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1、2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（五）1.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由解：（1）将A(1，0)，B(3，0)代入yx 2bxc得 解得该抛物线的解析式为yx 22x3（2）存在该抛物线的对称轴为x1抛物线交x轴于A、B两点，A、B两点关于抛物线的对
2、称轴x1对称由轴对称的性质可知，直线BC与x1的交点即为所求的Q点，此时QAC的周长最小，如图1将x0代入yx 22x3，得y3点C的坐标为(0，3)设直线BC的解析式为ykxb1，将B(3，0)，C(0，3)代入，得 解得直线BC的解析式为yx3联立 解得点Q的坐标为(1，2)（3）存在 如图1设P点的坐标为（x，x 22x3）（3x0），如图2SPBC S四边形PBOC SBOC S四边形PBOC 33S四边形PBOC 当S四边形PBOC有最大值时，SPBC就最大S四边形PBOC SRtPBES直角梯形PEOC BEPE(PEOC)OE(x3)(x 22x3)(x 22x33)(x)(x)
3、2当x时，S四边形PBOC最大值为SPBC最大值当x时，x 22x3()22()3点P的坐标为(，)2.如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也
4、随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长解：（1）把A(2，0)代入ya(x1)2，得0a(21)2a该抛物线的解析式为y(x1)2即yx 2x（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点xD1，yD1 21点D的坐标为(1，)如图，过点D作DNx轴于N，则DN，AN3，AD6DAO60OMAD当ADOP时，四边形DAOP为平行四边形OP6t6（s）当DPOM时，四边形DAOP为直角梯形过点O作OEAD轴于E在RtAOE中，AO2，EAO60，AE1（注：也可通过RtAOERtAND求出AE1）四边形DE
5、OP为矩形，OPDE615t5（s）6分当PDOA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OPAD2AE624t4（s）综上所述，当t6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形（3）DAO60，OMAD，COB60又OCOB，COB是等边三角形，OBOCAD6BQ2t，OQ62t（0t3）过点P作PFx轴于F，则PFtS四边形BCPQ SCOB SPOQ6(62t)t(t)29分当t（s）时，S四边形BCPQ的最小值为此时OQ62t623，OP，OF，QF3，PFPQ3.如图，已知直线yx1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与
6、直线另一个交点为E（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积解：（1）C(3，2)，D(1，3)；（2）设抛物线的解析式为yax 2bxc，把A(0，1)，D(1，3)，C(3，2)代入得 解得抛物线的解析式为yx 2x1；（3）当点A运动到点F（F为原B点的位置）AF，t1（秒）当0 t
7、 1时，如图1BFAAtRtAOFRtGB F，B GB Ftt正方形落在x轴下方部分的面积为S即为B FG的面积SBFGSSBFGB FB Gttt 2当点C运动到x轴上时RtBCC RtAOB，CC BC，t2（秒）当1 t 2时，如图2A B AB，A FtA GB HtSS梯形ABHG(A GB H)A B (t)t当点D运动到x轴上时DD,t3（秒）当2 t 3时，如图3A G GDDH SDGH ()()()2SS正方形ABCD SDGH()2()2t 2t（4）如图4，抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积为图中阴影部分的面积t3，BBAADDS阴影S矩形BBCCBBBC15
8、4.已知：抛物线yx 22xa（a 0）与y轴相交于点A，顶点为M直线yxa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ），N（ ， ）；（2）如图，将NAC沿轴翻折，若点N的对应点N 恰好落在抛物线上，AN 与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线yx 22xa（a 0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由解：（1）M(1，a1)，N(a，a)（2）点N 是NAC沿轴翻折后点N的对应点点N 与点N关于y轴对称，N
9、 (a，a)将N (a，a)代入yx 22xa，得a(a)22(a)a整理得4a 29a0，解得a10（不合题意，舍去），a2N (3，)，点N到轴的距离为3a，抛物线yx 22xa与y轴相交于点A，A(0，)直线AN 的解析式为yx ，将y0代入，得x D(，0)，点D到轴的距离为S四边形ADCN SACN SACN 3（3）如图，当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC将点N向上平移2a个单位可得到点P，其坐标为(a，a)，代入抛物线的解析式，得：a(a)22aa，整理得8a 23a0解得a10（不合题意，舍去），a2P(，)当点P在y轴的右侧时，若四边形A
10、PCN是平行四边形，则AC与PN互相平分OAOC，OPON，点P与点N关于原点对称P(a，a)，代入yx 22xa，得a(a)22(a)a，整理得8a 215a0解得a10（不合题意，舍去），a2P(，)存在这样的点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(，)或(，)2012中考数学压轴题选讲（五）1.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内
11、是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由2.如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点
12、也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长3.如图，已知直线yx1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积4.已知：抛物线yx 22xa（a 0）与y轴相交于点A，顶点为M直线yxa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（ ， ），N（ ， ）；（2）如图，将NAC沿轴翻折，若点N的对应点N 恰好落在抛物线上，AN 与轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线yx 22xa（a 0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由