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1、第四章导数的应用第1页，本讲稿共43页一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法定理定理定理中的区间换成其它有限或无限区间，结定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立论仍然成立.第2页，本讲稿共43页例例1 1解解第3页，本讲稿共43页例例2 2 讨论函数讨论函数的单调性。的单调性。注：注：导数为零的点和不可导的点都有可能导数为零的点和不可导的点都有可能成为函数单调区间的分界点成为函数单调区间的分界点。第4页，本讲稿共43页注注:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的在这一区间上的符号来判定，而不能用
2、一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性导数符号来判别一个区间上的单调性例如例如,注：注：若若f (x)在某区间内的孤立点处为零（或不存在），在某区间内的孤立点处为零（或不存在），而在其余各点均为正（或均为负），则而在其余各点均为正（或均为负），则f(x)在该区间内在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少）的。仍旧是单调增加（或单调减少）的。第5页，本讲稿共43页第6页，本讲稿共43页例例 证明证明 当当x 0时，时，因为仅在孤立点因为仅在孤立点x=2n（n为正整数）处为正整数）处令令 证证:f (x)=0，故故f(x)在在0,+)上单调增加。上单调增加。从而当从而当x 0时时，f(x)f(0)=
3、0，即即x sinx 0，于是于是x sinx.第7页，本讲稿共43页例例证证第8页，本讲稿共43页证明：证明：例例第9页，本讲稿共43页解解:设设则则第10页，本讲稿共43页由闭区间上连续函数的零值定理由闭区间上连续函数的零值定理第11页，本讲稿共43页二、函数极值的定义二、函数极值的定义第12页，本讲稿共43页定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值使函数取得极值的点称为极值点的点称为极值点.第13页，本讲稿共43页三、函数极值的求法三、函数极值的求法定理定理2 2(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,第14页，本讲稿共43页例例解解注
4、意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.第15页，本讲稿共43页定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)第16页，本讲稿共43页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)第17页，本讲稿共43页例例解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值第18页，本讲稿共43页图形如下图形如下第19页，本讲稿共43页定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证同理可证(2).第20页，本讲稿共43页例例解解图形如下图形如下第21页，本讲稿共43页注意注意:第22页，本讲稿共43页第23页，本讲稿共43页解解:因
5、为因为 根据局部保号性定理知根据局部保号性定理知,存在存在0点的某个去心邻域点的某个去心邻域,在此邻域内有在此邻域内有 ,所以有所以有 第24页，本讲稿共43页小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极极小值可能大于极大值小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)第25页，本讲稿共43页四、最值的求法四、最值的求法第26页，本讲稿共43页最大值、最小值问题的步骤：最大值、
6、最小值问题的步骤：（2）计算区间端点处的函数值；）计算区间端点处的函数值；求连续函数求连续函数f(x)在在a,b上的最大值与最小值：上的最大值与最小值：（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；）计算函数驻点与不可导点处的函数值；（3）对以上两类函数值进行比较即得。）对以上两类函数值进行比较即得。第27页，本讲稿共43页例例1 1解解计算计算第28页，本讲稿共43页比较得比较得第29页，本讲稿共43页2.2.如果函数如果函数 f(x)区间区间 X 上连续上连续,若若 f(x)在在 X 上只上只有一个极值有一个极值,则这个极值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最最大值或最小值小值)第30页，本
7、讲稿共43页注注1：一般地说，若函数一般地说，若函数f(x)的最大的最大(小小)值是在区间值是在区间(a,b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，注注2：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可在实际问题中，往往根据问题的性质，就可 断定断定可导函数可导函数f(x)在其区间内部确有最大值（或最小值），在其区间内部确有最大值（或最小值），此时，如果确定此时，如果确定f(x)在这个区间内部只有一个驻点在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），（或导数不存在的点），那么，这个点就是函数的最值点那么，这个点就是函数的最值点第31页，本讲稿共43页
8、第32页，本讲稿共43页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟的速度分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向处向正东追击，正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？第33页，本讲稿共43页解解(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点第34页，本讲稿共43页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数
9、;(2)求最值求最值;第35页，本讲稿共43页例例5 5某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月元时，公寓会全部租出去当租金每月增加增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费去的房子每月需花费20元的整修维护费试问元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？房租定为多少可获得最大收入？解解设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为第36页，本讲稿共43页（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为第37页，本讲稿共43页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例6 6第38页，本讲稿共43页解解 如图如图,第39页，本讲稿共43页解得解得第40页，本讲稿共43页第41页，本讲稿共43页小结小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.第42页，本讲稿共43页思考题思考题结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但第43页，本讲稿共43页