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1、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 2015 年中考数学解直角三角形解答题（2）11.（2014十堰15（3 分）如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西50方向匀速航行，1 小时后到达码头 B 处，此时，观测灯塔 C 位于北偏西 25方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是 24 海里（结果精确到个位，参考数据：1.4，1.7，2.4）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：作 BDAC 于点 D，在直角ABD 中，利用三角函数求得 BD 的长，然后在直角BCD 中，利用三角函数即可求得 BC 的长 解答：解：CBA
2、=25+50=75 作 BDAC 于点 D 则CAB=（9070）+（9050）=20+40=60，ABD=30，CBD=7535=45 在直角ABD 中，BD=ABsinCAB=20sin60=20=10 在直角BCD 中，CBD=45，则 BC=BD=10=10102.4=24（海里）故答案是：24 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 点评：本题主要考查了方向角含义，正确求得CBD 以及CAB 的度数是解决本题的关键 12.（2014娄底 22（8 分）如图，有小岛 A 和小岛 B，轮船以 45km/h 的速度由 C 向东航行，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 60，测得 B 的
3、方位角为南偏东 45，轮船航行 2 小时后到达小岛 B 处，在 B 处测得小岛 A 在小岛 B 的正北方向求小岛 A 与小岛 B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：1.41，2.45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：先过点 C 作 CPAB 于 P，根据已知条件求出PCB=PBC=45，CAP=60，再根据轮船的速度和航行的时间求出 BC 的值，在 RtPCB 中，根据勾股定理求出 BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出 AP 的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案 解答：解：过点 C 作 CPAB 于 P，BCF=45，ACE=60，ABEF，PCB=PBC=45
4、，CAP=60，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 轮船的速度是 45km/h，轮船航行 2 小时，BC=90，BC2=BP2+CP2，BP=CP=45，CAP=60，tan60=，AP=15，AB=AP+PB=15+45=152.45+451.41100（km）答：小岛 A 与小岛 B 之间的距离是 100km 点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键 13.（(2014 年河南)19.9 分）在中俄“海上联合 2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300 位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧
5、得潜艇C的俯角为 680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin6800.9,cos6800.4,tan6802.5.1.7)解：过点C作CDAB,交BA的延长线于点D.则AD即为潜艇C的下潜深度 根据题意得 ACD=300，BCD=680 设AD=x.则BDBA十AD=1000 x.在RtACD中，3海平面300680DBACword 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 CD=4 分 在RtBCD中，BD=CDtan688 1000+x=xtan688 7 分 x=潜艇C离开海平面的下潜深度约为 308 米。9 分 14.（2014江苏徐州,第 25 题
6、8 分）如图，轮船从点 A 处出发，先航行至位于点 A 的南偏西 15且点 A 相距 100km 的点 B 处，再航行至位于点 A 的南偏东 75且与点 B 相距 200km的点 C 处（1）求点 C 与点 A 的距离（精确到 1km）；（2）确定点 C 相对于点 A 的方向（参考数据：1.414，1.732）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：（1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可；（2）利用勾股定理的逆定理，判定ABC 为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点 C 相对于点 A 的方向 解答：解：（1）如右图，过点 A 作 ADBC 于点 D 由图得，ABC=751
7、0=60 在 RtABD 中，ABC=60，AB=100，BD=50，AD=50 0 x=3xtantan30ADACD30100010003081.72.5 13tan681word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 CD=BCBD=20050=150 在 RtACD 中，由勾股定理得：AC=100173（km）答：点 C 与点 A 的距离约为 173km （2）在ABC 中，AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，AB2+AC2=BC2，BAC=90，CAF=BACBAF=9015=75 答：点 C 位于点 A 的南偏东 75方向 点评：考查了解直角
8、三角形的应用方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学应用于实际生活的思想 15.（2014江苏盐城,第 23 题 10 分）盐城电视塔是我市标志性建筑之一如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度 AB小明在 D 处用高 1.5m 的测角仪 CD，测得电视塔顶端 A 的仰角为 30，然后向电视塔前进 224m 到达 E 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60求电视塔的高度 AB（取 1.73，结果精确到 0.1m）word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：设 AG=x，分别在 RtAFG 和 RtACG 中，表示出 CG 和 G
9、F 的长度，然后根据 DE=224m，求出 x 的值，继而可求出电视塔的高度 AB 解答：解：设 AG=x，在 RtAFG 中，tanAFG=，FG=，在 RtACG 中，tanACG=，CG=x，x=224，解得：x193.8 则 AB=193.8+1.5=195.3（米）答：电视塔的高度 AB 约为 195.3 米 点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 16.(2014年山东东营,第 22 题 8 分)热气球的探测器显示，从热气球底部 A 处看
10、一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球 A 处与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼有多高（1.732，结果保留小数点后一位）？考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：过 A 作 ADBC，垂足为 D，在直角ABD 与直角ACD 中，根据三角函数即可求得BD 和 CD，即可求解 解答：解：过 A 作 ADBC，垂足为 D 在 RtABD 中，BAD=30，AD=120m，BD=ADtan30=120=40m，在 RtACD 中，CAD=60，AD=120m，CD=ADtan60=120=120m，BC=40=277.12277.1m 答：这栋楼高约为277.1m
11、word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 点评：本题主要考查了仰角与俯角的计算，一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算 17（2014四川遂宁，第 22 题，10 分）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1=1；sin2A2+sin2B2=1；sin2A3+sin2B3=1 （1）观察上述等式，猜想：在RtABC中，C=90，都有sin2A+sin2B=1 （2）如图，在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想 （3）已知：A+B=90，且sinA=，求sinB 考点：勾股定理；互
12、余两角三角函数的关系；解直角三角形 分析：（1）由前面的结论，即可猜想出：在RtABC中，C=90，都有sin2A+sin2B=1（2）在RtABC中，C=90 利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=，进行求解 解答：解：（1）1（2）如图，在RtABC中，C=90 sinA=，sinB=，sin2A+sin2B=，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 ADB=90，BD2+AD2=AB2，sin2A+cos2A=
13、1（3）sinA=，sin2A+sin2B=1，sinB=点评：本题考查了在直角三角形中互为余角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单 18（2014四川泸州，第 22 题，8 分）海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东 30方向上，渔船不改变航向继续向东航行30 海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西 60方向上，求灯塔A、B间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：根据方向角的定义以及锐角三角函数关系得出AN，NC的长进而求出BN即可得出答案 解答：解：
14、如图所示：由题意可得出：FCA=ACN=45，NCB=30，ADE=60，过点A作AFFD，垂足为F，则FAD=60，FAC=FCA=45，ADF=30，AF=FC=AN=NC，设AF=FC=x，word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 tan30=，解得：x=15（+1），tan30=，=，解得：BN=15+5，AB=AN+BN=15（+1）+15+5=30+20，答：灯塔A、B间的距离为（30+20）海里 点评：此题主要考查了方向角以及锐角三角函数关系，得出NC的长是解题关键 19（2014四川内江，第 20 题，9 分）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相
15、关海域进行搜寻 如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点 A 俯角为 30方向的 F 点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）为了便于观察，飞机继续向前飞行了 800 米到达 B 点，此时测得点 F 在点 B 俯角为 45的方向上，请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点 C 时（点 A、B、C 在同一直线上），竖直高度 CF 约为多少米？（结果保留整数，参考数值：1.7）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 分析：易得 BC=CF，那么利用 30的正切值即可求得 CF 长 解答：解：BDC=90，DBC=45，BC=CF，CAF=30，tan
16、30=，解得：CF=400+400400（1.7+1）=1080（米）答：竖直高度 CF 约为 1080 米 点评：此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形注意方程思想与数形结合思想的应用 20（2014四川南充，第 22 题，8 分）马航MH370 失联后，我国政府积极参与搜救某日，我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东 53.50方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向 140 海里处（参考数据：sin36.50.6，cos36.50.8，tan36.50.75）（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的
17、距离；（2）若救助船A、救助船B分别以 40 海里/时，30 海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处 分析：（1）过点P作PEAB于点E，在RtAPE中解出PE即可；（2）在RtBPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断 word 专业资料-可复制编辑-欢迎下载 解：（1）过点P作PEAB于点E，由题意得，PAE=36.5，PBA=45，设PE为x海里，则BE=PE=x海里，AB=140 海里，AE=（140 x）海里，在RtPAE中，即：解得：x=60 海里，可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为 60 海里；（2）在RtPBE中，PE=60 海里，PBE=45，则BP=PE=6084.8 海里，B船需要的时间为：2.83 小时，在RtPAE中，=sinPAE，AP=PEsinPAE=600.6=100 海里，A船需要的时间为：10040=2.5，2.832.5，A船先到达 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般