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1、精品名师归纳总结第 1 章 函数与极限总结1、极限的概念（ 1）数列极限的定义给定数列 xn ,如存在常数 a ,对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数N使得对于 n N 时的一切 n恒有|xn a|就 称 a是 数 列 xn 的 极 限或 者 称 数 列 xn 收 敛 于 a记 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xnna 或 xna n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）函数极限的定义设函数 fx在点 x0 的某一去心邻域内 （或当 xM0 ）有定义, 假如存在常数 A对可编辑资料 - - - 欢迎
2、下载精品名师归纳总结于任意给定的正数不论它多么小 总存在正数（或存在X） 使得当 x 满意不等式0|x x0|时 （或当 xX 时） 恒有 |fx A|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么常数 A 就叫做函数 f x 当xx0 （或 x）时的极限记为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xA 或 fxA当 xx0 （ 或 limf xA ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类似的有：假如存在常数A 对0,0, 当 x : x 0xx0 （ x
3、0xx0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时 ,恒有f x A, 就称 A 为f x 当xx0时的 左极限（ 或右极限 ）记 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxx0f xA或limxx0f x A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显有limxx 0f x Alimxx0f xlimxx 0f x A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假
4、如存在常数A 对0,X0, 当xX 或xX 时,恒有f xA,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 A 为 f x 当 x（或当 x）时的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 limf xA或 limf xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显有 limf xAlimf xlimf xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxx2、极限的性质（1）唯独性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 lim xnna , lim xn nb ,就 ab可编辑资料 - - -
5、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 limfx xx0 x Alimx xx0 f xB ,就 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）有界性（ i）如lim xna ,就 M0 使得对nN , 恒有 xnM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）如limxx 0f xA ,就 M0 当 x : 0xx0时,有f xM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑
6、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ iii ）如 limxf xA ,就 M0, X0 当 xX 时,有f xM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）局部保号性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ i）如lim xnna 且 a0或a0 就NN,当 nN 时,恒有 xn0或xn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）如limxx 0f xA ,且 A0或 A0 ,就0 当x : 0xx0时,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 0或f x 0可编辑资料 - - -
7、 欢迎下载精品名师归纳总结3、极限存在的准就（ i）夹逼准就给定数列 x n ,yn ,zn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 n0N, 当 nn0 时有 ynx nzn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lim ynlim zna ,nn就 lim xnan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结给定函数f x , g x , h x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如当0xU x0 ,r （或 xX ）时,有g x f x h x 可编辑
8、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limxg xlimxh xA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx 0 xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 limx xx 0 f xA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ii ）单调有界准就给 定 数 列 xn , 如 对nN有 xnx n 1 或x nxn 1 M m 使 对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nN有 x nM 或x nm 就 limnxn 存在可编辑资料 - -
9、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 f x 在点存在x0 的左侧邻域 （或右侧邻域） 单调有界, 就limxx0f x （或limxx0f x ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、极限的运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 如limx xx 0 f xA , limx xx0 g xB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就ilim fx xx 0 x g xAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iilim x xx0 f xg x A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
10、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结iiilimf x A（ B0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x xx 0 g xB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 设（ i） ug x且 limxx0g xu0 （ ii ）当0xU x0 ,时 g xu 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ iii ）limuu0f uA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 limxx 0f
11、 g x limuu0f uA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、两个重要极限sin x（ 1）lim1sin u xlim1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xu x 0u x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limsin x0 , limx sin 11 , limx sin 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxxx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x（ 2） lim11xxelim1u x 1u x u x e ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
12、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1lim1x xelim1v x 1v xe ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0v x06、无穷小量与无穷大量的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如lim x0x xx 0 , 即 对0,0, 当x : 0xx 0（ 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xX ）时有 x ,就称当xx0 或x, x 无穷小量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如limx xx0 f
13、x即对M0,0或X0, 当x : 0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 xX ）时有f xM 就称当xx0或x, f x 无穷大量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）limxf xAf xA x , 其中 lim x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx0 xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）limf x0（ f x0）lim1可编辑资料 - - - 欢
14、迎下载精品名师归纳总结xx xx0 xx 0 f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） （3）limg xlim10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx xx0 xx 0 g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） limx xx 0 f x且 M0, 当x : 0xx0（或 xX ）时有g x M ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 lim x xx 0 f xg x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）
15、limx xx0 f x0且 M0, 当x : 0xx0（或 xX ）时有g x M ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 lim x xx 0 f xg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6）limxf k x0k1,2,L, n 就nlimxk 1f k x0,nlimxk 1f k x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx0 8、无穷小量的比较 xx 0 xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxf x0, limxg x0, lim x0x可编辑资料 - - -
16、 欢迎下载精品名师归纳总结 xx 0 xx 0 xx 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1）limf xC0, ,就称当xx 0或x 时,f x 与g x 是同阶无穷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x xx 0 小。g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）limxf xg x1 ,就称当xx0或x 时,f x 与g x 是等价无穷小,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x :g x （xx0 或x ）。可编辑资
17、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3）limxf x g x0 ,就称当xx0或x 时,f x 是g x 是高阶无穷小,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x o g x （xx0或x ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4 ） M00xU x0 ,（或xX ）,有f xM ,就记f x O g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x （ xx0 或x ）可编辑资料 - -
18、 - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）limf xC0k0 ,就称当xx 或x 时,f x 是 x 是 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x xx0 阶无穷小, x k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9、常用的等价无穷小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0 时,有（ 1） sin x x arcsinx tanx arctanx ln1x ex1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）1cos x 12xx . （ 3） a21 x lna0a1, （ 4） 1x 1 x可编辑
19、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10、函数连续的概念（1） 函数连续的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 yf x 在点x0 及其邻域U x 内有定义,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（i ）limylimf x0xf x0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或（ ii ）limxx0f xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
20、品名师归纳总结或（ iii ）0,0,当 x :x x 0时,有f xf x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称函数y f x 在点x0 处连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 yf x 在点 x0, x0 内有定义, 如limxx 0f xf x0 ,就称函数yf x 在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 处左连续,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 yf x 在点 x0 , x0 内有定义, 如limxx 0f xf x0
21、 ,就称函数yf x 在点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 处右连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数yf x 在 a,b 内每点都连续,就称函数yf x 在 a,b 内连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数yf x 在 a,b 内每点都连续, 且 limxaf xf a , limxbf xf b ,就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 在 a, b 上连续,记作f xCa, b可编辑资料 - - - 欢迎下
22、载精品名师归纳总结（2） 函数的间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 yf x 在点x0 的某去心邻域oU x 内有定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数yf x ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ i）在点x0 处没有定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）虽然在x0 有定义但 limf x不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 虽然在xx 0x0 有
23、定义且 limfx存在 但 limfx fx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就函数 fx 在点x 0为不连续而点x0 称为函数 fx的不连续点或间断点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 x0 为yf x 的间断点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1 ）limxx0f x limxx 0f x f x0 ,就称点x0 为yf x 的可去间断点,如（2 ）可编辑资料 - - - 欢迎
24、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limxx0f xlimxx 0f x ,就称点x0 为yf x 的跳动间断点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可去间断点与跳动间断点统称为第一类间断点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） （3）limxx 0f x或 limxx 0f x就称点x0 为yf x 的无穷型间断点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 如limxx0f x 或limxx0f x 不存在且都不是无穷大,就称点x0 为yf x的振荡型可编辑资料 - -
25、 - 欢迎下载精品名师归纳总结间断点,无穷间断点和振荡间断点统称为其次类间断点11、连续函数的运算（1） 连续函数的四就运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数f xg x 在点x0 处连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 f x g x ,f x g x ,f x g x00 在点x0处也连续可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g x （2） 反函数的连续性,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数yf x 在区间I x 上单调增加 （或单调削减） 且连续, 就其反函数x f1 y
26、在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其对应的区间I y y yf x , xI x 上也单调增加（或单调削减）且连续。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 复合函数的连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数y f g x 由函数yf u , ug x 复合而成,U x0D f og ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如（ 1）limxx0g xu0 或limxx 0g xg x 0 u0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
27、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）limuu0f uf u0 就limxx0f g x f limxx0g x f u0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（或 limxx 0f g x f limxx0g x f g x0 f u0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5） 闭区间上连续函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ i）有界性如f x C a,b ,就yf x 在 a, b 上有界可编辑资料 - -
28、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii ）最大值、最小值定理,如f xCa,b ,就yf x 在 a,b 上肯定有最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和最小值（ iii ）零点性如f x Ca,b ,且f a fb0就至少存在一点 a, b 使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（iv ）介值性如f x C a, b ,且f af b ,是介于f a,f b 之间的任一值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就至少存在一点a, b 使得 f 可编辑资料 - - - 欢迎下载