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1、第三节波动方程第三节波动方程本讲稿第一页，共七十一页 1-5-3 波动方程波动方程本讲稿第二页，共七十一页 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程本讲稿第三页，共七十一页参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程本讲稿第四页，共七十一页任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程本讲稿第五页，共七十
2、一页任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：B点落后点落后O点的时间点的时间参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程xu本讲稿第六页，共七十一页任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：B点落后点落后O点的时间点的时间 ，落后相位，落后相位参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程xuux本讲稿第七页，共七十一页任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程
3、为：为：B点落后点落后O点的时间点的时间 ，落后相位，落后相位参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyxx=utAA)(yoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程uxxuux本讲稿第八页，共七十一页 表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyyxxx=uutAA)(yoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的
4、波动方程本讲稿第九页，共七十一页 表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波也就是平面简谐波的波动方程。的波动方程。任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyyxxx=uutAA)(yoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程本讲稿第十页，共七十一页2T=2,.任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyxxx=uu
5、tAA)(yoB 表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波也就是平面简谐波的波动方程。的波动方程。y 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程本讲稿第十一页，共七十一页T任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tucoscosyyxxx=uutAA)(yoB22=.,表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波也就是平面简
6、谐波的波动方程。的波动方程。y 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程本讲稿第十二页，共七十一页.平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:本讲稿第十三页，共七十一页uxy.=Acost)(平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:本讲稿第十四页，共七十一页txT.A=cos()2平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:uxy=A cost)(本讲稿第十五页，共七十一页u.cost2=A)(x平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:uxy=Acost)(txTA=cos()2本讲稿第十六页，共七十一页.质点的振动速度：质点的振动速度：平面
7、简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:ucost2=A)(xuxy=Acost)(txTA=cos()2本讲稿第十七页，共七十一页.=质点的振动速度：质点的振动速度：vytee平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:ucost2=A)(xuxy=Acost)(txTA=cos()2本讲稿第十八页，共七十一页ety平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:.=A质点的振动速度：质点的振动速度：vsint=)(xueucost2=A)(xuxy=Acost)(txTA=cos()2本讲稿第十九页，共七十一页二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义本讲稿第二十页，共七十一页二二.波动
8、方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)x本讲稿第二十一页，共七十一页yAxt=cos)(1u二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)x本讲稿第二十二页，共七十一页yAxt=cos)(1uytox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)x本讲稿第二十三页，共七十一页yAxt=cos)(1uytox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.x本讲稿第二十四页，共七十一页y=AxttxxA=cosco
9、s()(11uu表示表示y1yto处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.x本讲稿第二十五页，共七十一页y=AxttxA=coscos()(1uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.x1本讲稿第二十六页，共七十一页y=AxttxA=coscos()(1uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的
10、物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3.t 与与 x 都发生变化都发生变化x1本讲稿第二十七页，共七十一页y=AxttxA=coscos()(11uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxtt=1ox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3.t 与与 x 都发生变化都发生变化x本讲稿第二十八页，共七十一页y=AcosxttxA=coscos()(11uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxtttyA=(11xuo1x表示表示1处质点的振动
11、方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3.t 与与 x 都发生变化都发生变化x本讲稿第二十九页，共七十一页ty=AcosxttxA=coscos()(11uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxttttyA=(111xut+o1x表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3.t 与与 x 都发生变化都发生变化x本讲稿第三十页，共七十一页+Acos)=(1xuyttt 1.=x1(常数常数)y=AcosxttttxA=co
12、scos()(常数常数)(111uu2.y表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyx3.t 与与 x 都发生变化都发生变化ttttyA=(111xut+o1x表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义x本讲稿第三十一页，共七十一页y=11Acost)(xu本讲稿第三十二页，共七十一页y1xyy=11Acost)(xut1x本讲稿第三十三页，共七十一页ty1xyy=111AAcoscostt()(xxuuy=+t1x本讲稿第三十四页，共七十一页tyy1xyy=111AA coscostt()(xxuuy=+xt1xt1+t 本讲稿第三十五页，共七十
13、一页tyy1xxyt1y=111AAcoscostt()(xxuuy=+令令xy1=yt1+t 本讲稿第三十六页，共七十一页ytyy1xutxyy=1111AAcoscostt()(xxuuy=+令令yxx=+ut得：得：t1xt1+t 本讲稿第三十七页，共七十一页y，tyy1xxyy=1111AAcoscostt()(xxuuy=+令令yxx=+uy1t1这表示在这表示在t时刻时刻x处的位移处的位移得：得：utt1xt1+t 本讲稿第三十八页，共七十一页y在经过在经过，tyy1xxyy=1111AAcoscostt()(xxuuy=令令yxx=+uxty1t1这表示在这表示在t时刻时刻x 处
14、的位移处的位移时间时间后，同样的位移发生在同样的位移发生在处，处，得：得：+utt1xt1+t 本讲稿第三十九页，共七十一页y在经过在经过的距离的距离，tyy1xxyy=1111AA coscostt()(xxuuy=+令令yxx=+utxty1ut1这表示在这表示在t时刻时刻x处的位移处的位移时间时间后，同样的位移发生在同样的位移发生在处，波向前传播了处，波向前传播了得：得：utt1xt1+t 本讲稿第四十页，共七十一页y在经过在经过的距离即某一固定周相传播了的距离即某一固定周相传播了，tyy1xxyy=1111AAcoscostt()(xxuuy=+令令yxx=+utxty1uutt1这表
15、示在这表示在t时刻时刻x处的位移处的位移时间时间后，同样的位移发生在同样的位移发生在处，波向前传播了处，波向前传播了的距离。的距离。得：得：utt1xt1+t 本讲稿第四十一页，共七十一页三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式本讲稿第四十二页，共七十一页t=uyxAcos()三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式本讲稿第四十三页，共七十一页t2=AuuyyxxtAcos()22cos)(tee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式本讲稿第四十四页，共七十一页etAy2=AuuyyxxxxttAcos()222coscos)(t222=uueee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般
16、形式本讲稿第四十五页，共七十一页ueeutAyx2=AuuyyxxxxttAcos()2222coscos)(tt222=u从上两式可得：从上两式可得：yy22212eeeeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式本讲稿第四十六页，共七十一页eeutAyx2=AuuyyxxxxttAcos()2222coscos)(tt222=uu从上两式可得：从上两式可得：yy22212可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：eeeeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式本讲稿第四十七页，共七十一页eeeeutAyx2=+AuuyyxxxxttzAcos()2222coscos)(
17、ttt222=uu从上两式可得：从上两式可得：yy22221222可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：xy222221u2eeeeeeeeeeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式本讲稿第四十八页，共七十一页eeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式utAyx2=+AuuyyxxxxttzA cos()2222coscos)(ttt222=uu从上两式可得：从上两式可得：yy22221222可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：xy222221u2eeeeeeeeeeee质点的位移质点的位移本讲稿第四十九页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以
18、速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。xoxPoPc本讲稿第五十页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）xoxPoPc本讲稿第五
19、十一页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cxoxPoPc本讲稿第五十二页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动
20、规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/cxoxPoPc本讲稿第五十三页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于P
21、o的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：所以点的振动方程为：xoxPoPc本讲稿第五十四页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：
22、所以点的振动方程为：y=Acos t-(x-xo)/c=Acos t-(x-xo)/c xoxPoPc本讲稿第五十五页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：所以点的振动方程为：y=Acos t-
23、(x-xo)/c=Acos t-(x-xo)/c 波源波源(x=0)的振动方程的振动方程:yo=Acos(t+xo/c)xoxPoPc本讲稿第五十六页，共七十一页例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：所以点
24、的振动方程为：y=Acos t-(x-xo)/c=Acos t-(x-xo)/c 波源波源(x=0)的振动方程的振动方程:yo=Acos(t+xo/c)初相：初相：xo/cxoxPoPc本讲稿第五十七页，共七十一页例例5-2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoP本讲稿第五十八页，共七十一页例例5-2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试
25、画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoP本讲稿第五十九页，共七十一页例例5-2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoP本讲稿第六十页，共七十一页例例5-2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoPyo A
26、本讲稿第六十一页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。Pcyxo本讲稿第六十二页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 Pcyxo本讲稿第六十三页，共七十一页例例5-3
27、图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 Pcyxo本讲稿第六十四页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 PV0cyxo本讲稿第
28、六十五页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 PV0cyxo oy t=2 s本讲稿第六十六页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=
29、4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 PV0cyxooy t=2 s本讲稿第六十七页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 =tPV0cyxo oy t=2 s本讲稿第六十八页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时
30、刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 =t=/2 2=PV0cyxo oy t=0 st=2 s本讲稿第六十九页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2
31、/T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 =t=/2 2=P点的初相为点的初相为 =-/2PV0cyxo oy t=0 st=2 s本讲稿第七十页，共七十一页例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 =t=/2 2=P点的初相为点的初相为 =-/2yp=0.02cos(t/2-/2)(SI)PV0cyxo oy t=0 st=2 s本讲稿第七十一页，共七十一页