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1、第 9 章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续1、n维空间2R为二元数组),(yx的全体，称为二维空间。3R为三元数组),(zyx的全体，称为三维空间。nR为n元数组),(21nxxx的全体，称为n维空间。n维空间中两点1212(,),(,)nnP x xxQ yyy间的距离：2221122|()()()nnPQyxyxyx邻域:设0P是nR的一个点，是某一正数，与点0P距离小于的点P的全体称为点0P的邻域，记为),(0PU，即00(,)R|nU PPPP空 心 邻 域:0P的邻 域 去 掉 中 心 点0P就 成 为0P的空 心 邻 域,记 为0(,)U P=00|PPP。内点与
2、边界点：设E为n维空间中的点集，nPR是一个点。如果存在点P的某个邻域),(PU，使得EPU),(，则称点P为集合E的内点。如果点P的任何邻域内都既有属于E的点又有不属于E的点，则称P为集合E的边界点,E的边界点的全体称为E的边界聚点：设E为n维空间中的点集，nPR是一个点。如果点P的任何空心邻域内都包含E中的无穷多个点，则称P为集合E的聚点。开集与闭集:若点集E的点都是内点，则称E是开集。设点集nER,如果E的补集nER是开集，则称E为闭集。区域与闭区域：设D为开集，如果对于D内任意两点，都可以用D内的折线（其上的点都属于D）连接起来,则称开集D是连通 的连通的开集称为区域 或开区域 开区域
3、与其边界的并集称为 闭区域 有界集与无界集:对于点集E，若存在0M，使得(,)EU O M，即E中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E为有界集，否则称为无界集如果D是区域而且有界，则称D为有界区域 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -有界闭区域的直径：设D是nR中的有界闭区域，则称1212,()max|P PDd DPP为D的直径。二、多元函数n元函数就是nR的一个子集D到R的一个函数，即对任意的PD，都存在唯一的yR，使得()yf P。习惯上，我们用()yf x表示一元函数，用),(yxfz表示二元函数，用(,)wfx y z表示三元函数.一般用(),
4、Rnyf PP或12(,)nyf x xx表示n元函数三、多元函数的极限设多元函数)(Pfz在D有定义，0P是D的一个聚点，A为常数。如果对任意给定的0，都存在0，当00(,)PDPU时，有()f PA则 称A为P趋 于0P时 函 数)(Pfz在D上 的 极 限，记 为0PPlim(P)fA或0(P),(PP)fA。四、多元函数的连续性设多元函数)(Pfz在D有定义，0P是D的一个聚点。如果00PPlim(P)(P)ff，则称)(Pfz在0P点连续。如果)(Pfz在区域D上各点都连续，就称)(Pfz在D上连续如果函数)(Pfz在 点0P处不连续，则称函数)(Pfz在点0P处间断,也称0P是函数
5、),(yxfz的间断点。五、偏导数设二元函数),(yxfz，),(000yxP为平面上一点。如果0(,)zf x y在0 x的某一邻域内有定义且在0 x点可导，即极限000000(,)(,)limlimxxf xx yf xyzxx存在,则称),(yxfz在点),(000yxP处对x可偏导，称此极限值为函数),(yxfz在点),(000yxP处对x的偏导数，记为000000(,)(,)(,),xxyxyxyzfzxx或00(,)xfxy六、高阶偏导数2222xxzfffxxxx，22xyzfffx yx yyx，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -22yxz
6、fffy xy xxy，2222yyzfffyyyy如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数,xyyxff都在平面区域D 内连续，那么这两个二阶混合偏导数在D 内相等。七、全微分设函数),(yxfz在点000(,)P xy的某一邻域内有定义，,A B为常数。如果()zA xB yo，其中22()()xy，则称函数),(yxfz在点000(,)P xy可微分（简称可微），称A xBy为函数),(yxfz在点000(,)P xy的全微分，记作dz，即dzA xB y可微的必要条件：函数),(yxfz在点000(,)P xy可微,则(1),(yxf在点000(,)P xy处连续。(2),(yxf在
7、点000(,)P xy处偏导数存在,且zd00(,)dxfxyx00(,)dyfxyy。可微的充分条件：函数),(yxfz在点000(,)P xy的某个邻域内可偏导，且偏导数(,),(,)xyfx yfx y在点000(,)P xy连续，则),(yxfz在点000(,)P xy可微。八、多元复合函数的求导法则链式法则：),(vufz，),(),(yxvvyxuu，zfufvxuxvx，yvvfyuufyz。一阶全微分的形式不变性：),(vufz，),(),(yxvvyxuu,zzzzdzdxdydzdudvxyuv九、隐函数及其求导法若),(yxF满足：(1),(yxF在),(00yx某邻域内
8、可偏导,且(,),xFx y(,)yFx y连续，(2)00(,)0F xy，(3)00(,)0yFxy。则(1)存在0 x的某个邻域，在此邻域内存在唯一确定的一元函数)(xfy满足称函数)(xfy称为由方程0),(yxF所确定的隐函数，且名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -)(xfy具有连续导数，(,)d()d(,)xyF x yyfxxFx y若12(,)nF x xxy满足：(1),(21yxxxFn在点),(000201yxxxn的某个(n+1)维邻域内可偏导,且1121212(,),(,),(,)nxnxnynFx xxyFx xxyF x xxy
9、连续。(2)000012(,)0nF xxxy，(3)000012(,)0ynFxxxy则(1)存在点),(00201nxxx的某个n 维邻域,在此邻域内存在唯一的n 元函数，且函数),(21nxxxfy在该邻域内具有连续偏导数,iixxyFyF1,2,in。十、空间曲线的切线与法平面空间曲线的参数方程为)()()(tzztyytxx，)(),(),(0000tztytxM为曲线上一点。如果000(),(),()x ty tz t不全为 0，则在点0M处的切线的方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx，在点0M处的法平面方程为：000000()()()()()()0 xx x
10、tyyy tzzz t。十一、空间曲面的切平面与法线曲面：0),(zyxF在点处0M的法线方程为：000000()()()xyzxxyyzzF MFMF M在点处0M的法线方程为：000000()()()xyzxxyyzzF MFMFM十二、无条件极值极值存在的必要条件：函数),(yxfz在点),(000yxP处取得极值,且在该点处函数的偏导数都存在,则),(yxfz在),(000yxP点处的一阶偏导数为零,即0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy极值存在的充分条件：函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内有一阶及二阶连续偏 导 数，且0000(,)(,)0 xyfxyfxy。
11、令00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -(1)当02BAC时，00(,)f xy是 函 数),(yxfz的 极 值，其 中 当0A时00(,)f xy为极大值，当0A时00(,)f xy为极小值。(2)当02BAC时，00(,)f xy不是极值。十三、条件极值函数),(yxfz（称为 目标函数）在条件(,)0,1,2,ix yik下极值问题转化为求辅助函数11(,)(,)(,)kkiiiL x yf x yx y的无条件极值的问题。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -