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1、第四章的应用第1页，本讲稿共26页4.1 多项式的运算多项式的生成和表达多项式的生成和表达1、多项式的表达、多项式的表达 在在MATLAB环境下多项式是用向量的形式表达的。向环境下多项式是用向量的形式表达的。向量最量最右边右边的元素表示多项式的的元素表示多项式的0阶，阶，向左数向左数依次表示多项依次表示多项式的第式的第1阶、第阶、第2阶、第阶、第3阶阶。例如多项式例如多项式5x4+3x2+2x+1表示为表示为5 0 3 2 1。第2页，本讲稿共26页 2、多项式的生成、多项式的生成语法：语法：poly(MA)说明：说明：1、若、若MA为方阵，则生成的多项式为方阵，则生成的多项式P为方阵为方阵M
2、A的的特征多项式。特征多项式。2、若、若MA为向量、则向量和多项式满足这样一种关系：为向量、则向量和多项式满足这样一种关系：MAr1 r2 r3 rn 生成的多项式为：生成的多项式为：(x-r1)(x-r2)(x-r3)(x-rn)=a0 xn+a1xn-1+a2xn-2+an即生成的向量为即生成的向量为a0 a1 a2 an3、当然也可以用直接输入的方式生成多项式。、当然也可以用直接输入的方式生成多项式。第3页，本讲稿共26页3.多项式的加减乘除多项式的加减乘除加减法加减法 多项式的加减法与向量的加减法完全相同。多项式的加减法与向量的加减法完全相同。乘除法乘除法A.c=conv(a，b)乘积
3、运算乘积运算B.q r=deconv(b,a)除法运算除法运算 (即有即有b=conv(a,q)+r)1、a、b和和c,q,r均为以均为以向量形式向量形式表示的多项式。表示的多项式。2、q表示除运算的商，表示除运算的商，r表示除运算的余数。表示除运算的余数。第4页，本讲稿共26页 例：求多项式 F(x)=x2+5x和G(x)=2x+1的乘积M(x)。f=1 5 0;g=2 1;m=conv(f,g)m=2 11 5 0即 M(x)=2x3+11x2+5x+0第5页，本讲稿共26页已知：s(x)=5x4+3x3+2x2+x+1,a(x)=x+1求s(x)被a(x)除的结果 s=5 3 2 1 1
4、;a=1 1;q,r=deconv(s,a);qq=5 -2 4 -3 rr=0 0 0 0 4即有q(x)=5x3-2x2+4x-3r(x)=4第6页，本讲稿共26页3.多项式求导dp=polyder(p)多项式p(x)的导数dp(x)dp=polyder(p,q)多项式p(x)*q(x)的导数b,a=polyder(p,q)多项式p(x)/q(x)的导数b(x)/a(x)第7页，本讲稿共26页例：求多项式:p(x)=x3+2x2+x+1的一阶和二阶导数。p=1 2 1 1;dp=polyder(p)dp2=polyder(dp)计算结果dp=3 4 1%3x2+4x+1dp2=6 4%6x
5、+4第8页，本讲稿共26页例：求 的一阶导数 b,a=polyder(1 5 1,3 5)b=3 10 22a=9 30 25 polyder(1 5 1,3 5)ans=9 40 28第9页，本讲稿共26页 4.多项式的求根多项式的求根 r roots(p)p 为多项式的向量表示式为多项式的向量表示式r 为多项式的根，为多项式的根，以列向量表示以列向量表示第10页，本讲稿共26页例：求方程x3-3x2-3x+1=0的解。p=1-3-3 1;r=roots(p)r=3.7321 -1.0000 0.2679也即有(x-3.7321)(x-(-1)(x-0.2679)=x3-3x2-3x+1第1
6、1页，本讲稿共26页注意：poly和roots功能刚好相反 p=1 2 3 4 5;%x4+2x3+3x2+4x+5 r=roots(p)ans=0.2878+1.4161i 0.2878-1.4161i -1.2878+0.8579i -1.2878-0.8579i poly(r)ans=1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000第12页，本讲稿共26页又如：roots(poly(-1-2-3)ans=-3.0000 -2.0000 -1.0000第13页，本讲稿共26页5.多项式值的计算多项式值的计算y=polyval(p,x);计算自变量为计算自变量为x时，多项
7、式时，多项式p(x)的值。的值。第14页，本讲稿共26页例 计算多项式计算多项式2x当当x=1 2 3 4时的值。时的值。polyval(2 0,1 2 3 4)ans=2 4 6 8第15页，本讲稿共26页6.曲线的拟合曲线的拟合 p=polyfit(x,y,N)；根据输入数据根据输入数据x和和y生成一个生成一个N阶的拟合多阶的拟合多项式项式p(x)。第16页，本讲稿共26页 x=1:10;y=x+rand(1,10)%rand这个函数能产生0，1之间的随机数 y=1.8318 2.5028 3.7095 4.4289 5.3046 6.1897 7.1934 8.6822 9.3028 1
8、0.5417 p=polyfit(x,y,7)p=0.0001 -0.0040 0.0520 -0.3204 0.9418 -1.0304 0.6378 1.5504 y2=polyval(p,x)%由多项式获得相应的y2值y2=1.8273 2.5337 3.6224 4.5467 5.2558 6.1106 7.3314 8.5866 9.3358 10.5370 figure;plot(x,y,b,x,y2,r);第17页，本讲稿共26页第18页，本讲稿共26页作业1.已知p(x)=4x3+3x2+2x+5;q(x)=x+1(1)试求q(x)的4次幂(2)求p(x)/q(x)(3)p(x
9、)的一阶、二阶和三阶导数(4)绘制x=(1,10)范围内的p(x)和q(x)的曲线2.已知y=sin(x),x=(0,pi)，试分别用3,5,7阶多项式拟合此曲线，比较原数据与拟合后数据的差异情况，并将绘制相应曲线和误差曲线。第19页，本讲稿共26页作业2程序:x=0:0.1:pi;y=sin(x);p=polyfit(x,y,7);z=polyval(p,x);figure;plot(x,y,b,x,z,r);figure;plot(x,y-z);第20页，本讲稿共26页第21页，本讲稿共26页误差曲线第22页，本讲稿共26页利用利用MATLAB 处理牛顿环实验数据处理牛顿环实验数据实验以牛
10、顿环中心圆斑为实验以牛顿环中心圆斑为0 级条纹级条纹,依次测依次测量了第量了第3026 级、级、106 级两组暗环直径级两组暗环直径数据如表数据如表1 根据光的等厚干涉原理根据光的等厚干涉原理,干涉条干涉条纹级次纹级次k、第、第k 级条纹直径级条纹直径Dk、第23页，本讲稿共26页入射光波长入射光波长与透镜表面的几何参量之间满足关系与透镜表面的几何参量之间满足关系:Dk2=4Ak+Bk22 (1)式中式中A、B 为与透镜表面几何参量有关的系数为与透镜表面几何参量有关的系数,(1)对抛物线参量为对抛物线参量为2P 的旋转抛物面有的旋转抛物面有A=P,B=0;(2)对半径为对半径为R 的球面有的球
11、面有A=R,B=-1;(3)对主轴为对主轴为2a、虚轴为、虚轴为2b、双曲线参量为、双曲线参量为2P 的旋转双曲面有的旋转双曲面有A=P,B=P/a第24页，本讲稿共26页在传统的牛顿环测定透镜表面曲率半径实验中在传统的牛顿环测定透镜表面曲率半径实验中,为简化实验为简化实验数据的处理数据的处理,省略了省略了(1)式中的二次项式中的二次项Bk22,即即Dk2=4Rk,变换该式得曲率半径变换该式得曲率半径R=(Dk2-Dk2)/4(k-k)将表将表1 数据及数据及=5893A 代入代入,计算知计算知P=2323.1mm由于省略由于省略了二次项了二次项,这种处理实际上是将透镜表面近似为旋转抛物面对这
12、种处理实际上是将透镜表面近似为旋转抛物面对待待,因此给测量结果带来了理论误差因此给测量结果带来了理论误差为考虑二次项为考虑二次项Bk22 的贡献的贡献,并减小因镜面灰尘及弹性形变引起并减小因镜面灰尘及弹性形变引起附加程差带来的误差附加程差带来的误差,设中心圆斑的条纹级次为设中心圆斑的条纹级次为k0,第第k 级条纹级条纹与中心圆斑的级差为与中心圆斑的级差为x=k-k0,整理整理(1)式得式得:第25页，本讲稿共26页Dk2=(4Ak0+Bk0)+(4A+2Bk02)x+B2x2 （2）令令y=Dk2,a0=4Ak0+Bk0,a1=4A+2Bk02,a2=B2 得得y=a0+a1x+a2x2 因此
13、因此,只要由表只要由表1 实验数据求出该二次多项式的系数实验数据求出该二次多项式的系数a0、a1、a2,代入代入(2)式即式即可计算出透镜表面几何参量可计算出透镜表面几何参量A、B 及及k0MATLAB 有多项式拟合函数有多项式拟合函数a=polyfit(x,y,n),a 是求出的多项式系数向量是求出的多项式系数向量 因此因此,我们只需在我们只需在MATLAB 命令窗口输入下面三条语命令窗口输入下面三条语句句:x=30,29,28,27,26,10,9,8,7,6y=164.746,159.238,153.733,148.230,142.730,55.114,49.662,44.213,38.
14、766,33.322a=polyfit(x,y,2)便可得结果便可得结果:a=010014,514256,017181即即a0=0.7181,a1=5.4256,a2=0.0014代入代入(2)式求得式求得A=2301.6mm,B=4031.4mm,k0=0.13241可见可见,透镜表面曲率半径透镜表面曲率半径P=A=2301.6mm,传统方法处理数据所得结果与传统方法处理数据所得结果与之相比存在偏差之相比存在偏差0.93%;k0 0,说明透镜表面与平板玻璃并没有接触说明透镜表面与平板玻璃并没有接触,这可这可能是由于尘埃等原因所致能是由于尘埃等原因所致;B 0,表明所测透镜表面实为双曲面表明所测透镜表面实为双曲面第26页，本讲稿共26页