 2 S k a k 1 a k , 2 S k 1 a k . 1如存在 k N *,使得 S k 1 , S S k 2 成等差数列,就 S k 1 S k 2 2 S ,2 S k 2 a k 1
21、 a k 2 2 S 即 k a k 2 2 a k 1 ,由（ I）知,a a 3 , , a m , 的公比 r 1 2,于是对于任意的 m N ,且 * m 2, a m 1 2 a m , 从而 a m 2 4 a m ,a m 1 a m 2 2 a m , 即 a m 1 , a m , a m 成等差数列,综上,对于任意的 m N ,且 * m 2, a m 1 , a m , a m 2 成等差数列；21（辽宁理 17）已知等差数列 an满意 a2=0,a6+a8=-10 （I）求数列 an的通项公式；（II）求数列an1的前 n 项和2n解：名师归纳总结 （I）设等差数列an
22、的公差为d,由已知条件可得a 1d0,10,第 10 页,共 21 页2 a 112dan2n . 5a 11,解得d1.故数列an的通项公式为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （II）设数列a n1的前 项和为学习必备S n欢迎下载a 2a n1,故S 11,S n,即a 12 n22 nS na 1a 2a n.n 分12224n 2所以,当n1时,S na 1a22a 1a nn 2an1an212n11121122nn24n111122nnn 2n.2n所以S n2n1.n综上,数列a n1的前 项和S nn1.2nn 222（全国大纲理20）
23、1.11设数列a n满意a 10且1an11a（）求an的通项公式；S n1.（）设b n1an1,记S nn1b k,证明：nk解：名师归纳总结 （I）由题设1n1n1111,第 11 页,共 21 页aa n即11a是公差为 1 的等差数列；11, 故11n.又1a 1a n所以an11.n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（II）由（ I）得b n1a n1, 12 分nn1nn1n11nn1, 8 分S nkn1b kkn11111111.kkn23（全国新课标理17）1, a329a a 已知等比数列an的各项均为正数,且2
24、a 13a2（I）求数列a n的通项公式1的前 n 项和（ II）设b nlog3a 1log3a2log3a ,求数列b n解：（）设数列 an的公比为 q,由a219 a a 得3 a 3192 a 所以q2193由条件可知c0,故q1,所以a 13由2a 13 a 21得2a 13 a q31故数列 an的通项式为2an=n 33an（ ）b nlog3a 1log3a.log12.nn n12名师归纳总结 112121 nn111.1n1 12n第 12 页,共 21 页故b nn n1.12111 2b 1b 2b n23nn1- - - - - - -精选学习资料 - - - -
25、- - - - - 所以数列1的前 n 项和为2学习必备欢迎下载nnbn124（山东理20）中,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a a a 中等比数列a n的任何两个数不在下表的同一列第一列a其次列b n第三列S 第一行3 2 10 其次行6 4 14 第三行9 8 18 （）求数列a n的通项公式； 1lna ,求数列的前 n 项和（）如数列nb满意：b na n解：（I）当a 13时,不合题意；318时,符合题意；当a 12时,当且仅当a 26,当a 110时,不合题意；因此a 12,a26,a 318,所以公式 q=3,故an2 3n1 .nln 3,（II）由于b
26、na nn 1 lnan2 3n1n 1 2 3n12 3n1n 1 ln 2n1ln 32 3n1n 1 ln 2ln 3n 1所以S 2n21332n1 11 12 1nln 2ln 3125 1nnln 3,所以名师归纳总结 当 n 为偶数时,S n21n 3n 2ln 3ln 3n21nln 3第 13 页,共 21 页1 3S n213nln 2n 3nln 31;2当 n 为奇数时,13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3nn21ln 3ln 21.学习必备欢迎下载综上所述,名师归纳总结 S n3nnln 31,n 为偶数2n7第 14 页
27、,共 21 页23 -nn21ln3-ln2-1,n为奇数25 （上海理22）已知数列a n和b n的通项公式分别为a n3n6,nb（n* N ）,将集合2,即x xan,nN*x xb nN*中的元素从小到大依次排列,构成数列c c c 3,cn,；（ 1）求c c2,c c ；（ 2）求证：在数列nc中但不在数列b n中的项恰为a2,a 4,a 2n,；（ 3）求数列cn的通项公式；解：c 19 ,c 21 1 , c 31 2 ,；1 3 任意nN*,设a 2n132n166 n3b k2 k7,就k3 na 2n1b 3 n2 假设a2n6n6b k2k7k3 n1N*（冲突）,a 2nb n2 在数列cn中但不在数列b n中的项恰为a2,a 4,a 2n,；b 3k223k276k3a2k1,b 3 k16k5,a 2k6k6,b 3 k6k76 k36 k566k 67 当k1时,依次有b 1a 1c b 2c2,a2c b 3c , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6k3n4k3学习必备欢迎下载c n6k5n4k2,kN*N*6k