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1、风雨数学小升初讲座 5和差倍问题和差倍问题做应用题是一种很好的思维锻炼。做应用题不但要会算，而且要多思考，善于发现题目中的数量关系，可以说做应用题是运用数学的开始。加、减、乘是最基本的运算，和、差、倍数是两数之间最简单的数量关系.应用题的训练，就从这里开始。（一）和差问题聪明的你早已经知道，已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题各是多少，这类问题我们称为和差问题各是多少，这类问题我们称为和差问题各是多少，这类问题我们称为和差问题。解答和差问
2、题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。用数量关系表示：（和差）2=大数，（和差）2=小数。有些题我们一眼就能看出来是和差问题，例如：【题目1】期中考试王平和李杨语文成绩的总和是 188 分，李杨比王平少 4 分。两人各考了多少分？你肯定能很快的解答出来，对，我们已知两人成绩的和是 188 分，两人相差 4 分，刚好具有和差问题的特点。我们通常采用画图的办法来解答。188?我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加 4 分，变为 188+4=192 分，这就表示王平的
3、 2 倍，所以王平考了：1922=96 分，李杨考了 964=92 分。真不错，相信你能很快的解答出下面的问题。【练一练】（1）两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千克？（2）小宁与小慧的身高总和是264厘米，又已知小宁比小慧矮8厘米。两人分别高多少厘米？有些题目就不像我们想象的那么容易看出来了，不信看看下面这题有些题目就不像我们想象的那么容易看出来了，不信看看下面这题有些题目就不像我们想象的那么容易看出来了，不信看看下面这题有些题目就不像我们想象的那么容易看出来了，不信看看下面这题。【题目2】哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥
4、哥和弟弟原来各有邮票多少张？对，这题告诉了我们哥弟俩邮票的张数和，可张数差没有告诉我们。怎样找张数差呢？画图看看，“哥哥给弟弟 4 张后，还比弟弟多2 张”看看哥哥比弟弟多几张？嗯，通过画图，我们清楚的看到，哥哥比弟弟多42210 张，这样就能解答出来了：弟弟有邮票：（7010）2=30 张，哥哥有邮票 30+10=40 张。马上就要升初中的你，这样的题肯定难不住你，好，请你试试下面三个题，相信你一会儿就做出来了。【练一练】（1）一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？（2）姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐
5、姐和妹妹原来各有糖果多少块？当然，只会这样的几个题，还不算真正掌握了和差问题的解答，有些和差问题的思想，还隐藏在题目的条件中，或者隐藏在解答问题的过程中。请看下面这个题：【题目3】如图，甲在十字路口南面 1500 米的 A 地向北的 B 地走去，乙同时从十字路口向东向 C 地走去，B、C 两地到十字路口的距离相等。当出发 5 分钟后，两人距离十字路口的路程相等；又走 45 分钟后，甲、乙两人同时分别到达 B 地和 C 地。你会算出每分钟各走多少米吗？很不错，出发 5 分钟，两人距离十字路口相等，说明两人5 分钟共行1500 米，可以算出两人的每分钟共行 15005300 米；又行 45 分钟到
6、达B、C 两地，由于B、C 两地距离十字路口路程相等，说明 50 分钟甲比乙多行 1500 米，可以算出每分钟甲比乙多行 15005030 米这样知道了两人速度和与速度差，满足和差问题的特点，就能算出他们各自的速度了。甲的速度是（30030）2165 米/分，乙的速度是 16530135 米/分。当然，我们会遇到许许多多这样的问题，一眼看不出来可以用和差问题的方法来计算，可在解题过程中，仔细分析后，会发现题目中隐含了这样的解题思想。相信聪明的你，能发现隐含在题目中的和差问题，轻松的解决问题。（二）和倍问题和倍问题，就是知道两个量的和以及它们的倍数关系，求这两个量各是多少。要想顺利地解答和倍应用
7、题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示：两数和（倍数1）=小数（1倍数）小数倍数=大数或两数和小数=大数好的，我们来看看下面这个题目。【题目1】学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？【分析】根据条件可以知道，将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。如图所示：360?1 由图可知，二三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（12）倍，则二年级所得图书
8、本数的360（12）=120本，三年级为1202=240本。相信下面几个题，你能很快的解决下面的问题：【练一练】（1）小红和小明共有压岁钱 800 元，小红的钱数是小明的 3 倍。小红和小明各有压岁钱多少元？（2）甲桶有油 25 千克，乙桶有油 17 千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的 5 倍？【题目2】两数相除商为 17 余6，被除数、除数、商和余数的和是479。被除数和除数分别为多少？【分析】被除数、除数、商和余数的和是 479，减去商 17 和余数6，得到被除数与除数的和为 479176=456；又因为被除数比除数的 17 倍多6，所以 4566=450 就相当于除数的（1
9、71）倍，因此除数为 450（171）=25，被除数为 25176=431。【练一练】（1）学校买来 83 本书，其中科技书是故事书的 2 倍，故事书比文艺书多 5 本，这三种书各多少本？（2）甲、乙两数的和是 209，甲数缩小 10 倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多少？【题目3】甲乙两人一共带了 80 元钱去商店买东西，甲用自己的一半的钱买了一本漫画书，乙花了 10 元钱买了一盘光碟。这时甲剩下的钱恰好是乙剩下的钱的 3 倍。那么甲乙两人各带了多少钱？【分析】如果甲不用，乙用去 10 元，那么甲就是乙的236 倍，两人钱数的和是 801070 元，则乙剩下70（61）10 元，乙带了 1
10、01020 元，甲带了 802060 元。（三）差倍问题如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求 1 倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。用关系式可以这样表示：两数差（倍数1）=较小的数（1 倍数）较小的数倍数=较大的数（几倍数）【题目1】小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的 3 倍，苹果比梨多 18 个。小明买苹果和梨各多少个？将梨的个数看作 1 倍数，则苹果的个数是这样的 3 倍。如下图：?18?1 从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了3
11、1=2 倍，梨的 2 倍是 18个，所以梨有 182=9 个，苹果有：93=27 个。【练一练】（1）一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的 5 倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵 960 元。皮衣与羽绒服各多少元？（2）甲筐苹果是乙筐苹果的 3 倍，如果从甲筐取出 60 千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？【题目2】水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的 5 倍，如果从第一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60 个。原来两筐橘子各有多少个？【分析】根据“如果从第一筐中取出300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多 60 个”，说明原来第一
12、筐比第二筐橘子多300260=660 个。把第二筐的橘子重量看作 1 倍数，第一筐橘子是这样的5倍，比第二筐多 4 倍，第二筐橘子的 4 倍正好是 660 个，所以第二筐原有橘子：6604=165 个，第一筐橘子原来有：1655=825 个。【练一练】（1）人民公园的杜鹃花盆数是长春园的 4 倍，如果从人民公园搬出188 盆杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25 盆。原来两个公园各有杜鹃花多少盆？（2）两堆煤重量相等，现从甲堆中运走 24 吨到乙堆，而乙堆煤中又运入 8 吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的 3 倍。问两堆煤原来各有多少吨？【题目3】小悦、东东和阿贵三人各有一些钱，其中小悦的钱数是东东的两倍，小悦和东东的钱数总和是阿贵的 6 倍。老师给了小悦一些钱，现在小悦一共有 56 元，然后小悦把老师给的钱全部分给了东东和阿贵，这时东东有 36 元，阿贵有 16 元。那么老师一共给了多少元钱给小悦。【分析】设阿贵的钱是 1 份，小悦和东东共 6 份，东东有6（12)份，小悦就是份。小悦的钱比东东与阿贵的钱数和多 56（3616）4 元，小悦的份数比东东与阿贵的钱数和多份，说明份就是元。那么小悦原来有元，老师一共给了 561640 元。