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1、概率论多维随机变量及其分布函数你现在浏览的是第一页，共36页3.1 3.1 二维二维随机变量随机变量一、二维一、二维随机变量随机变量及其分布函数及其分布函数二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布四、两个常用的分布你现在浏览的是第二页，共36页1.定义定义一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数若若 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=e，设设 X=X(e)和和 Y=Y(e)是定义在是定义在 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做，叫做二
2、维随机向量二维随机向量，或，或二二维随机变量。维随机变量。图示图示你现在浏览的是第三页，共36页注意事项注意事项(1)向量向量(X,Y)是一个整体是一个整体,其性质不仅与其性质不仅与 X、Y 有关有关,而且而且还依赖于这两个随机变量的相互关系还依赖于这两个随机变量的相互关系.(2)向量向量(X,Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点从几何上看可以作为一个平面上随机点.2.实例实例实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前儿童的区学前儿童的发育情况发育情况,则儿童的身高则儿童的身高 H 和体和体重重
3、 W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量(H,W).你现在浏览的是第四页，共36页3.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义分布函数的定义(2)分布函数的几何意义分布函数的几何意义你现在浏览的是第五页，共36页且有且有(3)分布函数的性质分布函数的性质你现在浏览的是第六页，共36页证证某一二元函数是二维随机变量分布函数某一二元函数是二维随机变量分布函数 该函数具有以上四条性质。该函数具有以上四条性质。可以证明可以证明你现在浏览的是第七页，共36页(4)一个重要的公式一个重要的公式(X,Y)yxox1x2y1y2(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)
4、则则你现在浏览的是第八页，共36页4.n 维随机变量维随机变量(2)n维随机变量的联合分布函数维随机变量的联合分布函数(1)定义定义为联合分布函数为联合分布函数.你现在浏览的是第九页，共36页二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量1.定义定义 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限所取的可能值是有限对或无限可列多对可列多对,则称则称(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律你现在浏览的是第十页，共36页二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合分布律也可表示为的联合分布律也可表示为3.联合分布律的性
5、质联合分布律的性质你现在浏览的是第十一页，共36页例例1解解由乘法公式得由乘法公式得你现在浏览的是第十二页，共36页你现在浏览的是第十三页，共36页抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一支红笔一支红笔例例2从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色圆珠笔的支绿色圆珠笔的盒子里盒子里,随机抽取两支随机抽取两支,若若 X、Y 分别表示抽出的蓝分别表示抽出的蓝笔数和红笔数笔数和红笔数,求求(X,Y)的分布律的分布律.解解(X,Y )所取的可能值是所取的可能值是抽取一支蓝笔抽取一支蓝笔,一支红笔一支红笔你现在浏览的是第十四页，共36页综合之所求分布律为综合之
6、所求分布律为你现在浏览的是第十五页，共36页4.二维离散型随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的联合分布函数一般不好写出！一般不好写出！你现在浏览的是第十六页，共36页(X,Y )的可能取值为的可能取值为例例3一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1,2,2,从中任取一从中任取一个个,不放回袋中不放回袋中,再任取一个再任取一个,设每次取球时设每次取球时,各球被取各球被取到的可能性相等到的可能性相等,以以 X,Y 分别记第一次和第二次取到的分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字球上标有的数字,求求 (X,Y)的分布律与分布函数的分布律与分布函数.解解故故(X,Y )的
7、分布律为的分布律为你现在浏览的是第十七页，共36页下面求分布函数下面求分布函数.你现在浏览的是第十八页，共36页你现在浏览的是第十九页，共36页所以所以(X,Y)的分布函数为的分布函数为你现在浏览的是第二十页，共36页练习练习解解你现在浏览的是第二十一页，共36页离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为说明说明你现在浏览的是第二十二页，共36页三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量1.定义定义使得对于任意的使得对于任意的 x,y有有你现在浏览的是第二十三页，共36页2.性质性质按定义，概率密度按定义，概率密度 f(x,y)具有以下性质：具有以下性质：在几何上
8、在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以的值等于以 G 为底，以曲面为底，以曲面 z=f(x,y)为顶为顶的柱体体积的柱体体积你现在浏览的是第二十四页，共36页例例4解解你现在浏览的是第二十五页，共36页(2)将将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有例例4解解你现在浏览的是第二十六页，共36页例例5解解x+y=1x=1y=2将将(X,Y)看作是平面上随机看作是平面上随机点的坐标点的坐标,你现在浏览的是第二十七页，共36页例例6解解 按性质，按性质，用极坐标系计算用极坐标系计算你现在浏览的是第
9、二十八页，共36页例例6解解(2)你现在浏览的是第二十九页，共36页四、两个常用的分布四、两个常用的分布1.均匀分布均匀分布设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布.定义定义均匀分布几何意义均匀分布几何意义(几何概型几何概型)你现在浏览的是第三十页，共36页 已知随机变量已知随机变量(X,Y)在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布,其中其中D为为x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域.试求试求(X,Y)的分布
10、密度及分布函数的分布密度及分布函数,例例7解解D你现在浏览的是第三十一页，共36页你现在浏览的是第三十二页，共36页所以所以(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为你现在浏览的是第三十三页，共36页2.二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度你现在浏览的是第三十四页，共36页二维正态分布的图形二维正态分布的图形你现在浏览的是第三十五页，共36页1.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数3.二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度小结小结4.均匀分布、二维正态分布均匀分布、二维正态分布你现在浏览的是第三十六页，共36页