2022年高考数列大题专题 .pdf

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1、1 高考中的数列最后一讲（内部资料勿外传）1已知数列 an、bn 、cn满足（1）设 cn=3n+6， an 是公差为3 的等差数列当b1=1时，求 b2、b3的值；（2）设，求正整数k，使得对一切nN*，均有 bnbk；（3）设，当 b1=1 时，求数列 bn的通项公式2设 an是公比为正数的等比数列a1=2， a3=a2+4（）求 an 的通项公式；（）设 bn是首项为1，公差为 2 的等差数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn3已知公差不为0 的等差数列 an的首项 a1为 a（a R）设数列的前n 项和为 Sn，且，成等比数列（）求数列 an的通项公式及Sn；（）记 An=+ +，

2、Bn=+ +，当 a 2 时，试比较An与 Bn的大小4已知等差数列an 满足 a2=0，a6+a8=10 （I）求数列 an 的通项公式；（II）求数列 的前 n 项和5成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13 后成为等比数列bn 中的 b3、b4、b5（I） 求数列 bn的通项公式；（II） 数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn+是等比数列6 在数 1 和 100之间插入 n个实数，使得这 n+2个数构成递增的等比数列，将这 n+2 个数的乘积计作Tn， 再令 an=lgTn，n 1（I）求数列 an 的通项公式；（）设 bn=tanan?tanan+

3、1，求数列 bn 的前 n 项和 Sn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页2 7.设 a1，d 为实数，首项为a1，公差为d 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+15=0（）若 S5=5，求 S6及 a1；（）求 d 的取值范围8已知等差数列an 的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4（）求数列 an的通项公式；（）设 bn=（4an）qn1（q 0，nN*） ，求数列 bn的前 n 项和 Sn9已知数列 an满足 a1=0，a2=2，且对任意m、nN*都有 a2m1+a2n1=2am+n1+2

4、（mn）2（1）求 a3，a5；（2）设 bn=a2n+1a2n1（nN*） ，证明： bn 是等差数列；（3）设 cn=（an+1an） qn1（q 0，nN*） ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn10已知 an 是公差不为零的等差数列，a1=1，且 a1， a3，a9成等比数列（）求数列 an的通项；（）求数列 2an的前 n 项和 Sn11已知数列 an满足，nN（1）令 bn=an+1an，证明： bn是等比数列；（2）求 an的通项公式12等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知对任意的nN*，点（ n，Sn） ，均在函数y=bx+r（b0）且 b 1，b， r 均为常数）的图象

5、上（1）求 r 的值；（2）当 b=2 时，记 bn=nN*求数列 bn的前 n 项和 Tn13 （本小题满分12 分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS（）求na及nS；（）令bn=211na(nN*)，求数列nb的前 n 项和nT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页3 14已知数列 an是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16 （1）求数列 an的通项公式；（2）数列 an 和数列 bn满足等式an=（nN*） ，求数列 bn的前 n 项和 Sn15设数

6、列 an的通项公式为an=pn+q（nN*，P0） 数列 bn定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an m成立的所有n 中的最小值（）若，求 b3；（）若 p=2，q= 1，求数列 bm的前 2m 项和公式；16已知数列 xn的首项 x1=3，通项 xn=2np+np（nN* ， p，q 为常数），且成等差数列求：（）p，q 的值；（）数列 xn前 n 项和 Sn的公式17设数列 an的前 n 项和为 Sn=2an2n，（）求 a1，a4（）证明： an+12an 是等比数列；（）求 an 的通项公式18在数列 an中， a1=1，（）求 an 的通项公式；（）令，求数列 bn的前 n 项

7、和 Sn；（）求数列 an的前 n 项和 Tn19已知数列 an的首项，n=1， 2，3， （）证明：数列是等比数列；（）求数列的前 n 项和 Sn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页4 20.在数列na中，10a，且对任意*kNkN，21221,kkkaaa成等差数列，其公差为kd。( ) 若kd=2k，证明21222,kkkaaa成等比数列（*kN） ；( ) 若对任意*kN，21222,kkkaaa成等比数列，其公比为kq. 设1q1. 证明11kq是等差数列；21. 设数列na的前n项和为,nS已知11,a1

8、42nnSa（I ）设12nnnbaa，证明数列nb是等比数列（II ）求数列na的通项公式。22. 设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（）求na的通项公式23. 数列 an的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2， 3，求（I ）a2，a3，a4的值及数列 an 的通项公式；（II ）2462naaaaL的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页5 1已知数列 an、bn、cn满足（1）设 cn=3n+6，an 是公差为3 的等差数列当

9、b1=1 时，求 b2、b3的值；（2）设，求正整数k，使得对一切nN*，均有 bn bk；（3）设，当 b1=1 时，求数列 bn 的通项公式专题 ：计算题；分类讨论。分析： （1）先根据条件得到数列bn的递推关系式，即可求出结论；（2）先根据条件得到数列bn 的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出结论；（3）先根据条件得到数列bn 的递推关系式； 再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列bn的通项公式，最后综合即可解答： 解： （1） an+1 an=3，bn+1 bn=n+2，b1=1，b2=4，b3=8（2）an+1 an=2n7，bn+1 bn=，由 bn+1bn0，解得 n 4，

10、即 b4b5b6 ；由 bn+1bn0，解得 n 3，即 b1b2b3b4k=4（3）an+1an=（ 1）n+1，bn+1 bn=（ 1）n+1（2n+n） bnbn1=（ 1）n（2n1+n 1） （n 2） 故 b2b1=21+1；b3b2=（ 1） （22+2） ，bn1 bn2=（ 1）n1（2n2+n 2） bnbn1=（ 1）n（2n1+n1） 当 n=2k 时，以上各式相加得bnb1=（222+ 2n2+2n1）+12+ （ n2）+（n1） =+=+bn=+当 n=2k1 时，=+（ 2n+n）=+精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

11、 - - -第 5 页，共 19 页6 bn=点评： 本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用是对数列知识的综合考察，属于难度较高的题目2 （2011?重庆）设 an是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（）求 an 的通项公式；（）设 bn是首项为1，公差为 2 的等差数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn分析： （）由 an是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4 可求得 q，即可求得 an的通项公式（）由 bn是首项为1，公差为 2 的等差数列可求得 bn=1+（n 1） 2=2n1，然后利用等比数列与等差数列的前 n 项和公式即可求得数列a

12、n+bn的前 n 项和 Sn解答： 解： （）设an是公比为正数的等比数列设其公比为q，q0 a3=a2+4，a1=2 2 q2=2 q+4 解得 q=2 或 q=1 q0 q=2 an的通项公式为an=2 2n1=2n（）bn是首项为1，公差为 2 的等差数列bn=1+（ n1） 2=2n1 数列 an+bn 的前 n 项和 Sn=+=2n+12+n2=2n+1+n22 3 （2011?浙江）已知公差不为0 的等差数列 an的首项 a1为 a （aR）设数列的前n 项和为 Sn，且，成等比数列（）求数列 an的通项公式及Sn；（）记 An=+ +，Bn=+ +，当 a 2 时，试比较An与

13、Bn的大小分析： （）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n 项的和可得（）利用（ ）的 an和 Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与 Bn，最后对 a0 和 a0两种情况分情况进行比较解答： 解： （）设等差数列 an 的公差为d，由（）2=?，得（ a1+d）2=a1（a1+3d） ，因为 d 0，所以 d=a1=a 所以 an=na，Sn=（）解： =（）An=+ +=（1）=2n1a，所以=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页7 Bn=+ +=?

14、=?（1）当 n 2 时， 2n=Cn0+Cn1+ +Cnn n+1，即 11所以，当a0 时， An Bn；当 a0 时， An Bn4 （2011?辽宁）已知等差数列an 满足 a2=0，a6+a8=10 （I）求数列 an 的通项公式；（II）求数列 的前 n 项和分析： （I）根据等差数列的通项公式化简a2=0 和 a6+a8=10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）把（ I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作 ，然后给两边都除以2 得另一个关系式记作 ， 后，利用an的通项公式及等比数列的前n项和的

15、公式化简后，即可得到数列 的前 n 项和的通项公式解答： 解： （I）设等差数列an的公差为d，由已知条件可得，解得：，故数列 an的通项公式为an=2n；（II）设数列 的前 n 项和为 Sn，即 Sn=a1+ + ，故 S1=1，=+ + ，当 n 1 时， 得：=a1+ +=1（+ +）=1（ 1）=，所以 Sn=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页8 综上，数列 的前 n 项和 Sn=是一道中档题5 （2011?湖北） 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13 后成为等比数列bn中

16、的 b3、b4、b5（I） 求数列 bn的通项公式；（II） 数列 bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn+是等比数列分析： （I）利用成等差数列的三个正数的和等于15 可设三个数分别为5d，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列 bn的通项公式（II）根据（ I）及等比数列的前n 项和公式可求Sn，要证数列 Sn+ 是等比数列 ?即可解答： 解： （I）设成等差数列的三个正数分别为ad，a， a+d 依题意，得ad+a+a+d=15，解得 a=5 所以 bn中的依次为7 d，10， 18+d 依题意，有（ 7d） （18+d）=100，解得 d=2 或 d=13（舍去）故bn的第

17、3 项为 5，公比为2 由 b3=b1?22，即 5=4b1，解得所以 bn是以首项， 2 为公比的等比数列，通项公式为（II）数列 bn的前和即，所以，因此 是以为首项，公比为2 的等比数列点评： 本题主要考查了等差数列、等比数列及前n 和公式等基础知识，同时考查基本运算能力6 （2011?安徽）在数1 和 100 之间插入n 个实数，使得这n+2 个数构成递增的等比数列，将这n+2 个数的乘积计作 Tn，再令 an=lgTn，n 1（I）求数列 an 的通项公式；（）设 bn=tanan?tanan+1，求数列 bn 的前 n 项和 Sn分析： （I）根据在数1 和 100 之间插入n 个

18、实数，使得这n+2 个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2 项的几何平均数为10，故 Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列an的通项公式；（II）根据（ I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列bn 的每一项拆成的形式，进而得到结论解答： 解： （I）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这n+2 个数构成递增的等比数列，又这 n+2 个数的乘积计作Tn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页9 Tn=10n+2又an=lgTn，an=lg10n+2=n+2，n 1（II）bn=t

19、anan?tanan+1=tan（ n+2） ?tan（n+3）=，Sn=b1+b2+ +bn=+ + =点评： 本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2 项的几何平均数为 10，是解答本题的关键7 （2010?浙江）设 a1， d 为实数，首项为a1，公差为d 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+15=0（）若 S5=5，求 S6及 a1；（）求 d 的取值范围解答： 解： （）由题意知S6=3，a6=S6S5=8 所以解得 a1=7 所以 S6=3， a1=7；解： （）因为 S5S6+15=0，所以（ 5a1+10d） （6

20、a1+15d）+15=0，即 2a12+9da1+10d2+1=0故（ 4a1+9d）2=d28所以 d2 8故 d 的取值范围为d 2或 d 28 （2010?四川）已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为 4（）求数列 an的通项公式；（）设 bn=（4an）qn1（q 0，nN*） ，求数列 bn的前 n 项和 Sn分析： （1）设 an的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3 项和前 8 项的和，求的a1和 d，进而根据等差数列的通项公式求得an（2）根据（ 1）中的 an，求得 bn，进而根据错位相减法求得数列bn 的前 n 项和 Sn解答： 解： （1）设 an 的

21、公差为d，由已知得解得 a1=3，d= 1 故 an=3+（n1） （ 1）=4n；（2）由（ 1）的解答得，bn=n?qn1，于是Sn=1?q0+2?q1+3?q2+ +（n1）?qn1+n?qn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页10 若 q 1，将上式两边同乘以q，得qSn=1?q1+2?q2+3?q3+ +（n1）?qn+n?qn+1将上面两式相减得到（q1）Sn=nqn（ 1+q+q2+ +qn1）=nqn于是 Sn=若 q=1，则 Sn=1+2+3+ +n=所以， Sn=9 （2010?四川）已知数列an

22、 满足 a1=0， a2=2，且对任意m、nN*都有 a2m1+a2n1=2am+n1+2（mn）2（1）求 a3，a5；（2）设 bn=a2n+1a2n1（nN*） ，证明： bn 是等差数列；（3）设 cn=（an+1an） qn1（q 0，nN*） ，求数列 cn 的前 n 项和 Sn分析： （1）欲求 a3，a5只需令 m=2，n=1 赋值即可（2）以 n+2 代替 m，然后利用配凑得到bn+1bn，和等差数列的定义即可证明（3）由（ 1） （2）两问的结果可以求得cn，利用乘公比错位相减求cn 的前 n 项和 Sn解答： 解： （1）由题意，令m=2，n=1，可得 a3=2a2 a1

23、+2=6 再令 m=3，n=1，可得 a5=2a3a1+8=20 （2）当 nN*时，由已知（以n+2 代替 m）可得a2n+3+a2n1=2a2n+1+8 于是 a2（n+1）+1a2（n+1）1（ a2n+1 a2n1）=8 即 bn+1bn=8 所以 bn是公差为8 的等差数列（3）由（ 1） （2）解答可知 bn是首项为b1=a3a1=6，公差为8 的等差数列则 bn=8n2，即 a2n+1a2n1=8n2 另由已知（令m=1）可得an=（ n1）2那么 an+1an=2n+1 =2n+1=2n 于是 cn=2nqn1当 q=1 时， Sn=2+4+6+2n=n （n+1）当 q 1

24、时， Sn=2?q0+4?q1+6?q2+2n?qn1两边同乘以q，可得qSn=2?q1+4?q2+6?q3+2n?qn上述两式相减得（1q）Sn=2（1+q+q2+qn1） 2nqn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11 =2?2nqn=2?所以 Sn=2?综上所述， Sn=点评： 本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法10 （2010?陕西）已知 an是公差不为零的等差数列，a1=1，且 a

25、1， a3， a9成等比数列（）求数列 an的通项；（）求数列 2an的前 n 项和 Sn分析： （I）由题意可得a32=a1?a9=a9，从而建立关于公差d 的方程，解方程可求d，进而求出通项an（II）由（ I）可得，代入等比数列的前n 项和公式可求Sn解答： 解（ ）由题设知公差d 0，由 a1=1，a1，a3，a9成等比数列得=，解得 d=1，d=0（舍去），故 an的通项 an=1+（n1） 1=n；（）由（ ）知2a_n=2n，由等比数列前n 项和公式得Sm=2+22+23+ +2n=2n+12点评： 本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，属于基本公式的

26、简单运用11 （2009?陕西）已知数列an满足， nN（1）令 bn=an+1an，证明： bn是等比数列；（2）求 an的通项公式分析： （1）先令 n=1 求出 b1，然后当n 2 时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得 bn是以 1 为首项，为公比的等比数列得证；（2）由（ 1）找出 bn的通项公式，当n 2 时，利用 an=a1+（ a2a1）+（ a3 a2）+（anan1）代入并利用等比数列的前 n 项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1 检验也符合，所以n N，an都成立解答： 解： （1）证 b1=a2 a1=1，当 n 2 时，所以 bn是以 1 为首项，为公比的

27、等比数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页12 （2）解由（ 1）知，当 n 2 时， an=a1+（a2 a1）+（a3 a2）+（anan1）=1+1+（）+ +=，当 n=1 时，所以12.(2009 山东 ) 等比数列 na的前 n 项和为nS， 已知对任意的nN，点( ,)nn S， 均在函数(0 xybr b且1, ,bb r均为常数 ) 的图像上 . （1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记1()4nnnbnNa求数列nb的前n项和nT解 : 因 为 对 任 意 的nN, 点( ,)nn S，

28、 均 在 函 数(0 xybr b且1, ,bb r均 为 常 数 ) 的 图 像 上 . 所 以 得nnSbr, 当1n时 ,11aSbr, 当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb, 又因为 na为等比数列 , 所以1r, 公比为b, 所以1(1)nnabb（2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb, 111114422nnnnnnnba则234123412222nnnTL3451212341222222nnnnnTL相减 , 得23451212111112222222nnnnTL31211(1)112212212nnn12311422nnn所以1131133

29、22222nnnnnnT精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页13 13 （2010、山东）（本小题满分12 分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前 n 项和为nS（）求na及nS；（）令bn=211na(nN*)，求数列nb的前 n 项和nT【解析】（）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n +2n。（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1

30、（114 n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+-)4223nn+1L=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前 n 项和nT=n4(n+1)。14 （2009?湖北）已知数列an是一个公差大于0 的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16 （1）求数列 an的通项公式；（2）数列 an 和数列 bn满足等式an=（nN*） ，求数列 bn的前 n 项和 Sn分析： （1）设等差数列 an 的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16 联立方程求得d和 a1进而根据等差数列通项公式求得an（2）令 cn=， 则有 an=c1+c2+

31、+cn，an+1=c1+c2+ +cn+1两式相减得cn+1等于常数 2，进而可得 bn， 进而根据b1=2a1求得 b1则数列 bn通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1解答： 解： （1）设等差数列an的公差为d，则依题意可知d0 由 a2+a7=16，得 2a1+7d=16由 a2a6=55，得（ a1+2d） （a1+5d）=55由联立方程求得得 d=2，a1=1 或 d=2，a1=（排除）an=1+（ n1）?2=2n1 （2）令 cn=，则有 an=c1+c2+ +cnan+1=c1+c2+ +cn+1两式相减得精选学习资料 - - - - - - -

32、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页14 an+1an=cn+1，由（ 1）得 a1=1，an+1an=2 cn+1=2，即 cn=2（ n 2） ，即当 n 2 时，bn=2n+1，又当 n=1 时， b1=2a1=2 bn=于是 Sn=b1+b2+b3+ +bn=2+23+24+ 2n+1=2n+26 点评： 本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质考查了对数列问题的综合把握15 （2009?北京）设数列an 的通项公式为an=pn+q（nN*，P0） 数列 bn 定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an m 成立的所有n 中的最小值（）若，求

33、b3；（）若 p=2，q= 1，求数列 bm的前 2m 项和公式；解答： 解： （）由题意，得，解，得成立的所有n 中的最小正整数为7，即 b3=7（）由题意，得an=2n1，对于正整数m，由 an m，得根据 bm的定义可知当 m=2k1 时， bm=k（kN*） ；当 m=2k 时， bm=k+1（kN*） b1+b2+b2m= （ b1+b3+b2m1） + （b2+b4+b2m） = （1+2+3+m ） +2+3+4+（m+1） =16 （2008?浙江）已知数列xn的首项 x1=3，通项 xn=2np+np（nN* ，p，q 为常数），且成等差数列求：（）p，q 的值；（）数列 x

34、n前 n 项和 Sn的公式分析： （ ）根据 x1=3，求得 p，q 的关系，进而根据通项xn=2np+np（nN* ，p，q 为常数），且成等差数列建立关于 p 的方求得p，进而求得q（）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案解答： 解： （）x1=3，2p+q=3，又 x4=24p+4q，x5=25p+5q，且 x1+x3=2x4，3+25p+5q=25p+8q，联立 求得 p=1， q=1 （）由（ 1）可知 xn=2n+n Sn=（2+22+ +2n）+（1+2+ +n）=点评： 本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力精选学习资料 -

35、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页15 17 （2008?四川）设数列an 的前 n 项和为 Sn=2an 2n，（）求 a1，a4（）证明： an+12an 是等比数列；（）求 an 的通项公式考点 ：等比关系的确定；等比数列的通项公式；数列递推式。专题 ：计算题；证明题。分析： （）令 n=1 得到 s1=a1=2 并推出 an，令 n=2 求出 a2，s2得到 a3推出 a4即可；（）由已知得an+12an=（Sn+2n+1）（ Sn+2n）=2n+12n=2n即为等比数列；（）an=（an 2an1）+2（an12an2

36、）+2n2（a22a1）+2n1a1=（ n+1）?2n1即可解答： 解： （）因为 a1=S1，2a1=S1+2，所以 a1=2，S1=2 由 2an=Sn+2n知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1得 an+1=sn+2n+1所以 a2=S1+22=2+22=6， S2=8a3=S2+23=8+23=16，S2=24a4=S3+24=40 （）由题设和 式知 an+1 2an=（Sn+2n+1）（ Sn+2n）=2n+1 2n=2n所以 an+12an是首项为2，公比为2 的等比数列（）an=（an 2an1）+2（an12an2）+2n2（a22a1）+2n1a1=

37、（ n+1）?2n1点评： 此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等，同时考查学生掌握数列的递推式以及等比数列的通项公式的能力18 （2008?四川）在数列an 中， a1=1，（）求 an 的通项公式；（）令，求数列 bn的前 n 项和 Sn；（）求数列 an的前 n 项和 Tn考点 ：数列递推式；数列的求和。专题 ：计算题。分析： （）由题设条件得，由此可知（）由题设条件知，再由错位相减得，由此可知（）由得由此可知Tn=2Sn+2a12an+1=解答： 解： （）由条件得，又 n=1 时，故数列构成首项为1，公式为的等比数列从而，即精选学习资料 - - - - -

38、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页16 （）由得，两式相减得：，所以（）由得所以 Tn=2Sn+2a12an+1=点评： 本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答19 （2008?陕西）已知数列an的首项， n=1， 2，3， （）证明：数列是等比数列；（）求数列的前 n 项和 Sn考点 ：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。专题 ：计算题。分析： （1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列（2）根据（ 1）求出数列的递推公式，得出an，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前 n 项和 Sn解答： 解： （）由已知：，

39、（2 分），又， （4 分）数列是以为首项，为公比的等比数列 （6 分）（）由（ ）知，即， （8 分）设，则， 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页17 由 得：， （10 分）又 1+2+3+ （12 分）数列的前 n 项和： （14 分）点评： 此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n 项和的方法20. (2010 、天津 )（本小题满分14 分）在数列na中，10a，且对任意*kNkN，21221,kkkaaa成等差数列，其公差为kd。( ) 若kd=2k，证明21222,kkkaaa成等比数

40、列（*kN） ；( ) 若对任意*kN，21222,kkkaaa成等比数列，其公比为kq. 设1q1. 证明11kq是等差数列；【解析】（）证明：由题设，可得*4 ,2121aak kNkk。所以131()().()2121212123aaaaaaaakkkkk=44(1).4 1kk=2k(k+1) 由1a=0，得222 (1),22,2(1) .2122122ak kaakkakkkkk从而于是1121222221,221212aaaakkkkkkakakaakkkk所以。所以*2,22122kdkkNaaakkk时，对任意成等比数列。（ ） 证 法 一 ： （ i ） 证 明 ： 由2,

41、2121kaaakk成 等 差 数 列 ， 及,22122aaakkk成 等 比 数 列 ， 得212112,222121221kaakkaaaqkkkaaqkkk当1q1 时，可知kq1，k*N从而111111,1(2)1111111211kqqqqkkkkqk即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页18 所以11qk是等差数列，公差为1。21. （2009 全国卷理）设数列na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I ）设12nnnbaa，证明数列nb是等比数列（II ）求数列na的通项公式。解： （I

42、）由11,a及142nnSa，有12142,aaa21121325,23aabaa由142nnSa， 则当2n时，有142nnSa 得111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa又12nnnbaaQ，12nnbbnb是首项13b，公比为的等比数列（II ）由（ I ）可得1123 2nnnnbaa，113224nnnnaa数列2nna是首项为12，公差为34的等比数列1331(1)22444nnann，2(31) 2nnan 10分22. （2008 四川卷） 设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（）求na的通项公式解由题意知1

43、2a，且21nnnbabS11121nnnbabS两式相减得1121nnnnb aaba即12nnnaba（）当2b时，由知122nnnaa于是11 22212nnnnnanan122nnan又111 210na，所以12nnan是首项为1，公比为2 的等比数列。（）当2b时，由（）知1122nnnan，即11 2nnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页19 当2b时，由由得1111122222nnnnnababb22nnbbab122nnb ab因此11112222nnnnab abb2 12nbbb得121

44、122222nnnnab bnb23. （2005 北京）数列 an 的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求（I ）a2，a3，a4的值及数列 an 的通项公式；（II ）2462naaaaL的值 . 解： （I ）由a1=1，113nnaS，n=1，2， 3，得211111333aSa，3212114()339aSaa，431231116()3327aSaaa，由1111()33nnnnnaaSSa（n2） ，得143nnaa（n 2） ，又a2=31，所以an=21 4()3 3n(n 2), 数列 an的通项公式为2111 4( )23 3nnnan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页