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1、精品_精品资料_第 9 章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续31、 n 维空间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nR2 为二元数组 x, y 的全体,称为二维空间.R 为三元数组x, y, z的全体,称为三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_维空间.R为 n 元数组x1, x2 , xn 的全体,称为 n维空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 维空间中两点P x1, x2, xn ,Q y1, y2 , yn间的距离：可编辑资料 - -
2、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PQ | yx 2 yx 2 yx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_邻域 :设P0 是 R的一个点,是某一正数, 与点P0 距离小于的点 P 的全体称为点P0 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_邻域,记为U P0, ,即 U P0, PRn | PP |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0空 心 邻 域 :P0
3、的邻 域 去 掉 中 心 点P0 就 成 为P0 的空 心 邻 域 , 记 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nU P0 ,= P0| PP0 | .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_内点与边界点 ： 设 E 为 n 维空间中的点集,PR是一个点.假如存在点P 的某个邻域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_U P, ,使得 U P,E ,就称点 P 为集合 E 的内点.假如点 P 的任何邻域内都既有可编辑资料
4、- - - 欢迎下载精品_精品资料_属于 E 的点又有不属于 E 的点,就称 P 为集合 E 的边界点 ,E 的边界点的全体称为E 的边界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_聚点 ：设 E 为 n 维空间中的点集,PR n 是一个点. 假如点 P 的任何空心邻域内都包含E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的无穷多个点,就称P 为集合 E 的聚点.开集与闭集 :如点集 E 的点都是内点,就称E 是开集 . 设点集ER n , 假如 E 的补集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R n E 是开集,就称 E 为
5、闭集 .区域与闭区域 ：设 D 为开集,假如对于 D 内任意两点,都可以用 D 内的折线（其上的点都属于 D ）连接起来 , 就称开集 D 是连通 的连通的开集称为 区域 或开区域 开区域与其边界的并集称为 闭区域 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有界集与无界集 :对于点集 E ,如存在 M0 ,使得EU O, M ,即 E 中全部点到原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点的距离都不超过M ,就称点集 E 为有界集,否就称为无界集 假如 D 是区域而且有界,就称D 为有界区域 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有界闭区域的直径 ： 设 D 是二、多元
6、函数R n 中的有界闭区域,就称d Dmax |P1 ,P2 DP1P2| 为 D 的直径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 元函数就是R n 的一个子集 D 到 R 的一个函数,即对任意的PD ,都存在唯独的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yR ,使得yf P .习惯上,我们用yf x 表示一元函数,用 zf x,y 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二元函数, 用 wf表示 n 元函数 三、多元函
7、数的极限 x, y, z 表示三元函数 .一般用yf P, PR n 或y f x1, x2, xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设多元函数 zf P在 D 有定义,P0是 D 的一个聚点, A 为常数.假如对任意给定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的0 ,都存在0 ,当 PD0U P0, 时,有f PA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 称 A 为 P 趋 于P0 时 函 数 zf P在 D 上 的
8、 极 限 , 记 为limPP0f PA或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f PA,PP0 .四、多元函数的连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设多元函数zf P在 D 有定义,P0 是 D 的一个聚点.假如limPP0f Pf P0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就称 zf P在 P0 点连续. 假如 zf P 在区域 D 上各点都连续, 就称 zf P在 D 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连续假如函数 zf P在 点 P0
9、 处不连续, 就称函数 zf P 在点P0 处间断 ,也称P0 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 zf x, y的间断点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设二元函数 zf x, y, P0 x0 , y0 为平面上一点.假如zf x, y0 在x0 的某一邻可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_域内有定义且在x0 点可导,即极限limzx0xlimx0f x0x, y0 xf x0 , y0可编
10、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在 , 就称 zf x, y 在点P0 x0 , y0 处对 x 可偏导, 称此极限值为函数 zf x, y 在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P x , y 处对 x 的偏导数 ,记为z,f, z或 f x, y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_000x x 0, y 0 x x 0 , y0 x x 0, y0 x00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、 高阶偏导数2 z2 ff2z2 ff22f x
11、x,fxy,xxxxx yx yyx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2z2 ff2z2 ff可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f yx,22f yy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y xy xxyyyyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数 zf x, y的两个二阶混合偏导数fxy ,f yx 都在平面区域D 内连续,那么这两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个二阶混合偏导数在D 内相等.七、全微分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 zf x, y 在点P0 x0, y0的某一邻域内有定义,A,
12、 B 为常数.假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zA xByo ,其中x 2y2, 就称函数zf x, y 在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P0 x0, y0 可微分（简称可微） ,称 AxBy 为函数 zf x, y在点 P0 x0, y0 的全微分,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记作 dz ,即 dzAxB y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可微的必要条件： 函数 zf x, y 在点P0 x0, y0 可微 , 就1f x
13、, y 在点P0 x0, y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_处连续. 2f x,y 在点P0 x0, y0 处偏导数存在 , 且 dzf x x0, y0 dxf y x0 , y0 dy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可微的充分条件：函数 zf x, y 在点P0 x0, y0 的某个邻域内可偏导,且偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx x, y,f y x, y 在点P0 x0, y0
14、连续,就 zf x, y 在点P0 x0 , y0 可微.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八、多元复合函数的求导法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_链式法就： zf u, v , uu x, y, vv x, y, zfufv,xuxvx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zfuyuyfv .vy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一阶全微分的形式不变性：z f u, v , uu x,y, vv x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
15、精品资料_dzz dxz dy,dzz duz dvxyuv九、隐函数及其求导法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 F x, y满意： 1F x, y在 x0 , y0某邻域内可偏导 , 且 Fx x, y,Fy x, y连续,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2F x0 , y0 0 ,3Fy x0, y0 0 .就1存在x0 的某个邻域, 在此邻域内存在唯独确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定的一元函数 yf x满意称函数 yf x 称为由方程F x
16、, y0 所确定的隐函数,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dyyf x具有连续导数,f xFx x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxFy x, y0000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n如 F x1 , x2, xn , y 满意： 1F x1, x2 , xn , y 在点 x1 , x2 , xn , y 的某个 n+1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112ny12n维邻域内可偏导 , 且 Fx x1, x2, xn, y, Fxx1, x2, xn, y, Fy x
17、1, x2, xn, y 连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2F x0, x0, x0, y00 , 3F x0 , x0, x0 , y0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就1 存在点 x0 , x 0 , x 0 的某个 n 维邻域 , 在此邻域内存在唯独的n 元函数,且函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x1, x2 , xn i在该邻域内具有连续偏导数, yxFxi,i1, 2
18、,Fn,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y十、空间曲线的切线与法平面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间曲线的参数方程为x xty yt ,z ztM 0 xt0 ,yt0 , zt0 为曲线上一点.假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t0 , y t0, z t0 不全为 0,就在点xx0M 0处的切线的方程为：y y0z z0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x t 0 y t 0 z t0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点 M 0 处的法平面方程为：
19、xx0 x t0 yy0 y t0 zz0 z t0 0 .十一、空间曲面的切平面与法线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲面：F x, y, z0 在点处M 0 的法线方程为：xx0 Fx M 0y y0 Fy M 0 z z0 Fz M 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在点处M 0 的法线方程为：xx0 Fx M 0 y y0 Fy M 0 z z0 Fz M 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十二、无条件极值极值存在的必要条件： 函数 zf x
20、, y 在点P0 x0, y0 处取得极值 , 且在该点处函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的偏导数都存在 , 就 zf x, y在 P0 x0 , y0 点处的一阶偏导数为零, 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x x0 , y0 0,f y x0, y00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极值存在的充分条件：函数 zf x, y 在点P0 x0, y0 的某邻域内有一阶及二阶连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_偏 导 数 , 且
21、fx x0 , y0f y x0 , y0 0 . 令f xx x0, y0A , f xy x0, y0B ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fyy x0 , y0C ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当 ACB 20 时 ,f x , y 是 函 数 zf x, y的 极 值 , 其 中 当 A0 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0, y0 为极大值,当 A0 时 f x0, y0为微小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(2) 当 ACB0 时,f x , y 不是极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00十三、条件极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 zf x, y（称为 目标函数 ）在条件i x, y0,i1,2, k 下极值问题转化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求帮助函数L x, y,1,k f x, ykii x, y 的无条件极值的问题.i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载