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1、第三章 多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度11 二维随机变量问题的提出例1：探讨某一地区学龄儿童的发育状况。仅探讨身 高H的分布或仅探讨体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，探讨身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：探讨某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置须要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定义在同一样本空间的两个随机变
2、量。2定义：设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。定义：设(X,Y)是二维随机变量,对于随意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。0Se3分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)4x2y1x1y25二维离散型随机变量定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。y1y2 yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij离散型随机变量的联合概率分布：为二维
3、离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表格表示：6 分布律的性质例1：设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。YX12344000120300解：(X=i,Y=j)的取值状况为：i=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。即(X,Y)的联合概率分布为：78 二维连续型随机变量9 10 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：解：11例：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：1213例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度(1)(1)求常数k；(2)求概率(1)解：1142 边缘分布二维随机
4、变量(X,Y)作为整体，有分布函数其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数记为：称为边缘分布函数边缘分布函数。事实上，15对于离散型离散型随机变量(X,Y)，分布律为p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的边缘分布律为：留意：16对于连续型连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上，同理：X,Y的边缘概率密度为：1700.0250.350.04YX0102010.02520.020 0.100.250.150.04X0210.3700.415 0.215pY020100.3150.395 0.290p18 例2：(X,Y)的联合
5、分布律为 求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3)YX-1100.20.1a120.1 0.2bX10.420.6Y0.3 0.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.419 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上听从匀整分布。现设(X,Y)在有界区域上匀整分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：20 21223 条件分布由条件概率公式可得：当i取遍全部可能的值，就得到了条件分布律。23定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的yj，同样，对于固定的xi，24 例1：盒子
6、里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中 任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布律；（2）X=1时Y的条件分布律；(3)Y=0时X的条件分布律。解：X,Y的联合分布律为XY 01 201/154/152/1513/154/15021/150025故在X=1的条件下，Y的分布律为：同理P(Y=0)=1/3，故在Y=0的条件下，X的分布律为：XY 01 201/154/152/1513/154/15021/1500X0121/53/51/5Y0123/74/7026 例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射 击直中目标两次为止，设以X表示首次击中目
7、标所进行的 射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联 合分布律和条件分布律。解：2728 例3：设参与考研的学生，正常发挥的概率为a,超常发挥的概率为b，发挥失常的概率为c，a+b+c=1。设某班有10人参与考研，发挥正常的人数为X，发挥超常的人数为Y。求（1）（X,Y)的联合分布律；（2）P(X+Y1)；（3）在Y=3的条件下，X的分布律。解:(1)X,Y的联合分布律为2930联合分布回顾:(X,Y)31二维离散型随机变量y1y2 yjXYp11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pij离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。可以用如右表
8、格表示：32 二维连续型随机变量33边缘分布 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：称为边缘分布函数边缘分布函数。34对于离散型离散型随机变量(X,Y)，分布律为p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的边缘分布律为：留意：35对于连续型连续型随机变量(X,Y)，概率密度为 X,Y的边缘概率密度为：36 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的yj，同样，对于固定的xi，条件分布37定义：条件分布函数38定义：条件概率密度39 40也就是，由事实上，另一种说明41条件
9、概率密度的直观意义：42 例4：设二维随机变量(X,Y)在区域 内匀整分布，求条件概率密度二维匀整分布的条件 分布仍为匀整分布 解：依据题意，(X,Y)的概率密度为：Y的边缘概率密度为：于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：4344说明说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布联合分布条件分布函数与条件密度函数的关系条件分布函数与条件密度函数的关系边缘分布边缘分布条件分布条件分布联合分布联合分布454 相互独立的随机变量46例1：1例2中X和Y是否相互独立？即(X,Y)具有概率密度请问：连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？计算得
10、，X和Y的边缘概率密度分别为：47XY01P(X=j)12P(Y=i)XY01P(X=j)12P(Y=i)48 49 505152 一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 53 54 边缘分布边缘分布 如：55 相互独立相互独立 56 定理1：定理2：575 两个随机变量的函数的分布58 59 6061例3：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。解：由卷积公式：一般：设一般：设X,YX,Y相互独立，相互独立，62 例4：X,Y相互独立，同时听从0,1上的匀整分布，求 的概率密度。xx=zz120 x=z-1 1 解：依据卷积公式：易知仅当参考图得：6
11、3 例5：设X,Y相互独立、听从相同的指数分布，概率密度为：求 的概率密度。解：依据卷积公式：64一般的，可以证明：一般的，可以证明：若若X,YX,Y相互独立，且分别听从参数为相互独立，且分别听从参数为X,YX,Y的概率密度分别为的概率密度分别为证明：这是例证明：这是例3 3的推广，由卷积公式的推广，由卷积公式由此可知：65 66推广到推广到n n个相互独立的随机变量的状况个相互独立的随机变量的状况设设X1,X2,XnX1,X2,Xn是是n n个相互独立的随机变量，它们的个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：分布函数分别为：则：则：6768 例7：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2
12、联结而成，联结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2起先工作)。如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L169A.A.串联的状况串联的状况B.B.由于当由于当L1,L2L1,L2中由一个损坏时，系统中由一个损坏时，系统L L就停止工作，就停止工作，所以所以L L的寿命为的寿命为Z=min(X,Y)Z=min(X,Y)；C.C.而而X,YX,Y的分布函数分别为：的分布函数分别为：D.D.故故Z Z的分布函数为：的分布函数为：E.E.于是于是Z Z的概率
13、密度为：的概率密度为：即Z仍听从指数分布L1L270B.B.并联的状况并联的状况C.C.D.D.由于当且仅当由于当且仅当L1,L2L1,L2都损坏时，系统都损坏时，系统L L才停止工作，才停止工作，所以这时所以这时L L的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)Z=max(X,Y)，Z Z的分布函数为：的分布函数为：E.E.于是于是Z Z的概率密度为：的概率密度为：L1L271C.C.备用的状况备用的状况D.D.E.E.由于这时当系统由于这时当系统L1L1损坏时，系统损坏时，系统L2L2才起先工作，才起先工作，因此整个系统因此整个系统L L的寿命的寿命Z Z是是L1,L2L1,L2寿命之和，即寿命之和，即Z=X+YZ=X+Y；F.F.因此：因此：L1L272复习思索题复习思索题 3 31.设(X,Y)为二维向量，则Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1,y1),对吗？2.设(X,Y)为二维连续量，则PX+Y=1=0,对吗？3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使f(x0,y0)fX(x0)fY(y0)则X和Y不独立，对吗？73课件结束!10/31/2022