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1、中考数学压轴题 二次函数动点问题（八）1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由（1）如图1，过点B作BMx轴于M由旋转性质知OBOA2AOB120，BOM60OMOBcos6021，BMOBsin602点B的坐标
2、为(1，)（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为yax 2bxc抛物线过原点，c0 解得所求抛物线的解析式为yx 2x（3）存在如图2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OCOB的长为定值，要使BOC的周长最小，必须BCOC的长最小点A与点O关于抛物线的对称轴对称，OCACBCOCBCACAB由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BCOC最小，点C的位置即为所求设直线AB的解析式为ykxm，将A(2，0)，B(1，)代入，得 解得直线AB的解析式为yx抛物线的对称轴为直线x1，即x1将x1代入直线AB的解析式，得y(1)点C的坐标为(1，)（4）PAB有最大面积如图3，过点P作y轴
3、的平行线交AB于点DSPAB SPADSPBD(yDyP)(xBxA)(x)(x 2x)(12)x 2x(x)2当x时，PAB的面积有最大值，最大值为此时yP()2()此时P点的坐标为(，)2.已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0），连接DP交BC于点E当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标又连接CD、CP（如图3
4、），CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由解：（1）由题意知RtAOCRtCOB，OC 2OAOBOA(ABOA)，即22OA(5OA)OA 25OA40，OAOB，OA1，OB4A(1，0)，B(4，0)，C(0，2)可设所求抛物线的关系式为ya(x1)(x4)将点C(0，2)代入，得2a(01)(04)，a经过点A、B、C的抛物线的关系式为y(x1)(x4)即yx 2x2（2）E1(3，)，E2(，)，E3(，)设直线BC的解析式为ykxb则 解得直线BC的解析式为yx2点E在直线BC上，E(x，x2)若EDEB，过点E作EHx轴于H，如图2，
5、则DHDB1OHODDH213点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y32E1(3，)若DEDB，则(x2)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x14（舍去），x2y2，E2(，)若BEBD，则(x4)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x1（此时点P在第四象限，舍去），x2y()2，E3(，)CDP有最大面积过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3设直线PC的解析式为ypxq，将C(0，2)，P(m，n)代入，得 解得直线PC的解析式为yx2，M(2，2)SCDPSCDMSPDMxPyMm(2)mn2m(m2m2)2m2m(m)2当m时，CDP有最大面积，最大面积
6、为此时n()22 此时点P的坐标为(，)3.如图，已知抛物线yx 24x3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(1，0)（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴为直线x2，即x2；令y0，得x 24x30，解得x11，x23点B的坐标为(1，0)，点A的坐
7、标为(3，0)（2）存在，点P的坐标为(2，3)，(2，3)和(4，3)（3）存在当x0时，yx 24x33，点C的坐标为(0，3)AO3，EO2，AE1，CO3DECO，AEDAOC，即DE1DECO，且DECO，四边形DEOC为梯形S梯形DEOC(13)24设直线CM交x轴于点F，如图若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则SCOF2即COFO23FO2，FO点F的坐标为(，0)直线CM经过点C(0，3)，设直线CM的解析式为ykx3把F(，0)代入，得k30k直线CM的解析式为yx34.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2
8、)，点C(1，0)，如图所示；抛物线yax 2ax2经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）过点B作BDx轴于DBCDACO90，ACOCAO90BCDCAO又BDCCOA90，BCCARtBCDRtCAO，BDCO1，CDAO2点B的坐标为(3，1)；（2）把B(3，1)代入yax 2ax2，得19a3a2，解得a抛物线的解析式为yx 2x2；（3）存在延长BC至点P1，使CP1BC，则得到以点C为直角顶点的等腰直角三角形ACP1过点P
9、1作P1Mx轴CP1BC，P1CMBCD，P1MCBDC90RtP1CMRtBCD，CMCD2，P1MBD1，可求得点P1(1，1)；把x1代入yx 2x2，得y1点P1(1，1)在抛物线上过点A作AP2AC，且使AP2AC，则得到以点A为直角顶点等腰直角三角形ACP2过点P2作P2Ny轴，同理可证RtP2NARtAOCP2NAO2，ANCO1可求得点P2(2，1)把x2代入yx 2x2，得y1点P2(2，1)在抛物线上综上所述，在抛物线上还存在点P1(1，1)和P2(2，1)，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形5.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在x轴
10、上截得的线段AB的长为6（1）求二次函数的解析式；（2）点P在y轴上，且使得PAC的周长最小，求：点P的坐标；PAC的周长和面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设二次函数的解析式为ya(x 4)2(a0)，且A(x1，0)，B(x2，0)ya(x 4)2ax 28ax16ax1x28，x1x216AB 2(x1x2)2(x1x2)24x1x2824(16)36，a二次函数的解析式为y(x 4)2（2）如图1，作点A关于y轴的对称点A，连结AC交y轴于点P，连结PA，则点P为所求
11、令y0，得(x 4)20，解得x11，x27A(1，0)，B(7，0)OA1，OA1设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AD3，AD5，DCAOPADC，即，OP P(0，)ACACPAC的周长PAPCACACACSPACSAAC SAAPAA(DCOP)2()（3）存在tanBAC，BAC30同理，ABC30，ACB120，ACBC若以AB为腰，BAQ1为顶角，使ABQ1CBA，则AQ1AB6，BAQ1120如图2，过点Q1作Q1Hx轴于H，则Q1HAQ1sin606，HAAQ1cos6063HOHAOA312点Q1的坐标为(2，)把x2代入y(x 4)2，得y(24)2点Q1在抛物线上若以B
12、A为腰，ABQ2为顶角，使ABQ2ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为(10，)同样，点Q2也在抛物线上若以AB为底，AQ，BQ为腰，点Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点Q1(2，)和Q2(10，)，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似中考数学压轴题选讲（八）1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果
13、点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由2.已知：RtABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0），连接DP交BC于点E当BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标又连接CD、CP（如图3），CDP是否有最大面积？若有，求出CDP的最大面积和
14、此时点P的坐标；若没有，请说明理由3.如图，已知抛物线yx 24x3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(1，0)（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由4.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(1，0)，如图所示；抛物线yax 2ax2经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）过点B作BDx轴于D5.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，)，且在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求二次函数的解析式；（2）点P在y轴上，且使得PAC的周长最小，求：点P的坐标；PAC的周长和面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由