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1、第三节波动方程第三节波动方程第1页，共71页，编辑于2022年，星期二 1-5-3 波动方程波动方程第2页，共71页，编辑于2022年，星期二 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程第3页，共71页，编辑于2022年，星期二参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程第4页，共71页，编辑于2022年，星期二任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波
2、动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程第5页，共71页，编辑于2022年，星期二任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：B点落后点落后O点的时间点的时间参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程xu第6页，共71页，编辑于2022年，星期二任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：B点落后点落后O点的时间点的时间 ，落后相位，落后相位参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：cosyxx=utAyoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波
3、的波动方程平面简谐波的波动方程xuux第7页，共71页，编辑于2022年，星期二任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：B点落后点落后O点的时间点的时间 ，落后相位，落后相位参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyxx=utAA)(yoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程uxxuux第8页，共71页，编辑于2022年，星期二 表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振
4、动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyyxxx=uutAA)(yoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程第9页，共71页，编辑于2022年，星期二 表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波也就是平面简谐波的波动方程。的波动方程。任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyyxxx=uutAA)(yoB 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程第10
5、页，共71页，编辑于2022年，星期二2T=2,.任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=tcoscosyyxxx=uutAA)(yoB 表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波也就是平面简谐波的波动方程。的波动方程。y 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程第11页，共71页，编辑于2022年，星期二T任意点（任意点（B点）的振动方程点）的振动方程为：为：参考点参考点O点的振动方程为：点的振动方程为：=t
6、ucoscosyyxxx=uutAA)(yoB22=.,表示在波线上任意一点（距原点为表示在波线上任意一点（距原点为 x 处）处）质点在任意时刻的位移质点在任意时刻的位移,也就是平面简谐波也就是平面简谐波的波动方程。的波动方程。y 1-5-3 波动方程波动方程一一.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程第12页，共71页，编辑于2022年，星期二.平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:第13页，共71页，编辑于2022年，星期二uxy.=Acost)(平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:第14页，共71页，编辑于2022年，星期二txT.A=cos()2平面简谐波的波动方程
7、为平面简谐波的波动方程为:uxy=Acost)(第15页，共71页，编辑于2022年，星期二u.cost2=A)(x平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:uxy=Acost)(txTA=cos()2第16页，共71页，编辑于2022年，星期二.质点的振动速度：质点的振动速度：平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:ucost2=A)(xuxy=Acost)(txTA=cos()2第17页，共71页，编辑于2022年，星期二.=质点的振动速度：质点的振动速度：vytee平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:ucost2=A)(xuxy=Acost)(txTA=cos()2第
8、18页，共71页，编辑于2022年，星期二ety平面简谐波的波动方程为平面简谐波的波动方程为:.=A质点的振动速度：质点的振动速度：vsint=)(xueucost2=A)(xuxy=Acost)(txTA=cos()2第19页，共71页，编辑于2022年，星期二二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义第20页，共71页，编辑于2022年，星期二二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)x第21页，共71页，编辑于2022年，星期二yAxt=cos)(1u二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)x第22页，共71页，编辑于2022年，星期二y
9、Axt=cos)(1uytox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)x第23页，共71页，编辑于2022年，星期二yAxt=cos)(1uytox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.x第24页，共71页，编辑于2022年，星期二y=AxttxxA=coscos()(11uu表示表示y1yto处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.x第25页，共71页
10、，编辑于2022年，星期二y=AxttxA=coscos()(1uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.x1第26页，共71页，编辑于2022年，星期二y=AxttxA=coscos()(1uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3.t 与与 x 都发生变化都发生变化x1第27页，共71页，编辑于2
11、022年，星期二y=AxttxA=coscos()(11uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxtt=1ox表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3.t 与与 x 都发生变化都发生变化x第28页，共71页，编辑于2022年，星期二y=AcosxttxA=coscos()(11uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxtttyA=(11xuo1x表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3
12、.t 与与 x 都发生变化都发生变化x第29页，共71页，编辑于2022年，星期二ty=AcosxttxA=coscos()(11uuy表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1ytoyxttttyA=(111xut+o1x表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义 1.=x1(常数常数)tt=(常数常数)12.3.t 与与 x 都发生变化都发生变化x第30页，共71页，编辑于2022年，星期二+Acos)=(1xuyttt 1.=x1(常数常数)y=AcosxttttxA=coscos()(常数常数)(111uu2.y表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t
13、1ytoyx3.t 与与 x 都发生变化都发生变化ttttyA=(111xut+o1x表示表示1处质点的振动方程处质点的振动方程二二.波动方程的物理意义波动方程的物理意义x第31页，共71页，编辑于2022年，星期二y=11Acost)(xu第32页，共71页，编辑于2022年，星期二y1xyy=11Acost)(xut1x第33页，共71页，编辑于2022年，星期二ty1xyy=111AA coscostt()(xxuuy=+t1x第34页，共71页，编辑于2022年，星期二tyy1xyy=111AAcoscostt()(xxuuy=+xt1xt1+t 第35页，共71页，编辑于2022年，
14、星期二tyy1xxyt1y=111AAcoscostt()(xxuuy=+令令xy1=yt1+t 第36页，共71页，编辑于2022年，星期二ytyy1xutxyy=1111AAcoscostt()(xxuuy=+令令yxx=+ut得：得：t1xt1+t 第37页，共71页，编辑于2022年，星期二y，tyy1xxyy=1111AAcoscostt()(xxuuy=+令令yxx=+uy1t1这表示在这表示在t时刻时刻x 处的位移处的位移得：得：utt1xt1+t 第38页，共71页，编辑于2022年，星期二y在经过在经过，tyy1xxyy=1111AA coscostt()(xxuuy=令令y
15、xx=+uxty1t1这表示在这表示在t时刻时刻x处的位移处的位移时间时间后，同样的位移发生在同样的位移发生在处，处，得：得：+utt1xt1+t 第39页，共71页，编辑于2022年，星期二y在经过在经过的距离的距离，tyy1xxyy=1111AA coscostt()(xxuuy=+令令yxx=+utxty1ut1这表示在这表示在t时刻时刻x处的位移处的位移时间时间后，同样的位移发生在同样的位移发生在处，波向前传播了处，波向前传播了得：得：utt1xt1+t 第40页，共71页，编辑于2022年，星期二y在经过在经过的距离即某一固定周相传播了的距离即某一固定周相传播了，tyy1xxyy=1
16、111AAcoscostt()(xxuuy=+令令yxx=+utxty1uutt1这表示在这表示在t时刻时刻x处的位移处的位移时间时间后，同样的位移发生在同样的位移发生在处，波向前传播了处，波向前传播了的距离。的距离。得：得：utt1xt1+t 第41页，共71页，编辑于2022年，星期二三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式第42页，共71页，编辑于2022年，星期二t=uyxAcos()三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式第43页，共71页，编辑于2022年，星期二t2=AuuyyxxtAcos()22cos)(tee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式第44页，共71页，
17、编辑于2022年，星期二etAy2=AuuyyxxxxttAcos()222coscos)(t222=uueee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式第45页，共71页，编辑于2022年，星期二ueeutAyx2=AuuyyxxxxttA cos()2222coscos)(tt222=u从上两式可得：从上两式可得：yy22212eeeeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式第46页，共71页，编辑于2022年，星期二eeutAyx2=AuuyyxxxxttAcos()2222coscos)(tt222=uu从上两式可得：从上两式可得：yy22212可以证明三维的波动方程为：可以证明
18、三维的波动方程为：eeeeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式第47页，共71页，编辑于2022年，星期二eeeeutAyx2=+AuuyyxxxxttzAcos()2222coscos)(ttt222=uu从上两式可得：从上两式可得：yy22221222可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：xy222221u2eeeeeeeeeeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式第48页，共71页，编辑于2022年，星期二eeee三三.波动方程的一般形式波动方程的一般形式utAyx2=+AuuyyxxxxttzAcos()2222coscos)(ttt222=uu从上两式
19、可得：从上两式可得：yy22221222可以证明三维的波动方程为：可以证明三维的波动方程为：xy222221u2eeeeeeeeeeee质点的位移质点的位移第49页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。xoxPoPc第50页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简
20、谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）xoxPoPc第51页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于
21、落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cxoxPoPc第52页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/cxoxPoPc第53页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以
22、速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：所以点的振动方程为：xoxPoPc第54页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。
23、已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：所以点的振动方程为：y=Acos t-(x-xo)/c=Acos t-(x-xo)/c xoxPoPc第55页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点
24、（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：所以点的振动方程为：y=Acos t-(x-xo)/c=Acos t-(x-xo)/c 波源波源(x=0)的振动方程的振动方程:yo=Acos(t+xo/c)xoxPoPc第56页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-1 有一以速度为有一以速度为 c，沿，沿 x 轴正方向传播轴正方向传播的平面简谐波。已
25、知在波传播到的平面简谐波。已知在波传播到 Po点（离原点（离原点为点为 xo）处的振动规律为）处的振动规律为 y=Acos t，求此波，求此波的表达式。的表达式。解：设振动传播到解：设振动传播到 P点（点（x xo）P落后于落后于Po的时间为的时间为(x-xo)/cP落后于落后于Po的相位为的相位为 (x-xo)/c所以点的振动方程为：所以点的振动方程为：y=Acos t-(x-xo)/c=Acos t-(x-xo)/c 波源波源(x=0)的振动方程的振动方程:yo=Acos(t+xo/c)初相：初相：xo/cxoxPoPc第57页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-2 一平面简谐波沿
26、一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoP第58页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoP第59页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻
27、的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoP第60页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 x 轴正方向传播，轴正方向传播，t=0 s 时刻的波形如图所示，试画出时刻的波形如图所示，试画出P处质点的处质点的振动在振动在 t=0 时刻的旋转矢量图。时刻的旋转矢量图。cxyoPyo A第61页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4
28、 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。Pcyxo第62页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 Pcyxo第63页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求
29、求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 Pcyxo第64页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 PV0cyxo第65页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的
30、振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 PV0cyxo oy t=2 s第66页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 PV0cyxo
31、oy t=2 s第67页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 =tPV0cyxo oy t=2 s第68页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，
32、周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 =t=/2 2=PV0cyxo oy t=0 st=2 s第69页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点
33、的位相为/2 =t=/2 2=P点的初相为点的初相为 =-/2PV0cyxo oy t=0 st=2 s第70页，共71页，编辑于2022年，星期二例例5-3 图示为一平面简谐波在图示为一平面简谐波在 t=2 s 时刻的时刻的波形图，波的振幅为波形图，波的振幅为 0.02m，周期为，周期为 4 s,求求图中图中 P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。解：已知解：已知A=0.02m,T=4s则有则有 =2 /T=/2 t=2 s 时，时，P点的位相为点的位相为/2 =t=/2 2=P点的初相为点的初相为 =-/2yp=0.02cos(t/2-/2)(SI)PV0cyxo oy t=0 st=2 s第71页，共71页，编辑于2022年，星期二