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1、第四章 导数的应用1第一页，本课件共有34页第四章第四章 导数的应用导数的应用 导数是研究函数性质的重要工具.仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用,需要微分学的基本定理作为桥梁.微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.4.1 中值定理中值定理定理定理1 1 (罗尔定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间 a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)(a)=(b);一.一.罗尔罗尔(Rolle)定理定理2第二页，本课件共有34页则在(a,b)内至少存在一点,使得boxABy=f(x)ay罗尔定理的几何意义罗尔定理的几何意义:函数(x)在a,b上的图形是连续
2、曲线弧 AB,如果除端点外,处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在闭区间a,b的两个端点a与b处的纵坐标相同,即(a)=(b);此时弦 3第三页，本课件共有34页 显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得,由此启发了我们的证明思路.AB平行于 x 轴;则在弧 AB 上至少能找到一点C(),使曲线在点 C 处的切线平行于弦AB,即平行于x轴,从而该点C处的切线斜率为boxABy=f(x)ay证证因(x)在闭区间a,b上连续,故由第二章定理16知:4第四页，本课件共有34页(x)在 a,b上必有最大值 M 和最小值 m.下面分两种情形讨论:(1)若M=m,则(x)在a,b上恒为常数.从而oyx
3、y=M5第五页，本课件共有34页故在(a,b)内的每一点都可取作 .定理显然成立.(2)若 ,而(a)=(b)从而在区间(a,b)内至少存在一点.使得()=M则数 M 与 m 中至少有一个不等于端点的数值,不妨设下面证明因()=M,则不论x0或x 0时,有当x 0时,有6第六页，本课件共有34页而(x)在(a,b)内可导,则故必有则对式(1)和式(2)取极限有7第七页，本课件共有34页注注1 1.罗尔定理中的三个条件是充分条件罗尔定理中的三个条件是充分条件,缺一不可缺一不可.否否则结论不一定成立则结论不一定成立.(.(一般地说结论正确就需证明一般地说结论正确就需证明;否则否则,只须举反例即可只
4、须举反例即可)用下列各图形分别说明用下列各图形分别说明:oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)(x)在a,b内有间断点(x)在(a,b)内有不可导点(尖点)注注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如如8第八页，本课件共有34页此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在 和 =,使oxy=f(x)y9第九页，本课件共有34页例1.验证函数 在区间 1,21,2 上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结论中的 值.注注3 3.罗尔定理是定性的结果罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在它只肯定了至少存在一个一个,而不
5、能肯定而不能肯定 的个数的个数,也没有指出实际计算也没有指出实际计算 的值的方法的值的方法.但对某些简单情形但对某些简单情形,可从方程中解出可从方程中解出 .10第十页，本课件共有34页解 因(x)是一初等函数,其定义域为 则(x)在 1,2 上连续,在(1,2)内存在,即(x)在(1,2）可导.则满足题意的点为而(1)=(2)=0.即(x)在 1,2上满足罗尔定理的条件.由11第十一页，本课件共有34页例2.不求函数(x)=(x1)(x2)(x3)x 的导数,说明方程 有几个实根?并指出它们所在区间.12第十二页，本课件共有34页例3.设(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且(a)=(
6、b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点,使得显然罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有证证则 F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即满足罗尔定理的条件.则在(a,b)内至少存在一点 ,使得13第十三页，本课件共有34页二.拉格朗日(Lagrange)中值定理定理定理2 2 拉格朗日(Lagrange)中值定理)设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;则在(a,b)内至少存在一点 ,使得oxyy=f(x)aAbBC或 也称微分中值定理.几何意义:如果在连续曲线弧AB上,除端点外,处处具有不垂直于x轴的切线,
7、又因弦AB的斜率为 则在弧AB上至少D14第十四页，本课件共有34页oxy y=f(x)aAbB既然罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形,下面利用分析的方法来构造辅助函数.要证故只须令 F(x)=(b)(a)(xa)(x)(a)(ba)C能找到一点C,使曲线在点 C 处的切线平行于弦 AB.从而只需验证 F(x)满足罗尔定理的条件即可.易验证这个函数的连续性、可导性以及端点条件.注注:在在 a,b 内的任意闭区间内的任意闭区间 上上,拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理均成立均成立.D15第十五页，本课件共有34页特别地,若 x 与 x+x为区间(a,b)内的任意两点,则有 由于当x为有限时,上式
8、是y的准确表达式.因而也把上式称为有限增量公式.而函数的微分 仅是y的近似表达式,因而有限增量公式在理论上十分有用.16第十六页，本课件共有34页例4.验证函数(x)=ln x在1,e上满足拉格朗日中值定理.若满足求出.解 因(x)在 1,e上连续,在(1,e)内可导.即(x)在 1,e上满足拉格朗日中值定理.而 则由拉格朗日中值公式有17第十七页，本课件共有34页推论推论1.1.几何意义：斜率处处为 0 的曲线,一定是平行于 x 轴的直线.推论推论2.下面利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式.例例5.证明证 18第十八页，本课件共有34页 例6.证明不等式分析:因 0 a 1时,证明不等式最
9、后特殊取点(2)根据不等式的特点选取适当的函数(x)及对应区间a,b,使其满足定理的条件,便有再根据 a 0,试证在(a,b)内方程 至少存在一个根.证证 因而 在a,b上满足柯西中值定理的条件.所以在(a,b)内至少存在一点 ,使得故在(a,b)内方程至少存在一个根 .22第二十二页，本课件共有34页结论结论:拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广;柯西中值定理柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广又是拉格朗日中值定理的推广.柯西中值定理的特殊情形为柯西中值定理的特殊情形为拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理的特殊情形为罗尔定拉格朗日中值定理的特殊情形
10、为罗尔定理理.CRL(a)=(b)g(x)=x23第二十三页，本课件共有34页 多项式对数值计算和理论分析都十分方便,所以在研究某些复杂函数时,常常希望将它们表示为一个多项式.假设(x)在 内能够表示为一个多项式 ,问题:(1)多项式 的系数应如何确定呢?(2)又为多少呢?四.泰勒(Taylor)中值定理24第二十四页，本课件共有34页(1)若(x)为一个关于x的多项式,即因多项式函数具有任意阶的连续导数,则可对上式两边求x的1至n阶导数,有假设(x)在 内表示为 的多项式即下面对(x)分两种情形来讨论以上问题.25第二十五页，本课件共有34页在上列各式中,令 ,则得由从而26第二十六页，本课
11、件共有34页并记(x)与 之误差为 从而有(x),即有当 很小且在允许的误差范围之内时,就可用 去近似代替(2)若(x)不是多项式,而是一个在 内具有直到(n+1)阶导数的一般函数,则我们可仿照上式构造一个关于x的多项式27第二十七页，本课件共有34页定理定理4.(泰勒Taylor中值定理)若函数(x)在 内具有直到(n+1)阶导数,则 均有其中那么,误差 如何确定呢?28第二十八页，本课件共有34页则F(t)在区间 上连续且可导,并有理论证明可不讲.(证明提示)作辅助函数令则F(t)和G(t)满足柯西中值定理的条件,故在29第二十九页，本课件共有34页至少存在一点 ,使得30第三十页，本课件
12、共有34页为函数(x)在 处的 n 阶泰勒多项式.称而式称为函数(x)在 处的 n 阶拉格朗日余项.注注2.2.若(x)满足定理的条件,则,其误差可由来估计.注注1.1.将称为函数(x)在处的 n 阶泰勒公式或泰勒展开式.31第三十一页，本课件共有34页注注4.4.在泰勒公式中令 则又可得到马克劳林(Maclaurin)公式或马克劳林(Maclaurin)展开式.即为因此,泰勒公式是拉格朗日公式的推广.注注3.3.在泰勒公式中令 n=0,则又可得到拉格朗日公式32第三十二页，本课件共有34页例9.写出 的n阶马克劳林展开式.注注:在上式中令x=1,则得无理数e的近似值此时所产生的误差为33第三十三页，本课件共有34页注注:泰勒中值定理可用来近似求函数值泰勒中值定理可用来近似求函数值,并且并且 n 取得越大取得越大近似程度越好近似程度越好.解例10.写出函数(x)=ln(1+x)在 n=2 时的马克劳林展开式.34第三十四页，本课件共有34页