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1、第第03章多维随机变量章多维随机变量及其分布及其分布第1页，本讲稿共198页第一节第一节二维随机变量及其二维随机变量及其分布函数分布函数第2页，本讲稿共198页 在实际问题中,对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.某一地区学龄前儿童的发育情况某一地区学龄前儿童的发育情况,对于每个儿对于每个儿童都能观察到他的身高童都能观察到他的身高H和体重和体重W.在打靶时在打靶时,命中点的位置由两个坐标来确定的命中点的位置由两个坐标来确定的飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标三个坐标)来确定来确定例如例如:第3页，本讲稿共198页一般
2、地,设 是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向量叫做 维随机向量或 维随机变量.SeX(e)Y(e)第4页，本讲稿共198页X的分布函数 一维随机变量对于任意实数二元 函数称为二维随机变量 的分布函数,或者称为随机变量 和 的联合分布函数.定义1设 是二维随机变量,一、二维随机变量的分布函数一、二维随机变量的分布函数第5页，本讲稿共198页 将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在如下图中所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释(x,y)xyO第6页，本讲稿共1
3、98页 随机点 落在矩形域内的概率为xyy1y2x1x2第7页，本讲稿共198页分布函数分布函数F(x,y)的基本性质的基本性质F(x,y)是变量是变量x和和y的不减函数的不减函数,即即对于任意固定的对于任意固定的y,当当x2x1时时F(x2,y)F(x1,y);对于任意固定的对于任意固定的x,当当y2y1时时F(x,y2)F(x,y1).对于任意固定的对于任意固定的y,F(-,y)=0,对于任意固定的对于任意固定的x,F(x,-)=0,F(-,-)=0,F(+,+)=1.0 F(x,y)1F(x,y)关于关于x和关于和关于y都右连续都右连续.任给任给(x1,y1),(x2,y2),x1x2,
4、y10,s s20,|r r|0,考虑在事件考虑在事件Y=yj条件下事件条件下事件X=xi发生的概发生的概率率,也就是求条件概率也就是求条件概率PX=xi|Y=yj,i=1,2,.一、离散型随机变量的条件分布第58页，本讲稿共198页由条件概率公式由条件概率公式,可得可得易知上述条件概率具有分布律的性质易知上述条件概率具有分布律的性质:第59页，本讲稿共198页定义定义设设(X,Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,对于固定的对于固定的j,若若PY=yj0,则称则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布律条件分布律.为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.同样,对
5、于固定的i,若PX=xi0,则称第60页，本讲稿共198页例例.一射手进行射击一射手进行射击,击中目标的概率为击中目标的概率为p(0p1),射击直至击中目标两次为止射击直至击中目标两次为止.设以设以X表示首次击中目标所表示首次击中目标所进行的射击次数进行的射击次数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数,试求试求X和和Y的联合分布律及条件分布律的联合分布律及条件分布律.n次射击击中2nn-11.m击中解：依题意，解：依题意，Y=n表示在第表示在第n次射击时击中目次射击时击中目标标,且在前且在前n-1次射击中有一次击中目标次射击中有一次击中目标.X=m表示首次击中目标时射击了表示首次
6、击中目标时射击了m次次第63页，本讲稿共198页即得即得X和和Y的联合分布律为的联合分布律为PX=m,Y=n=p2qn-2,n=2,3,.;m=1,2,.,n-1.第64页，本讲稿共198页于是，所求的条件分布律为于是，所求的条件分布律为第65页，本讲稿共198页 设 X 和 Y 的联合概率密度为 关于 的边缘概率密度为 ,则称 为在 的条件下 的条件概率密度.记为称 为在 的条件下,的条件分布函数.记为记为定义2若对于固定的 ,二、连续型随机变量的条件分布第66页，本讲稿共198页即类似地,可以定义第67页，本讲稿共198页定义的理解：以为例 第68页，本讲稿共198页第69页，本讲稿共19
7、8页解解由假设知随机变量由假设知随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度因为因为xy0y而而Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为:例3 设二维随机变量(X,Y)在圆域x2+y21上服从均匀分布,求条件概率密度fX|Y(x|y).第70页，本讲稿共198页于是于是当当-1y1时时有有第71页，本讲稿共198页例例4设数设数X在区间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=x(0 x1)时时,数数Y在区间在区间(x,1)上随机地取值上随机地取值.求求Y的的概率密度概率密度fY(y).对任意给定的值对任意给定的值x(0 x1),在在X=x条件下条件下,Y的条件概率密的条件概率密度
8、为度为解解按题意按题意X具有概率密度具有概率密度第72页，本讲稿共198页得得X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为于是得关于于是得关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为第73页，本讲稿共198页第四节第四节随机变量的独立性随机变量的独立性第74页，本讲稿共198页定义定义设设F(x,y)及及FX(x),FY(y)分别是二维随机分别是二维随机变量变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数的分布函数及边缘分布函数.若对若对于所有于所有x,y有有PX x,Y y=PX xPY y,即即F(x,y)=FX(x)FY(y),则称随机变量则称随机变量X和和Y是是相互独立相互独立的的.两事件 A,B 独立的
9、定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A,B 独立.F(x,y)=FX(x)FY(y),所有所有x,y第75页，本讲稿共198页当当(X,Y)是是连续型随机变量连续型随机变量时时,f(x,y),fX(x),fY(y)分分别为别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度的概率密度和边缘概率密度,则则X和和Y相互相互独立的条件等价于独立的条件等价于f(x,y)=fX(x)fY(y)几乎处处成立几乎处处成立(在平面上除去在平面上除去面积面积为零的集合以外为零的集合以外,处处处成立处成立).当(X,Y)是离散型随机变量时,X和Y相互独立的条件等价于:对于(X,Y)的所有可能取的值(xi,yj)有P
10、X=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj即 pij=pi.p.j第76页，本讲稿共198页证明 必要性,若X与Y相互独立，则 第77页，本讲稿共198页两边对x及y求导，有 所以所以第78页，本讲稿共198页 充分性，若 所以，所以，X与与Y相互独立相互独立第79页，本讲稿共198页例例1、设随机变量设随机变量X和和Y的概率密度为的概率密度为故有故有f(x,y)=fX(x)fY(y),因而因而X,Y是相互独立的是相互独立的.第80页，本讲稿共198页例例2若若X,Y具有联合分布律具有联合分布律X Y0111/62/621/62/6求证:X、Y是相互独立的.证明：验证对所有的证明：验证对所有的(
11、xi,yj)有：有：PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yjPX=i1/21/2PY=j1/3 2/31第81页，本讲稿共198页例例3随机变量随机变量F和和D的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下:D F1234PF=i01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD=j1/104/102/103/101求证:随机变量F和D不相互独立证证:由于由于PF=0,D=1=1/10 PD=1PF=0=(1/10)(1/10).因而因而F和和D不是相互独立的不是相互独立的.第82页，本讲稿共198页例例4:问二维正态随机变量问二维正态随机变量
12、X和和Y是否相互独立？是否相互独立？其边缘概率密度其边缘概率密度的乘积为的乘积为:对比得出结论：二维正态随机变量对比得出结论：二维正态随机变量X和和Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是解：解：(X,Y)的概率密度为的概率密度为第83页，本讲稿共198页例设(X,Y)在圆域 上服从均匀分布，问X与Y是否相互独立？解解依题意知依题意知(X,Y)的概率密度为的概率密度为 第84页，本讲稿共198页第85页，本讲稿共198页同理可得同理可得显然显然由定理由定理3.2知知,X与与Y在圆域在圆域上上不相互独立不相互独立第86页，本讲稿共198页练习:已知其它试判断X，Y 的独立性解:(1)求当当0
13、x1时时其它xy01第87页，本讲稿共198页故其它当时时当其它所以显显然然X与与Y不不独独立立XY第88页，本讲稿共198页我们已经知道，我们已经知道，设(X,Y)是连续型R.V.，若对x,y,有几乎处处成立，则称X,Y相互独立.由条件密度的定义：由条件密度的定义：可知，当可知，当X与与Y相互独立时，相互独立时，也可用此条件判别二维连续型也可用此条件判别二维连续型R.V.(X,Y)的两个分量的两个分量X与与Y是否相互独立是否相互独立.第89页，本讲稿共198页对离散型R.V.有类似的结论，请同学们自行给出.第90页，本讲稿共198页例例5一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的
14、时间均匀分布在812时时,他的秘他的秘书到达办公室的时间均匀分布在书到达办公室的时间均匀分布在79时时,设他们到达的时间相设他们到达的时间相互独立互独立,求他们到达时间相差不超过求他们到达时间相差不超过5分钟分钟(1/12小时小时)的概率的概率.因为因为X,Y相互独立相互独立,故故(X,Y)的概率密度为的概率密度为解解：设：设X和和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间时间,由假设由假设X和和Y的概率密度分别为的概率密度分别为第91页，本讲稿共198页而而G的面积的面积=ABC的面积的面积-ABC的面积的面积即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超即负责人
15、和他的秘书到达办公室的时间相差不超过过5分钟的概率为分钟的概率为1/48.按题意需要求概率P|X-Y|1/12.画出区域:|x-y|1/12,以及长方形8x12;7yz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)第118页，本讲稿共198页设设X1,Xn 是是n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们它们的分布函数分别为的分布函数分别为(i=1,n)N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是则则M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函
16、数为:推广特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布相互独立且具有相同分布函数函数F(x)时，有时，有第119页，本讲稿共198页 例5 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统 损坏时,系统 开始工作),如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.XYXYXY第120页，本讲稿共198页XY解 (i)串联的情况 由于当系统 中有一个损坏时,系统 L 就停止工作,所以此时 L 的寿命为因为 X 的概率密度为所以 X 的分布函数为第121页，本讲稿
17、共198页当 x 0 时,当 x 0 时,故 类似地,可求得 Y 的分布函数为第122页，本讲稿共198页于是 的分布函数为=1-1-FX(z)1-FY(z)的概率密度为第123页，本讲稿共198页XY(ii)并联的情况 由于当且仅当系统 都损坏时,系统 L 才停止工作,所以此时 L 的寿命为故 的分布函数为第124页，本讲稿共198页XY于是 的概率密度为(iii)备用的情况因此整个系统 L 的寿命为 由于当系统 损坏时,系统 才开始工作,第125页，本讲稿共198页当 z 0 时,当 z 0 时,当且仅当即 时,上述积分的被积函数不等于零.故第126页，本讲稿共198页于是 的概率密度为第
18、127页，本讲稿共198页（四）第136页，本讲稿共198页解：因X与Y相互独立，故其联合密度为第137页，本讲稿共198页当z0时，第138页，本讲稿共198页于是，从而，Z的密度函数为我们称Z服从参数为 的瑞利(Rayleigh)分布.第139页，本讲稿共198页第五节主要内容：1.二维离散型随机变量函数的分布2.二维连续性随机变量函数的分布Z=X+YZ=max(X,Y)和Z=min(X,Y)Z=X/YZ=第140页，本讲稿共198页 特别地，当 X 和 Y 独立，设(X,Y)关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x),fY(y),则上述两式化为:第141页，本讲稿共198页FMax(z)
19、=FX(z)FY(z)Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)第142页，本讲稿共198页Z=X/Y:第143页，本讲稿共198页练习第144页，本讲稿共198页第145页，本讲稿共198页第146页，本讲稿共198页第147页，本讲稿共198页第148页，本讲稿共198页第149页，本讲稿共198页第150页，本讲稿共198页第151页，本讲稿共198页以上两种方法都行之有效，以上两种方法都行之有效，我们必须熟练掌握。我们必须熟练掌握。z第152页，本讲稿共198页例 设随机变量 在区域 上服从均匀分布，求 的分布函数和密度函数。解：第153页，本讲稿共198页第154页，本讲稿共1
20、98页第155页，本讲稿共198页第三章知识要点：第三章知识要点：二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布离散型：联合分布律离散型：联合分布律连续型：联合概率密度连续型：联合概率密度二维随机变量的边缘分布二维随机变量的边缘分布离散型：边缘分布律离散型：边缘分布律连续型：边缘概率密度连续型：边缘概率密度随机变量的独立性随机变量的独立性二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布联合分布第156页，本讲稿共198页正态分布的一些相关结论：正态分布的一些相关结论：则X与Y独立（X,Y）服从二维正态分布二维正态分布的边缘分布仍为正态分布二维正态分布的边缘分布仍为正态分布设设X,Y相互独立相互独立,
21、且且XN(m m1,s s12),YN(m m2,s s22).则则Z=X+Y仍然服从正态分布仍然服从正态分布,且有且有ZN(m m1+m m2,s s12+s s22).第157页，本讲稿共198页习题习题第158页，本讲稿共198页一、填空题设则解解因为因为所以所以又因为又因为故故第159页，本讲稿共198页已知 的分布律为且 与 独立,则解解第160页，本讲稿共198页因为 与 独立,所以即联立得到第161页，本讲稿共198页二、选择题已知 相互独立,且分布律为那么下列结论正确的是_.以上都不正确第162页，本讲稿共198页解因为 相互独立,所以故第163页，本讲稿共198页设离散型随机
22、变量 的联合分布律为且 相互独立,则_.第164页，本讲稿共198页解所以即因为 相互独立,又因为故解得或者第165页，本讲稿共198页设那么的联合分布为_.二维正态分布,且二维正态分布,且 不定未必是二维正态分布以上都不对当 相互独立时,则 的联合分布为 .第166页，本讲稿共198页三、解答题 1.把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数,而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律与边缘分布.(X,Y)可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)PX=0,Y=3PX=1,Y=1PX=2,Y=1PX=3,Y=0=3/8=3/8解解第16
23、7页，本讲稿共198页PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0,Y=1+PX=0,Y=3=3/8,PX=1,Y=1+PX=1,Y=3=3/8,PX=2,Y=1+PX=2,Y=3PX=3,Y=1+PX=3,Y=3=1/8.=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.(X,Y)关于 X 的边缘分布(X,Y)关于 Y 的边缘分布 第168页，本讲稿共198页 设二维连续型随机变量 的联合分布函数为求 的值,求 的联合密度,判断 的独立性.第169页，本讲稿共198页解由得到解得第170页，本讲稿共198页可见故 相互独立.第171页，本讲稿共198页的联合
24、密度为 第172页，本讲稿共198页可见故 相互独立.第173页，本讲稿共198页设 相互独立且服从 ,求方程有实根的概率,并求当 时这概率的极限.解解相互独立且服从 ,所以所以的联合密度为方程 有实根的概率为第174页，本讲稿共198页第175页，本讲稿共198页当 时,第176页，本讲稿共198页当 时,第177页，本讲稿共198页因而可见第178页，本讲稿共198页4.设(X,Y)的概率密度是求(1)A的值 (2)(X,Y)的分布函数 (3)两个边缘密度.A=24.解解(1)故故第179页，本讲稿共198页积分区域区域 (2)当 时,不论 还是 ,都有第180页，本讲稿共198页当 时,
25、当 时,第181页，本讲稿共198页当 时,当 时,第182页，本讲稿共198页 当 时,当 时,第183页，本讲稿共198页综上第184页，本讲稿共198页(3)当 时当 时,第185页，本讲稿共198页综上,当 时,第186页，本讲稿共198页第187页，本讲稿共198页综上,第188页，本讲稿共198页5.设(X,Y)的概率密度是(1)X 与Y 是否相互独立?(2)求 (3)求 概率密度.解解(1)因为因为所以所以X与与Y不独立不独立.第189页，本讲稿共198页(2)当 时,故暂时固定第190页，本讲稿共198页当 时,故第191页，本讲稿共198页(3)Z=X+Y 的密度函数为第19
26、2页，本讲稿共198页当 时,当 时,当 时,第193页，本讲稿共198页练习:设二维随机变量其它(2)求(1)求求A(4)(5)的分布密度.(3)X,Y是否独立是否独立?第194页，本讲稿共198页四、证明题在区间 0,1上随机地投掷两点,试证这两点间的距 离的密度函数为证明证明设这两个随机点分别为设这两个随机点分别为X,Y,则有则有于是于是X,Y的概率密度的概率密度分别为分别为第195页，本讲稿共198页所以 X,Y 的联合密度为 因为 X,Y 相互独立,这两个随机点 X,Y 的距离为 .Z 的分布函数为第196页，本讲稿共198页当 时,当 时,当 时,当 时,第197页，本讲稿共198页当 时,综上第198页，本讲稿共198页