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1、2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（二）1.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：四边形为平行四边形；平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知，即为的中点法二：又轴，（2）由（1）可知，又，四边形为平行四边形设，轴，则，则过作轴，垂足为，在中，平行四边形为菱形（3）设直线为，由，得，代入得： 直线为设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，解得得公共点为所以直线与抛物线
2、只有一个公共点2.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： CB=CE ； D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（1） 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上， m=-2(-2)-1=3. B(-2,3) 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2， 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应
3、函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)， . 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （2）直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BGx轴，与y轴交于F、直线x=2交于G， 则BG直线x=2，BG=4.ABCODExyx=2GFH 在RtBGC中，BC=. CE=5， CB=CE=5. 过点E作EHx轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90. DFBDHE （SAS），
4、BD=DE.，即D是BE的中点. （3） 存在. 由于PB=PE， 点P在直线CD上， 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 . 直线CD对应的函数关系式为y=x-1. 动点P的坐标为(x，)， x-1=. 解得 ，. ，. 符合条件的点P的坐标为(，)或(，).3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+经过A（0，4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形
5、BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3分） 解：（1）解法一：抛物线=+经过点A（0，4）， =4 又由题意可知，、是方程+=0的两个根，+=， =6由已知得（-）=25，又（-）=（+）4=24 24=25， 解得=当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去= 解法二：、是方程+c=0的两个根， 即方程23+12=0的两个根=，=5，解得 = （2）四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 又=4=（+）+ 抛物线的顶点（，）即为所求的点D （3）四边形BPOH是以OB为
6、对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线=-3与抛物线=-4的交点， 当=3时，=（3）（3）4=4， 在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上4.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大
7、，最大面积是多少？（解析）解：（1）在中，令， ，又点在上 的解析式为（2） 由，得 ， ，（3）过点作于点 由直线可得：在中，则，此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为5.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设该二次函数的解析式为ya(xh)2k顶点C的横坐标为4，且过点D(0，)16ak 又对称轴为直线x
8、4，图象在x轴上截得的线段AB的长为6A(1，0)，B(7，0) 09ak 由解得a，k 该二次函数的解析式为y(x4)2（2） 点A、B关于直线x4对称，PAPB PAPDPBPDDB当点P在线段DB上时，PAPD取得最小值DB与对称轴的交点即为所求的点P，如图1设直线x4与x轴交于点MPMOD，BPMBDO， 又PBMDBO，BPMBDO，即，PM点P的坐标为(4，)（3）由（1）知点C(4，)，又AM3，在RtACM中，tanACM，ACM60ACBC，ACB120如图2，当点Q在x轴上方时，过Q作QNx轴于N如果ABBQ，由ABCABQ，得BQ6，ABQ120QBN60 QN，BN3，
9、ON10 此时点Q的坐标为(10，)(104)2，点Q在抛物线上如果ABAQ，由对称性知Q(2，)，且也在抛物线上当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB此时点Q的坐标为(4，)综上所述，在抛物线上存在点Q，使QAB与ABC相似点Q的坐标为(10，)或(2，)或(4，)2012中考数学压轴题选讲（二）1.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：四边形为平行四边形；平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由2.如图13，已知抛物线经过
10、原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： CB=CE ； D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+经过A（0，4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点
11、P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3分） 4.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？5.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由