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1、第第03章多维随机变章多维随机变量及其分布量及其分布现在学习的是第1页，共198页第一节第一节二维随机变量及其二维随机变量及其分布函数分布函数现在学习的是第2页，共198页在实际问题中在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要同时用两个对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述或两个以上的随机变量来描述.某一地区学龄前儿童的发育情况某一地区学龄前儿童的发育情况,对于每个儿童都能对于每个儿童都能观察到他的身高观察到他的身高H和体重和体重W.在打靶时在打靶时,命中点的位置由两个坐标来确定的命中点的位置由两个坐标来确定的飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量飞机的重心在空中的位置是
2、由三个随机变量(三个三个坐标坐标)来确定来确定例如例如:现在学习的是第3页，共198页一般地一般地,设设是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是设设是定义在是定义在上的随机变量上的随机变量,由它们构成的一个由它们构成的一个维向维向量量叫做叫做维随机向量维随机向量或或维随机变维随机变量量.SeX(e)Y(e)现在学习的是第4页，共198页X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量对于任意实数对于任意实数二元二元函数函数称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数,或者称为随机或者称为随机变量变量和和的的联合分布函数联合分布函数.定义定义1设设是二维是二维随机变量随机
3、变量,一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数现在学习的是第5页，共198页 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的坐标坐标,那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在如下图中所示的落在如下图中所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释(x,y)xyO现在学习的是第6页，共198页 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域内的概率为内的概率为xyy1y2x1x2现在学习的是第7页，共198页分布函数分布
4、函数F(x,y)的基本性质的基本性质F(x,y)是变量是变量x和和y的不减函数的不减函数,即即对于任意固定的对于任意固定的y,当当x2x1时时F(x2,y)F(x1,y);对于任意固定的对于任意固定的x,当当y2y1时时F(x,y2)F(x,y1).对于任意固定的对于任意固定的y,F(-,y)=0,对于任意固定的对于任意固定的x,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1.0 F(x,y)1F(x,y)关于关于x和关于和关于y都右连续都右连续.任给任给(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y10,s s20,|r r|0,考虑在事件考虑在事件Y=yj条件下事件条件下事件X=xi发
5、生的概率发生的概率,也就是求条件概率也就是求条件概率PX=xi|Y=yj,i=1,2,.一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布现在学习的是第58页，共198页由条件概率公式由条件概率公式,可得可得易知上述条件概率具有分布律的性质易知上述条件概率具有分布律的性质:现在学习的是第59页，共198页定义定义设设(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对于固定的对于固定的j,若若PY=yj0,则称则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布律条件分布律.为在为在X=xi条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布律条件分布律.同样同样,对于固定的对于固定的
6、i,若若PX=xi0,则称则称现在学习的是第60页，共198页例例.一射手进行射击一射手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击直射击直至击中目标两次为止至击中目标两次为止.设以设以X表示首次击中目标所进行的表示首次击中目标所进行的射击次数射击次数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数,试求试求X和和Y的的联合分布律及条件分布律联合分布律及条件分布律.n次射击次射击击中击中2nn-11.m击中击中解：依题意，解：依题意，Y=n表示在第表示在第n次射击时击中目次射击时击中目标标,且在前且在前n-1次射击中有一次击中目标次射击中有一次击中目标.X=m表示首次击中目
7、标时射击了表示首次击中目标时射击了m次次现在学习的是第63页，共198页即得即得X和和Y的联合分布律为的联合分布律为PX=m,Y=n=p2qn-2,n=2,3,.;m=1,2,.,n-1.现在学习的是第64页，共198页于是，所求的条件分布律为于是，所求的条件分布律为现在学习的是第65页，共198页设设X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为关于关于的边缘概率密度为的边缘概率密度为,则称则称为在为在的条件下的条件下的的条件概率密度条件概率密度.记为记为称称为在为在的条件下的条件下,的的条件分布函数条件分布函数.记为记为定义定义2若对于固定若对于固定的的,二、连续型随机变量的条件分布二、连续型随
8、机变量的条件分布现在学习的是第66页，共198页即即类似地类似地,可以定义可以定义现在学习的是第67页，共198页定义的理解：定义的理解：以以为例为例现在学习的是第68页，共198页现在学习的是第69页，共198页解解由假设知随机变量由假设知随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度因为因为xy0y而而Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为:例例3设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)在圆域在圆域x2+y2 1上服从均匀分上服从均匀分布布,求条件概率密度求条件概率密度fX|Y(x|y).现在学习的是第70页，共198页于是于是当当-1y1时时有有现在学习的是第71页，共198页例例4设数设数X在区
9、间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=x(0 x1)时时,数数Y在区间在区间(x,1)上随机地取值上随机地取值.求求Y的的概率密度概率密度fY(y).对任意给定的值对任意给定的值x(0 x1),在在X=x条件下条件下,Y的条件概率的条件概率密度为密度为解解按题意按题意X具有概率密度具有概率密度现在学习的是第72页，共198页得得X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为于是得关于于是得关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为现在学习的是第73页，共198页第四节第四节随机变量的独立性随机变量的独立性现在学习的是第74页，共198页定义定义设设F(x,y)及及FX(x),F
10、Y(y)分别是二维随机分别是二维随机变量变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数的分布函数及边缘分布函数.若对若对于所有于所有x,y有有PX x,Y y=PX xPY y,即即F(x,y)=FX(x)FY(y),则称随机变量则称随机变量X和和Y是是相互独立相互独立的的.两事件 A,B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A,B 独立.F(x,y)=FX(x)FY(y),所有所有x,y现在学习的是第75页，共198页当当(X,Y)是是连续型随机变量连续型随机变量时时,f(x,y),fX(x),fY(y)分别分别为为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度的概率密度和边缘概率密度,则则X
11、和和Y相互独相互独立的条件等价于立的条件等价于f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立几乎处处成立(在平面上除去在平面上除去面积面积为零的集合以外为零的集合以外,处处成立处处成立).当当(X,Y)是是离散型随机变量离散型随机变量时时,X和和Y相互独立的条件相互独立的条件等价于等价于:对于对于(X,Y)的所有可能取的值的所有可能取的值(xi,yj)有有PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj即即 pij=pi.p.j现在学习的是第76页，共198页证明证明必要性必要性,若若X与与Y相互独立，则相互独立，则 现在学习的是第77页，共198页两边对两边对x及及y求导，有求导，有所以所以现在学
12、习的是第78页，共198页充分性，若充分性，若所以，所以，X与与Y相互独立相互独立现在学习的是第79页，共198页例例1、设随机变量设随机变量X和和Y的概率密度为的概率密度为故有故有f(x,y)=fX(x)fY(y),因而因而X,Y是相互独立的是相互独立的.现在学习的是第80页，共198页例例2若若X,Y具有联合分布律具有联合分布律X Y0111/62/621/62/6求证求证:X、Y是相互独立的是相互独立的.证明：验证对所有的证明：验证对所有的(xi,yj)有：有：PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yjPX=i1/21/2PY=j1/32/31现在学习的是第81页，共198页例例3随机变
13、量随机变量F和和D的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下:D F1234PF=i01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD=j1/104/102/103/101求证求证:随机变量随机变量F和和D不相互独立不相互独立证证:由于由于PF=0,D=1=1/10 PD=1PF=0=(1/10)(1/10).因而因而F和和D不是相互独立的不是相互独立的.现在学习的是第82页，共198页例例4:问二维正态随机变量问二维正态随机变量X和和Y是否相互独立？是否相互独立？其边缘概率密度其边缘概率密度的乘积为的乘积为:对比得出结论：二维正态随机变量对
14、比得出结论：二维正态随机变量X和和Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是解：解：(X,Y)的概率密度为的概率密度为现在学习的是第83页，共198页例设例设(X,Y)在圆域在圆域上服从上服从均匀分布，均匀分布，问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？解解依题意知依题意知(X,Y)的概率密度为的概率密度为 现在学习的是第84页，共198页现在学习的是第85页，共198页同理可得同理可得显然显然由定理由定理3.2知知,X与与Y在圆域在圆域上上不相互独立不相互独立现在学习的是第86页，共198页练习练习:已知已知其它其它试判断试判断X，Y的独立性的独立性解解:(1)求求当当0 x1时时其它其它xy
15、01现在学习的是第87页，共198页故故其它其它当当时时时时当当其它其它所以所以显显然然X与与Y不不独独立立XY现在学习的是第88页，共198页我们已经知道，我们已经知道，设设(X,Y)是连续型是连续型R.V.，若对，若对x,y,有有几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互独立相互独立.由条件密度的定义：由条件密度的定义：可知，当可知，当X与与Y相互独立时，相互独立时，也可用此条件判别二维连续型也可用此条件判别二维连续型R.V.(X,Y)的两个分量的两个分量X与与Y是否相互独立是否相互独立.现在学习的是第89页，共198页对离散型对离散型R.V.有类似的结论，请同学们有类似的结论，请同学
16、们自行给出自行给出.现在学习的是第90页，共198页例例5一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘他的秘书到达办公室的时间均匀分布在书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们到达的时间相设他们到达的时间相互独立互独立,求他们到达时间相差不超过求他们到达时间相差不超过5分钟分钟(1/12小时小时)的概率的概率.因为因为X,Y相互独立相互独立,故故(X,Y)的概率密度为的概率密度为解解：设：设X和和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间,由假设由假设X和和Y的概率密度分别为的概率密度分别为现在学习的是第91页，
17、共198页而而G的面积的面积=ABC的面积的面积-ABC的面积的面积即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过过5分钟的概率为分钟的概率为1/48.按题意需要求概率按题意需要求概率P|X-Y|1/12.画出区域画出区域:|x-y|1/12,以及长方形以及长方形8x12;7yz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数的分布函数由于由于X 和和Y相互独立相互独立,于是得到于是得到N=min(X,Y)的分布函的分布函数为数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)现在学习的是第118页，共198页设设X1,Xn 是是n
18、 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布它们的分布函数分别为函数分别为(i=1,n)N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是则则M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:推广推广特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有现在学习的是第119页，共198页例例5设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统连接而成连接而成,连接的方式分别为连接的方式分别为(i)串联串联,(ii)并联并联,(iii)备用备用(当系统当系统损坏时损坏时,系统系统开始工作开始工作),如下图如下图所示所示.设设的寿命分
19、别为的寿命分别为已知它们的概率密已知它们的概率密度分别为度分别为其中其中且且试分别就以上三种连接方试分别就以上三种连接方式写出式写出的寿命的寿命的概率密度的概率密度.XYXYXY现在学习的是第120页，共198页XY解解(i)串联的情况串联的情况由于当系统由于当系统中有一个损坏时中有一个损坏时,系统系统L就停就停止工作止工作,所以此时所以此时L的寿命为的寿命为因为因为X的概率密度为的概率密度为所以所以X的分布函数为的分布函数为现在学习的是第121页，共198页当当x0时时,当当x0时时,故故类似地类似地,可求得可求得Y的分布函数为的分布函数为现在学习的是第122页，共198页于是于是的分布函数
20、为的分布函数为=1-1-FX(z)1-FY(z)的概率密度为的概率密度为现在学习的是第123页，共198页XY(ii)并联的情况并联的情况由于当且仅当系统由于当且仅当系统都损坏时都损坏时,系统系统L才停才停止工作止工作,所以此时所以此时L的寿命为的寿命为故故的分布函数为的分布函数为现在学习的是第124页，共198页XY于是于是的概率密度为的概率密度为(iii)备用的情况备用的情况因此整个系统因此整个系统L的寿命为的寿命为由于当系统由于当系统损坏时损坏时,系统系统才开始工作才开始工作,现在学习的是第125页，共198页当当z0时时,当当z 0时时,当且仅当当且仅当即即时时,上述积分的被积函数不等
21、于零上述积分的被积函数不等于零.故故现在学习的是第126页，共198页于是于是的概率密度为的概率密度为现在学习的是第127页，共198页（四）（四）现在学习的是第136页，共198页解：因解：因X与与Y相互独立，故其联合密度为相互独立，故其联合密度为现在学习的是第137页，共198页当当z0时，时，现在学习的是第138页，共198页于是，于是，从而，从而，Z的密度函数为的密度函数为我们称我们称Z服从参数为服从参数为的瑞利的瑞利(Rayleigh)分布分布.现在学习的是第139页，共198页第五节主要内容：第五节主要内容：1.二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布2.二维连续性
22、随机变量函数的分布二维连续性随机变量函数的分布Z=X+YZ=max(X,Y)和和Z=min(X,Y)Z=X/YZ=现在学习的是第140页，共198页特别地，当特别地，当X 和和Y 独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y 的边缘密的边缘密度分别为度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:现在学习的是第141页，共198页FMax(z)=FX(z)FY(z)Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)现在学习的是第142页，共198页Z=X/Y:现在学习的是第143页，共198页练习练习现在学习的是第144页，共198页现在学习的是第145页，共198页现在学习的是第14
23、6页，共198页现在学习的是第147页，共198页现在学习的是第148页，共198页现在学习的是第149页，共198页现在学习的是第150页，共198页现在学习的是第151页，共198页以上两种方法都行之有效，以上两种方法都行之有效，我们必须熟练掌握。我们必须熟练掌握。z现在学习的是第152页，共198页例 设随机变量 在区域 上服从均匀分布，求 的分布函数和密度函数。解：现在学习的是第153页，共198页现在学习的是第154页，共198页现在学习的是第155页，共198页第三章知识要点：第三章知识要点：二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布离散型：联合分布律离散型：联合分布律连续型：联
24、合概率密度连续型：联合概率密度二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布离散型：边缘分布律离散型：边缘分布律连续型：边缘概率密度连续型：边缘概率密度随机变量的独立性随机变量的独立性二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布联合分布联合分布现在学习的是第156页，共198页正态分布的一些相关结论：正态分布的一些相关结论：则则X与与Y独立独立（X,Y）服从二维正态分布）服从二维正态分布二维正态分布的边缘分布仍为正态分布二维正态分布的边缘分布仍为正态分布设设X,Y相互独立相互独立,且且XN(m m1,s s12),YN(m m2,s s22).则则Z=X+Y仍然服从正态分布仍然服从正态分布,且有
25、且有ZN(m m1+m m2,s s12+s s22).现在学习的是第157页，共198页习题习题现在学习的是第158页，共198页一、填空题一、填空题设设则则解解因为因为所以所以又因为又因为故故现在学习的是第159页，共198页已知已知 的分布律为的分布律为且且 与与 独立独立,则则解解现在学习的是第160页，共198页因为因为 与与 独立独立,所以所以即即联立联立得到得到现在学习的是第161页，共198页二、选择题二、选择题已知已知 相互独立相互独立,且分布律为且分布律为那么下列结论正确的是那么下列结论正确的是_.以上都不正确以上都不正确现在学习的是第162页，共198页解解因为因为 相互
26、独立相互独立,所以所以故故现在学习的是第163页，共198页设离散型随机变量设离散型随机变量 的联合分布律为的联合分布律为且且 相互独立相互独立,则则_.现在学习的是第164页，共198页解解所以所以即即因为因为 相互独立相互独立,又因为又因为故故解得解得或者或者现在学习的是第165页，共198页设设那么那么的联合分布为的联合分布为_.二维正态分布二维正态分布,且且二维正态分布二维正态分布,且且 不定不定未必是二维正态分布未必是二维正态分布以上都不对以上都不对当当 相互独立相互独立时时,则则 的联的联合分布为合分布为 .现在学习的是第166页，共198页三、解答题三、解答题1.把一枚均匀硬币抛
27、掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次,设设X为三次抛掷中正为三次抛掷中正面出现的次数面出现的次数,而而Y 为正面出现次数与反面出现次数之为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值差的绝对值,求求(X,Y)的分布律与边缘分布的分布律与边缘分布.(X,Y)可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1PX=2,Y=1PX=3,Y=0=3/8=3/8解解现在学习的是第167页，共198页PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0,Y=1+PX=0,Y=3=3/8,PX=1,Y=1+PX=1,Y=3=3/8,PX=2,Y=1+PX=2
28、,Y=3PX=3,Y=1+PX=3,Y=3=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.(X,Y)关于关于X的边缘分布的边缘分布(X,Y)关于关于Y的边缘分布的边缘分布现在学习的是第168页，共198页 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 的联合分布函的联合分布函数为数为求求 的值的值,求求 的联合密度的联合密度,判断判断 的独立性的独立性.现在学习的是第169页，共198页解解由由得到得到解得解得现在学习的是第170页，共198页可见可见故故 相互独立相互独立.现在学习的是第171页，共198页的联合密度为的联合密度为 现在学习的是第172页，共198页可见可见故故 相
29、互独立相互独立.现在学习的是第173页，共198页设设 相互独立且服从相互独立且服从 ,求方程求方程有实根的概率有实根的概率,并求当并求当 时这时这概率的极限概率的极限.解解相互独立且服从相互独立且服从 ,所以所以的联合密度为的联合密度为方程方程 有实根的概率为有实根的概率为现在学习的是第174页，共198页现在学习的是第175页，共198页当当 时时,现在学习的是第176页，共198页当当 时时,现在学习的是第177页，共198页因而因而可见可见现在学习的是第178页，共198页4.设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求(1)A的值的值(2)(X,Y)的分布函数的分布函数(3)两个边缘密
30、度两个边缘密度.A=24.解解(1)故故现在学习的是第179页，共198页积分区域积分区域区域区域(2)当当 时时,不论不论 还是还是 ,都有都有现在学习的是第180页，共198页当当 时时,当当 时时,现在学习的是第181页，共198页当当 时时,当当 时时,现在学习的是第182页，共198页 当当 时时,当当 时时,现在学习的是第183页，共198页综上综上现在学习的是第184页，共198页(3)当当时时当当时时,现在学习的是第185页，共198页综上综上,当当时时,现在学习的是第186页，共198页现在学习的是第187页，共198页综上综上,现在学习的是第188页，共198页5.设设(X
31、,Y)的概率密度是的概率密度是(1)X与与Y是否相互独立是否相互独立?(2)求求(3)求求概率密度概率密度.解解(1)因为因为所以所以X与与Y不独立不独立.现在学习的是第189页，共198页(2)当当 时时,故故暂时固定现在学习的是第190页，共198页当当 时时,故故现在学习的是第191页，共198页(3)Z=X+Y的密度函数为的密度函数为现在学习的是第192页，共198页当当 时时,当当 时时,当当 时时,现在学习的是第193页，共198页练习练习:设二维随机变量设二维随机变量其它其它(2)求求(1)求求A(4)(5)的分布密度的分布密度.(3)X,Y是否独立是否独立?现在学习的是第194
32、页，共198页四、证明题四、证明题在区间在区间0,1上随机地投掷两点上随机地投掷两点,试证这两点间的距试证这两点间的距离的密度函数为离的密度函数为证明证明设这两个随机点分别为设这两个随机点分别为X,Y,则有则有于是于是X,Y的概率密度的概率密度分别为分别为现在学习的是第195页，共198页所以所以X,Y的联合密度为的联合密度为因为因为X,Y相互独立相互独立,这两个随机点这两个随机点X,Y的距离为的距离为.Z的分布函数为的分布函数为现在学习的是第196页，共198页当当 时时,当当 时时,当当 时时,当当 时时,现在学习的是第197页，共198页当当 时时,综上综上现在学习的是第198页，共198页