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1、-第 1 章 函数与极限总结 1、极限的概念 (）数列极限的定义 给定数列xn，若存在常数 a，对于任意给定的正数 不论它多么小，总存在正整数 N，使得对于 n N 时的一切 n 恒有|x 则称 a 是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于 a 记为 axnnlim或 xn()(2)函数极限的定义 设函数 f（)在点 x0的某一去心邻域内（或当0 xM)有定义,如果存在常数 A 对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数（或存在 X）使得当满足不等式0|x0|时，或当xX时）恒有|f()A 那么常数就叫做函数 f()当0 xx（或x)时的极限，记为 Axfxx)(lim0或 f(x）A(当
2、x)（或lim()xf xA)类似的有：如果存在常数 A对0,0,当00:x xxx(00 xxx）时,恒 有()f xA，则 称A为()f x当0 xx时 的 左 极 限(或 右 极 限）记 作00lim()(lim()xxxxf xAf xA或 显然有000lim()lim()lim()xxxxxxf xAf xf xA 如果存在常数 A对0,0,X当()xXxX 或时，恒有()f xA，则称A为()f x当x（或当x)时的极限 记作lim()(lim()xxf xAf xA或 显然有lim()lim()lim()xxxf xAf xf xA、极限的性质(）唯一性 若axnnlim,lim
3、nnxb，则ab 若0()lim()xxxf xA0()lim()xxxf xB，则AB ()有界性(i)若axnnlim，则0M使得对,n N 恒有nxM-（i)若0lim()xxf xA，则0M当0:0 xxx时,有()f xM(ii）若lim()xf xA,则0,0MX当xX时,有()f xM(3)局部保号性(i）若axnnlim且0(0)aa或则NN,当nN时,恒有0(0)nnxx或(ii）若0lim()xxf xA，且0(0)AA或,则0当0:0 xxx时,有 ()0()0)f xf x或、极限存在的准则(i）夹逼准则 给定数列,nnnxyz 若0,nN当0nn时有nnnyxz li
4、mlimnnnnyza，则limnnxa 给定函数(),(),()f xg x h x，若当00(,)xU x r(或xX)时，有()()()g xf xh x 00()()lim()lim()xxxxxxg xh xA，则0()lim()xxxf xA(i)单调有界准则 给 定数 列nx,若对nN有11()nnnnxxxx或()M m使 对nN有()nnxMxm或则limnnx存在 若()f x在点0 x的左侧邻域(或右侧邻域)单调有界,则0lim()xxf x（或0lim()xxf x)存在 4、极限的运算法则（1)若0()lim()xxxf xA，0()lim()xxxg xB 则(i)
5、0()lim ()()xxxf xg xAB（ii)0()lim ()()xxxf xg xA B-(ii）0()()lim()xxxf xAg xB(0B)(2)设（）00()lim()xxug xg xu且(ii）当00(,)xU x时0()g xu（iii）0lim()uuf uA 则00lim()lim()xxuuf g xf uA 5、两个重要极限（)0sinlim1xxx()0sin()lim1()u xu xu x sinlim0 xxx,1limsin1xxx,01limsin0 xxx（2）1lim 1xxex)()(1lim1;()xuuxeu x 10lim(1)xxxe
6、()01()lim1();vxxvv xe 6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim()0 xxxx，即 对0,0,当0:0 xxx(或xX）时有()x,则称当0()()xxxx 或，无穷小量（2）若0()lim()xxxf x 即对0,0(0),MX或当0:0 xxx(或xX）时 有()f xM则 称 当0()()xxxf x 或，无穷大量、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则(1）00()()lim()()(),lim()0 xxxxxxf xAf xAxx其中(2)00()()1lim()0()0lim()xxxxxxf xf xf x（）(3)00()()1
7、lim()lim0()xxxxxxg xg x (4）0()lim()0,xxxf xM 且当0:0 xxx（或xX）时有()g xM,则-0()lim ()()xxxf xg x （5)0()lim()00,xxxf xM且当0:0 xxx（或xX)时有()g xM,则0()lim ()()0 xxxf xg x（6）0()lim()0(1,2,)kxxxfxkn则01()lim()0,nkxkxxfx01()lim()0,nkxkxxfx 8、无穷小量的比较 000()()()lim()0,lim()0,lim()0 xxxxxxxxxf xg xx 若（1）0()()lim0,()xxx
8、f xCg x,则称当0()xxx 或时,()f x与()g x是同阶无穷小。(2）0()()lim1()xxxf xg x,则称当0()xxx 或时,()f x与()g x是等价无穷小,记作()()f xg x(0()xxx 或)。(3)0()()lim0()xxxf xg x，则称当0()xxx 或时,()f x是()g x是高阶无穷小，记作()()f xo g x(0()xxx 或)。(4）0M00(,)xU x（或xX），有()()f xMg x,则 记()()f xO g x（0()xxx 或)(）0()()lim0(0)()kxxxf xCkx,则称当0()xxx 或时,()f x
9、是()x是阶无穷小，9、常用的等价无穷小 当0 x 时，有(1）sin arcsin tan arctan ln(1)1,xxxxxxxe()211cos.2xx（3)1ln(01),xaxaa(4)(1)1xx 10、函数连续的概念 （1）函数连续的定义 设()yf x在点0 x及其邻域()U x内有定义，若-(i)0000limlim()()0 xxyf xxf x 或（i)00lim()()xxf xf x 或(ii)0,0,当0:xxx时，有0()().f xf x 则称函数()yf x在点0 x处连续 设()yf x在点00(,xx内有定义，若00lim()()xxf xf x，则称
10、函数()yf x在点0 x处左连续,设()yf x在点00,)xx内有定义,若00lim()()xxf xf x，则称函数()yf x在点0 x处右连续 若函数()yf x在(,)a b内每点都连续,则称函数()yf x在(,)a b内连续 若函数()yf x在(,)a b内每点都连续,且lim()()xaf xf a，lim()()xbf xf b,则称函数()yf x在,a b上连续,记作(),f xC a b（2）函数的间断点 设()yf x在点0 x的某去心邻域()oU x内有定义 若函数()yf x：(）在点0 x处没有定义 （ii）虽然在0 x有定义 但0limxx(x)不存在 (
11、3)虽然在0 x有定义且0limxxf（x)存在 但0limxxf(x)f(0 x)则函数 f(x)在点0 x为不连续 而点0 x称为函数 f(x)的不连续点或间断点。设点0 x为()yf x的间断点,(1）000lim()lim()()xxxxf xf xf x，则称点0 x为()yf x的可去间断点,若(2）00lim()lim()xxxxf xf x,则称点0 x为()yf x的跳跃间断点，可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点（3)00lim()lim()xxxxf xf x 或则称点0 x为()yf x的无穷型间断点，-(4）若00lim()lim()xxxxf xf x或不存在且
12、都不是无穷大,则称点0 x为()yf x的振荡型间断点，无穷间断点和振荡间断点统称为第二类间断点 1、连续函数的运算（1）连续函数的四则运算 若函数()f x()g x在点0 x处连续 则0()()(),()(),()0)()f xf xg xf xg xg xg x在点0 x处也连续（2）反函数的连续性，若函数()yf x在区间xI上单调增加(或单调减少）且连续，则其反函数1()xfy在其对应的区间(),yxIy yf xxI上也单调增加（或单调减少）且连续。（3）复合函数的连续性 设函数()yf g x由函数(),()yf u ug x复合而成，0()f gU xD,若()00000lim
13、()(lim()()xxxxg xug xg xu或（)00lim()()uuf uf u则000lim()lim()()xxxxf g xfg xf u (或0000lim()lim()()()xxxxf g xfg xf g xf u）（4）初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的（5）闭区间上连续函数的性质 （)有界性 若(),f xC a b,则()yf x在,a b上有界 （i)最大值、最小值定理，若(),f xC a b，则()yf x在,a b上一定有最大值和最小值（ii)零点性 若(),f xC a b，且()()0f a f b 则至少存在一点(,)a b使得()0f（iv)介值性 若(),f xC a b,且()()f af b，是介于(),()f af b之间的任一值，则至少存在一点(,)a b使得()f