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1、第2章随机变量及其分布现在学习的是第1页，共26页三、分布函数三、分布函数三、分布函数三、分布函数 1.1.定义定义定义定义 称称称称F F(x x)=)=P P(X X 0 0是常数是常数是常数是常数(n n=1,2,=1,2,),),则有则有则有则有 证明证明证明证明:由由由由 得得得得 对于固定的对于固定的对于固定的对于固定的k k,当当当当 时有时有时有时有 因此因此因此因此 现在学习的是第8页，共26页 泊松定理表明泊松定理表明泊松定理表明泊松定理表明:若若若若npnpn n=为常数为常数为常数为常数,二项分布以泊松分布为极限。二项分布以泊松分布为极限。二项分布以泊松分布为极限。二项
2、分布以泊松分布为极限。而条件而条件而条件而条件npnpn n=为常数表明为常数表明为常数表明为常数表明:当当当当n n很大时很大时很大时很大时,p pn n必很小。因此必很小。因此必很小。因此必很小。因此,在计算二在计算二在计算二在计算二项分布的概率时项分布的概率时项分布的概率时项分布的概率时,如果如果如果如果n n很大很大很大很大,p p较小较小较小较小,可用可用可用可用 近似代替近似代替近似代替近似代替 。实际应用时。实际应用时。实际应用时。实际应用时,当当当当 时时时时,就可利用就可利用就可利用就可利用泊松分布求二项分布的近似值。泊松分布求二项分布的近似值。泊松分布求二项分布的近似值。泊
3、松分布求二项分布的近似值。例例例例:某人射击某人射击某人射击某人射击,设每次射击的命中率为设每次射击的命中率为设每次射击的命中率为设每次射击的命中率为0.02,0.02,0.02,0.02,独立射击独立射击独立射击独立射击400400400400次次次次,试求击中的次数大于等于试求击中的次数大于等于试求击中的次数大于等于试求击中的次数大于等于2 2 2 2的概率。的概率。的概率。的概率。解解解解:直接计算上式是很麻烦的直接计算上式是很麻烦的直接计算上式是很麻烦的直接计算上式是很麻烦的,由泊松定理得由泊松定理得由泊松定理得由泊松定理得 于是于是于是于是 因此因此因此因此现在学习的是第9页，共26
4、页 例例例例:为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作,需要配备适量维修工人需要配备适量维修工人需要配备适量维修工人需要配备适量维修工人,现有同类型设备现有同类型设备现有同类型设备现有同类型设备300300台台台台,各各各各台工作是相互独立的台工作是相互独立的台工作是相互独立的台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01,0.01,在通常情况下一台设备的故障可在通常情况下一台设备的故障可在通常情况下一台设备的故障可在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理由一个人来处理由一个人来处理由一个人来处理(
5、我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况),),问至少需要多少工人问至少需要多少工人问至少需要多少工人问至少需要多少工人,才能保证当设备才能保证当设备才能保证当设备才能保证当设备发生故障发生故障发生故障发生故障,但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.010.01？解解解解:设需要配备设需要配备设需要配备设需要配备N N人人人人,记同一时刻发生故障的设备台数为记同一时刻发生故障的设备台数为记同一时刻发生故障的设备台数为记同一时刻发生故障的设备台数为X X,那么那么那么那么,X XB B(300,
6、0.01),(300,0.01),所要解决的问题是确定所要解决的问题是确定所要解决的问题是确定所要解决的问题是确定N N使得使得使得使得:P P(X X N N)0.010.01 由泊松定理由泊松定理由泊松定理由泊松定理(这里这里这里这里=npnp=3)=3)P P(X X N N)=1-)=1-P P(X X N N)于是于是于是于是 解上式得最小的解上式得最小的解上式得最小的解上式得最小的N N应该是应该是应该是应该是8 8。因此达到上述要求至少需配备。因此达到上述要求至少需配备。因此达到上述要求至少需配备。因此达到上述要求至少需配备8 8个人。个人。个人。个人。例例例例:在上例中在上例中
7、在上例中在上例中,若由一人负责维修若由一人负责维修若由一人负责维修若由一人负责维修2020台设备台设备台设备台设备,每台设备发生故障的概率仍为每台设备发生故障的概率仍为每台设备发生故障的概率仍为每台设备发生故障的概率仍为0.01,0.01,求设备发生故障而不能及时处理的概率。若由求设备发生故障而不能及时处理的概率。若由求设备发生故障而不能及时处理的概率。若由求设备发生故障而不能及时处理的概率。若由3 3人共同负责维修人共同负责维修人共同负责维修人共同负责维修8080台呢台呢台呢台呢?解解解解:前一种情况所求的概率等于前一种情况所求的概率等于前一种情况所求的概率等于前一种情况所求的概率等于P P
8、(X X 2 2 ),),这里这里这里这里n=n=20,20,=npnp=0.2,=0.2,同理同理同理同理,若由若由若由若由3 3人共同负责维修人共同负责维修人共同负责维修人共同负责维修8080台台台台,则所求的概率为则所求的概率为则所求的概率为则所求的概率为现在学习的是第10页，共26页2 23 3 连续型随机变量与分布密度连续型随机变量与分布密度 一、连续型随机变量与分布密度一、连续型随机变量与分布密度一、连续型随机变量与分布密度一、连续型随机变量与分布密度 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为的分布函数为的分布函数为F F(x x),),如果存在非负函
9、数如果存在非负函数如果存在非负函数如果存在非负函数 f f(x x),),使对任意实使对任意实使对任意实使对任意实 数数数数x x,有有有有 ,则称则称则称则称X X为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量为连续型随机变量,f f(x x)为分布密度函数。为分布密度函数。为分布密度函数。为分布密度函数。X X落在落在落在落在 a a,b b 区间的概率区间的概率区间的概率区间的概率 f f(x x)的性质的性质的性质的性质:水文学中常用超过累积频率水文学中常用超过累积频率水文学中常用超过累积频率水文学中常用超过累积频率,例例例例:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X具有密度函
10、数具有密度函数具有密度函数具有密度函数 试确定常数试确定常数试确定常数试确定常数k k,并求并求并求并求 解解解解:于是于是于是于是 或者或者或者或者 现在学习的是第11页，共26页指数分布指数分布指数分布指数分布:求求求求 F F(x x)=)=？;证明证明证明证明解解解解:现在学习的是第12页，共26页二、几种重要的连续型随机变量的分布二、几种重要的连续型随机变量的分布二、几种重要的连续型随机变量的分布二、几种重要的连续型随机变量的分布 1.1.均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X在有限区间在有限区间在有限区间在有限区间 a a,b b 内取值内
11、取值内取值内取值,且其概率密度为且其概率密度为且其概率密度为且其概率密度为 则称则称则称则称X X在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布上服从均匀分布,简记为简记为简记为简记为XU XU(a,ba,b)。例例例例:据气象部门预测据气象部门预测据气象部门预测据气象部门预测,某号台风即将在我国东南沿海某地桩号为某号台风即将在我国东南沿海某地桩号为某号台风即将在我国东南沿海某地桩号为某号台风即将在我国东南沿海某地桩号为1000km1000km至至至至 桩号为桩号为桩号为桩号为2000km2000km的海岸线登陆的海岸线登陆的海岸线登陆的海岸线登陆,如果登
12、陆点如果登陆点如果登陆点如果登陆点X X是在是在是在是在1000km1000km至至至至2000km2000km的区间内的区间内的区间内的区间内 服从均匀分布的随机变量服从均匀分布的随机变量服从均匀分布的随机变量服从均匀分布的随机变量,试求该号台风在桩号为试求该号台风在桩号为试求该号台风在桩号为试求该号台风在桩号为1200km1200km至桩号为至桩号为至桩号为至桩号为1700km1700km 的区间内登陆的概率。的区间内登陆的概率。的区间内登陆的概率。的区间内登陆的概率。解解解解:由题意得由题意得由题意得由题意得 所以所以所以所以 现在学习的是第13页，共26页 2.2.正态分布正态分布正态
13、分布正态分布 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 其中其中其中其中a,a,00为常数为常数为常数为常数,则称则称则称则称X X服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为a,a,的正态分布的正态分布的正态分布的正态分布,记作记作记作记作XN XN(a,a,2 2)。若正态概率密度中若正态概率密度中若正态概率密度中若正态概率密度中,a=a=0 0 ,=1,=1,则称这样的正态分布为标准化正态分布则称这样的正态分布为标准化正态分布则称这样的正态分布为标准化正态分布则称这样的正态分布为标准化正态分布,记作记作记作记作 XN XN(0,1),(0
14、,1),为了计算方便为了计算方便为了计算方便为了计算方便,人们编制了标准化正态分布的概率密度函数人们编制了标准化正态分布的概率密度函数人们编制了标准化正态分布的概率密度函数人们编制了标准化正态分布的概率密度函数 和和和和 分布函数分布函数分布函数分布函数 的数值表。见附表的数值表。见附表的数值表。见附表的数值表。见附表2 2和附表和附表和附表和附表3 3。附表附表附表附表3 3中给出的中给出的中给出的中给出的 是标准化正态随机变量是标准化正态随机变量是标准化正态随机变量是标准化正态随机变量X X的超过制概率。的超过制概率。的超过制概率。的超过制概率。现在学习的是第14页，共26页例例例例:XN
15、 XN(0,1),(0,1),求求求求 P P(X X-1.4);1.4);P P(-0.1(-0.1 X X1.2)1.2)。答案答案答案答案:0.080757;0.080757;0.42476 0.42476 对一般正态随机变量对一般正态随机变量对一般正态随机变量对一般正态随机变量,可通过关系式可通过关系式可通过关系式可通过关系式 求得求得求得求得F F(x x)的函数值。的函数值。的函数值。的函数值。现在学习的是第15页，共26页 例例例例:设设设设X X服从正态分布服从正态分布服从正态分布服从正态分布XN XN(10(10,2 22 2),),求求求求 P P(7(7 X X b b
16、时时时时,(Y Y y y)为必然事件为必然事件为必然事件为必然事件,所以所以所以所以 当当当当 y y a a 时时时时,(Y Y y y)为不可能事件为不可能事件为不可能事件为不可能事件,所以所以所以所以 当当当当 y y=y y1 1 时时时时,方程方程方程方程y y1 1=g g(x x)有一个解有一个解有一个解有一个解 ,于是事件于是事件于是事件于是事件(Y Y y y1 1)等价于事件等价于事件等价于事件等价于事件(X X x x4 4),),故有故有故有故有 当当当当 y y=y y 时时时时,方程方程方程方程y y=g g(x x),),有有有有3 3个解个解个解个解,此时此时
17、此时此时,事件事件事件事件(Y Y y y)等价于事件等价于事件等价于事件等价于事件(X X x x1 1)(x x2 2X X x x3 3),),而且事件而且事件而且事件而且事件(X X x x1 1)与事件与事件与事件与事件(x x2 2X X x x3 3)互斥互斥互斥互斥,于是于是于是于是 现在学习的是第22页，共26页上式两侧对上式两侧对上式两侧对上式两侧对y y求导求导求导求导,得得得得Y Y的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为由于由于由于由于 ,所以上式可写成如下形式所以上式可写成如下形式所以上式可写成如下形式所以上式可写成如下形式 由此由此由此由此,可引出下述定理
18、可引出下述定理可引出下述定理可引出下述定理:设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X有密度函数有密度函数有密度函数有密度函数f fX X(x x),),Y Y=g g(X X)是单值连续函数，是单值连续函数，是单值连续函数，是单值连续函数，若方程若方程若方程若方程y y=g g(x x)对对对对y y有实根有实根有实根有实根 即即即即 且且且且 均存在均存在均存在均存在,那么那么那么那么Y Y的密度函数为的密度函数为的密度函数为的密度函数为现在学习的是第23页，共26页 例例例例:设设设设X X服从标准化正态分布服从标准化正态分布服从标准化正态分布服从标准化正态分布,即即即即 求求求求
19、的密度函数。的密度函数。的密度函数。的密度函数。解解解解:有两个根有两个根有两个根有两个根 即即即即 现在学习的是第24页，共26页下面简单推求一下在水文学中讨论较多的另两个分布。下面简单推求一下在水文学中讨论较多的另两个分布。下面简单推求一下在水文学中讨论较多的另两个分布。下面简单推求一下在水文学中讨论较多的另两个分布。1.1.1.1.对数正态分布对数正态分布对数正态分布对数正态分布 若随机变量若随机变量若随机变量若随机变量X X的对数的对数的对数的对数 服从正态分布服从正态分布服从正态分布服从正态分布,则称则称则称则称X X服从对数正态分布服从对数正态分布服从对数正态分布服从对数正态分布,
20、其密度为其密度为其密度为其密度为 解解解解:上述两参数对数正态分布中上述两参数对数正态分布中上述两参数对数正态分布中上述两参数对数正态分布中,X X的最小值为零。对于最小值大于的最小值为零。对于最小值大于的最小值为零。对于最小值大于的最小值为零。对于最小值大于零的变量不适用。因此又有采用函数零的变量不适用。因此又有采用函数零的变量不适用。因此又有采用函数零的变量不适用。因此又有采用函数 作变换得到三作变换得到三作变换得到三作变换得到三参数对数正态分布参数对数正态分布参数对数正态分布参数对数正态分布:现在学习的是第25页，共26页2.2.克里茨基克里茨基克里茨基克里茨基 -门克尔分布门克尔分布门克尔分布门克尔分布 若随机变量若随机变量若随机变量若随机变量X X服从服从服从服从 分布分布分布分布(,),),其密度为其密度为其密度为其密度为 设设设设 ,则称则称则称则称Y Y服从克里茨基服从克里茨基服从克里茨基服从克里茨基 -门克尔分布门克尔分布门克尔分布门克尔分布,简称克简称克简称克简称克 -门分布。门分布。门分布。门分布。其密度函数为其密度函数为其密度函数为其密度函数为 解解解解:现在学习的是第26页，共26页