第三节波动的叠加精选文档.ppt

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1、第三节波动的叠加本讲稿第一页，共三十页1.3 波的叠加波的叠加1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加波的叠加椭圆偏振光的形成及特征椭圆偏振光的形成及特征1.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加叠加光学拍光学拍 本讲稿第二页，共三十页1.3.1 波的独立传播与叠加原理波的独立传播与叠加原理：由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余弦函数和正弦函数表示由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余弦函数和正弦函数表示的单色光波，因此讨论两个（或多个）光波在空间某一区域相遇时，所发

2、的单色光波，因此讨论两个（或多个）光波在空间某一区域相遇时，所发生的光波的叠加问题是有意义的。同时，频率、振幅和位相都不相同的光生的光波的叠加问题是有意义的。同时，频率、振幅和位相都不相同的光波的叠加，情形很复杂。波的叠加，情形很复杂。本节只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加，这种情况下可以本节只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加，这种情况下可以写出结果的数学表达式。写出结果的数学表达式。本节所讨论内容的理论基础：本节所讨论内容的理论基础：一、波的独立传播定律：一、波的独立传播定律：两两列列光光波波在在空空间间交交迭迭时时，它它的的传传播播互互不不干干扰扰,亦亦即即每每

3、列列波波如如何何传传播播，就就像另一列波完全不存在一样各自独立进行。此即波的独立传播定律。像另一列波完全不存在一样各自独立进行。此即波的独立传播定律。必必须须注注意意的的是是：此此定定律律并并不不是是普普遍遍成成立立的的，例例，光光通通过过变变色色玻玻璃璃时是不服从独立传播定律的。时是不服从独立传播定律的。本讲稿第三页，共三十页二、波的叠加原理：二、波的叠加原理：当两列当两列(或多列或多列)波在同一空间传播时，空间各点都参与每列波在该点引波在同一空间传播时，空间各点都参与每列波在该点引起的振动。若波的独立传播定律成立，则当两列起的振动。若波的独立传播定律成立，则当两列(或多列或多列)波同时存在

4、时，在波同时存在时，在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独在该点产生振动的合成它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独在该点产生振动的合成.此即此即波的波的迭加原理。迭加原理。与独立传播定律相同，叠加原理适用性也是有条件的。这条件，一是与独立传播定律相同，叠加原理适用性也是有条件的。这条件，一是媒媒质质,二是波的二是波的强度强度。光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。波在其中服从叠加原理的媒质称为波在其中服从叠加原理的媒质称为“线性媒质线性媒质”。此时，

5、对于此时，对于非相干光波非相干光波：即即N N列波的强度满足线性迭加关系。列波的强度满足线性迭加关系。1.3.1 波的独立传播与叠加原理波的独立传播与叠加原理 本讲稿第四页，共三十页对于相干光波对于相干光波 ：即即N N列波的振幅满足线性迭加关系。列波的振幅满足线性迭加关系。由于振动量通常是矢量，所以一般情况下此处之由于振动量通常是矢量，所以一般情况下此处之“和和”应理应理解为解为矢量和矢量和.波在其中不服从迭加原理的媒质称为波在其中不服从迭加原理的媒质称为“非线性媒质非线性媒质”。1.3.1 波的独立传播与叠加原理波的独立传播与叠加原理 本讲稿第五页，共三十页1.3.2 同频率简谐波叠加的一

6、般分析及干涉概念同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 1.3.2 1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 设两列同频率简谐波在其波场交叠区某点设两列同频率简谐波在其波场交叠区某点P P各自产生的复振幅分别为各自产生的复振幅分别为 P P点合振动的复振幅矢量为点合振动的复振幅矢量为P P点合光强为点合光强为本讲稿第六页，共三十页1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 令令则则 若在两波的交叠区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产生的若在两波的交叠区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产生的强度之和，

7、即强度之和，即一般地一般地则称这两列波发生了干涉。则称这两列波发生了干涉。易见对干涉的贡献来自合强度式中的第三项易见对干涉的贡献来自合强度式中的第三项干涉项干涉项。为使该项具有不为零的稳定贡献，必须有为使该项具有不为零的稳定贡献，必须有（1 1）E E10 10 E E2020=0=0，即，即E E1010不垂直于不垂直于E E20 20；（2 2）对给定点）对给定点P P，相差，相差（P P)恒定，不随时间而变化。恒定，不随时间而变化。对理想对理想单色单色简谐波，只要振动方向不互相正交，总是相干的。简谐波，只要振动方向不互相正交，总是相干的。本讲稿第七页，共三十页设两列三维平面波的频率相同，

8、振动方向相同设两列三维平面波的频率相同，振动方向相同(故可用标量波表示故可用标量波表示)，其复振幅分别为其复振幅分别为此时此时 可得到光场中的光强分布为可得到光场中的光强分布为或写为或写为其中其中1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 本讲稿第八页，共三十页光强仅随位置光强仅随位置r r变化而变化。在某些变化而变化。在某些特定位置特定位置，使得，使得(m =0，l，2，)光强光强I I 取得取得极大值极大值这时称两列波发生了这时称两列波发生了相长干涉相长干涉；在另一些在另一些特定位置特定位置，使得，使得 (m =0，l，2，)光强光强I I 取得取

9、得极小值极小值这时称两列波发生了这时称两列波发生了相消干涉相消干涉。1.3.3 两列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 本讲稿第九页，共三十页 相同的点的集合构成了三维空间中的相同的点的集合构成了三维空间中的等强度面等强度面，这种等强度面的方程是这种等强度面的方程是我们把两列我们把两列(或多列或多列)相干波的交叠区称为相干波的交叠区称为干涉场干涉场，将干涉场中光强随空间位置的分布称为将干涉场中光强随空间位置的分布称为干涉图样干涉图样。由以上分析可知，两列同频率平面波的干涉图样是三维空间中一族光强极大与极小相间排由以上分析可知，两列同频率平面波的干涉图样是三维空间中一

10、族光强极大与极小相间排列的平行平面。列的平行平面。由于在由于在I I1 1、I I2 2 给定时，光强给定时，光强I I仅取决于仅取决于coscos，而，而coscos随随x,y,z的变化具有周期性，的变化具有周期性，故，干涉场的强度变化亦具有故，干涉场的强度变化亦具有空间周期性空间周期性。1.3.3 两列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 本讲稿第十页，共三十页由于由于可知，光强分布在可知，光强分布在x,y,z 方向的空间频率分别为方向的空间频率分别为 上式亦可写成矢量形式上式亦可写成矢量形式式中式中f1 1，f2 2 分别是第一列波、第二列波的空间频率矢量，分别

11、是第一列波、第二列波的空间频率矢量，f 是干涉图样是干涉图样(在垂在垂直于等强度面方向直于等强度面方向)的空间频率矢量。的空间频率矢量。1.3.3 两列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 本讲稿第十一页，共三十页1.3.3 两列同频率两列同频率 同向振动的平面波的叠加同向振动的平面波的叠加 由于由于f1 1=f2 2=1/=1/,f 的方向为等强度面的法线方向，的方向为等强度面的法线方向，可知等强度面位于可知等强度面位于f1 1、f2 2(亦即亦即k1 1、k2 2)的角平分面，的角平分面，且有且有式中式中为为k1 1、k2 2夹角。夹角。对对fx fy fz 取倒

12、数可以得到干涉图样在取倒数可以得到干涉图样在x,y,z方向的空间周期方向的空间周期dx,dy,dz相邻光强极大相邻光强极大(或极小或极小)平面的间距则为平面的间距则为本讲稿第十二页，共三十页1.3.4 两列同频率两列同频率 同向振动同向振动 反向传播的平面波的叠加反向传播的平面波的叠加 光驻波光驻波设两列波的传播方向分别沿设两列波的传播方向分别沿z轴的负方向和正方向轴的负方向和正方向,采用实波函数来进行分析。采用实波函数来进行分析。其实波函数分别为：其实波函数分别为：为突出波叠加时的主要特征，设为突出波叠加时的主要特征，设E10=E20，则合成波为，则合成波为 上式中第二项表明波场中任一点仍作

13、角频率为上式中第二项表明波场中任一点仍作角频率为的简谐振动，而第一项的简谐振动，而第一项的绝对值则表示为坐标为的绝对值则表示为坐标为z处的振动振幅，处的振动振幅，将此振幅记为将此振幅记为E0（z），即有：），即有：本讲稿第十三页，共三十页显然，各点的振幅不再是常数，而随其空间位置显然，各点的振幅不再是常数，而随其空间位置z而变化。而变化。在满足在满足(m=0，1，2，)的位置，振幅的位置，振幅E(z)取得最大值取得最大值2E10，这些点称为，这些点称为波腹波腹。在满足在满足(m=0，1，2，)的位置，振幅的位置，振幅E(z)取得最小值取得最小值0，这些点称为，这些点称为波节波节。容易看出，波腹

14、与波节相间分布，相邻波腹容易看出，波腹与波节相间分布，相邻波腹(或波节或波节)的间距皆为的间距皆为/2。由于整个波形并不发生空间推移，所以这种波称为由于整个波形并不发生空间推移，所以这种波称为驻波驻波。相应地，前文所讨论的各种在空间传播的波则可以称为相应地，前文所讨论的各种在空间传播的波则可以称为行波行波。1.3.4 两列同频率两列同频率 同向振动同向振动 反向传播的平面波的叠加反向传播的平面波的叠加 光驻波光驻波本讲稿第十四页，共三十页1.3.4 两列同频率两列同频率 同向振动同向振动 反向传播的平面波的叠加反向传播的平面波的叠加 光光驻波驻波l历历史史上上，维维纳纳(Owiner)曾曾经经

15、作作了了这这样样一一个个著著名名的的实实验验，它它既既验验证证了了光光驻驻波波的的存存在在，也也证证实实了了在在光光化化学学反反应应中中对对物物质质起起主主要要作作用用的是电场而不是磁场。的是电场而不是磁场。l可可以以预预见见:若若有有光光驻驻波波存存在在，在在感感光光片片上上将将有有亮亮暗暗相相间间的的条条纹存在，且条纹间距应与纹存在，且条纹间距应与/2按几何关系对应。按几何关系对应。即l实验证实了这个预言，实验证实了这个预言，即证实了驻波的存在即证实了驻波的存在。本讲稿第十五页，共三十页1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的

16、平面波的叠加椭圆偏振光的形成及特征椭圆偏振光的形成及特征 取取互相垂直的两个振动方向分别为互相垂直的两个振动方向分别为x和和y轴，波的传播方向为轴，波的传播方向为z方向方向 则则x，y方向的矢量实波函数可分别写为方向的矢量实波函数可分别写为波场中任意位置和时刻的合振动应为波场中任意位置和时刻的合振动应为 因为两列波均沿因为两列波均沿z方向等速传播，故其合成波亦沿同方向以同样速度方向等速传播，故其合成波亦沿同方向以同样速度传播，并且合矢量传播，并且合矢量E仍在仍在xy平面内，即光波仍保持其横波性。以平面内，即光波仍保持其横波性。以表示表示E矢矢量与量与x轴正向所成的角，则有轴正向所成的角，则有

17、可见，一般地说可见，一般地说 的大小，即的大小，即E 在在xy 平面内的指向将随位置平面内的指向将随位置z和时间和时间t 而变而变化。以下分别讨论其时空依赖关系。化。以下分别讨论其时空依赖关系。本讲稿第十六页，共三十页 一、光矢量一、光矢量E的时间变化的时间变化设设z为定值为定值 可以证明，当可以证明，当t 为任意值时，为任意值时，E矢量末端随时间的变化在空间扫矢量末端随时间的变化在空间扫描出的轨迹由以下方程所确定：描出的轨迹由以下方程所确定：显然，一般说来这是一个显然，一般说来这是一个“斜椭圆斜椭圆”(两半轴方位不与两半轴方位不与x,y轴重合轴重合)方程，相应方程，相应的光称为的光称为椭圆椭

18、圆偏振光偏振光。1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加椭圆偏振光的形成及特征椭圆偏振光的形成及特征 EyEx2a12a20该椭圆内截于一个长方形，长方形各边与坐该椭圆内截于一个长方形，长方形各边与坐标轴平行，边长为标轴平行，边长为2a1和和2 a2。如图示。椭圆。如图示。椭圆的长轴与的长轴与OX轴的夹角：轴的夹角：式中式中a1,a2分别为分别为Ex0,Ey0。本讲稿第十七页，共三十页l令令l则则l由于两叠加光波的角频率为由于两叠加光波的角频率为，故，故P点合点合矢量沿椭圆旋转的角频率为矢量沿椭圆旋转的角频率为。l我们

19、把光矢量周期性地旋转，其末端轨迹我们把光矢量周期性地旋转，其末端轨迹描成一个椭圆的这种光称为描成一个椭圆的这种光称为椭圆偏振光椭圆偏振光。1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的叠加椭圆偏振光的形成及特征椭圆偏振光的形成及特征 本讲稿第十八页，共三十页二、几种特殊情况：l由椭圆方程由椭圆方程 l知：椭圆形状由两叠加光波的位相差知：椭圆形状由两叠加光波的位相差l和振幅比和振幅比a2/a1 决定决定.l当两种特殊情况下当两种特殊情况下,合成光波仍是合成光波仍是线偏振光线偏振光.l1.或或 2的整数倍时，的整数倍时，l椭圆方程为

20、：椭圆方程为：l此式表示：合矢量的末端的运动沿着一条经过坐此式表示：合矢量的末端的运动沿着一条经过坐标原点而斜率为标原点而斜率为 a2/a1的直线进行。的直线进行。本讲稿第十九页，共三十页二、几种特殊情况：l2.椭圆变为：椭圆变为：即即 合矢量的末端运动沿着一条经过坐标合矢量的末端运动沿着一条经过坐标原点而斜率为原点而斜率为-a2/a1的直线进行。的直线进行。本讲稿第二十页，共三十页二、几种特殊情况：3.及其奇数倍时，及其奇数倍时，椭圆方程为：椭圆方程为：此为一正椭圆此为一正椭圆,长短轴与长短轴与x，y轴重合轴重合.l若两光波的振幅若两光波的振幅a1、a2相等，为相等，为a。l则：则：l表示一

21、个表示一个圆偏振光圆偏振光。本讲稿第二十一页，共三十页三、左旋和右旋：通常规定通常规定:对着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向旋转时，对着光传播方向看去，合矢量是顺时针方向旋转时，偏振光是偏振光是右旋右旋的。反之，是的。反之，是左旋左旋的。的。l只需将不同时刻的两原光波的值比较后即可看出；只需将不同时刻的两原光波的值比较后即可看出；l sin0 左旋情况左旋情况l sin0 右旋情况右旋情况 l在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构成的在左旋椭圆偏振光情况下，各点场矢量的末端构成的螺旋线的旋向与光传播方向成螺旋线的旋向与光传播方向成右手右手螺旋系统；螺旋系统；l而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋

22、线的旋向与关传播方而右旋椭圆偏振光的情形、螺旋线的旋向与关传播方向成向成左手左手螺旋系统。螺旋系统。本讲稿第二十二页，共三十页二、光矢量二、光矢量E的空间变化的空间变化 设设t 为定值为定值 这相当于观察这相当于观察“凝固凝固”了的波形。了的波形。对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量对于某一时刻，传播路程上各点的合矢量末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，末端位置构成一个螺旋线，螺旋线的空间周期为光波波长，各点场矢量的大小不一，其末端在与传播方向垂直的平面上的投影为一个椭圆。末端在与传播方向垂直的平面上的投影为一个椭圆。当当=0，时，易见时，易见振动平面振动

23、平面的空间取向是不变的，的空间取向是不变的，其它情况下随其它情况下随z的改变而改变。的改变而改变。关于左旋和右旋的的判据与前述相同，仍是：关于左旋和右旋的的判据与前述相同，仍是：此时椭圆是右旋的此时椭圆是右旋的 此时椭圆是左旋的此时椭圆是左旋的 zxy三、左旋和右旋：本讲稿第二十三页，共三十页四、椭圆偏振光的强度l在矢量形式下光波的强度一般地可写成在矢量形式下光波的强度一般地可写成 l在同一介质内时在同一介质内时l对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直的两线偏振光叠加构成：则对于椭圆偏振光：它是由振动方向互相垂直的两线偏振光叠加构成：则l即即l此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向

24、互相垂直地单色光波地强此式表示椭圆偏振光的强度恒等于合成它的两个振动方向互相垂直地单色光波地强度之和，它与两个叠加波的位相无关。度之和，它与两个叠加波的位相无关。本讲稿第二十四页，共三十页四、椭圆偏振光的强度l这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用于圆偏振光这一结论不仅适用于椭圆偏振光，也适用于圆偏振光和自然光。和自然光。l此时此时Ix=Iy，则，则l另：由此结论，说明两振动方向互相垂直的光波在叠加另：由此结论，说明两振动方向互相垂直的光波在叠加区域内各点的光强度都应等于两个光波的强度之和，区域内各点的光强度都应等于两个光波的强度之和，即此时即此时不发生干涉现象不发生干涉现象。本讲稿第二十五页，

25、共三十页 设两列平面波均沿设两列平面波均沿z轴正方向传播，其振动方向相同，振幅皆为轴正方向传播，其振动方向相同，振幅皆为E，两列波的，两列波的传播数和角频率分别为是传播数和角频率分别为是k1,1和和 k2,2 。取第一列波的初相为零，第二。取第一列波的初相为零，第二列波相对于第一列波的初相差为列波相对于第一列波的初相差为0，则两列波的实波函数可写为，则两列波的实波函数可写为任一时刻及位置波场中的合振动可表示为任一时刻及位置波场中的合振动可表示为式中式中10.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加叠加光学拍光学拍本讲稿第二十六页，共三十页

26、设两列波频率相近，即设两列波频率相近，即 10.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加叠加光学拍光学拍则上式中第一项因子在时空中的变化速度要比第二项缓慢得多，因此可以把后者看做是则上式中第一项因子在时空中的变化速度要比第二项缓慢得多，因此可以把后者看做是高频载波，而把前者看做是对载波的低频调制。高频载波，而把前者看做是对载波的低频调制。载波的角频率为载波的角频率为 ，其振幅为，其振幅为A的分布构成了调制后的的分布构成了调制后的载波的包络线载波的包络线。合成波的强度则为合成波的强度则为式中式中 I 1=E02 为单列波的强度为单列波的强度

27、。本讲稿第二十七页，共三十页由由可见光强的时间角频率恰为：可见光强的时间角频率恰为：，即参与合成的两列波的角频率之差，即参与合成的两列波的角频率之差，其时间频率当然也等于两波频率之差其时间频率当然也等于两波频率之差 。一般把这种两列频率相近的简谐波叠加时合成波的强度随时间作差频振荡的现一般把这种两列频率相近的简谐波叠加时合成波的强度随时间作差频振荡的现象称为象称为拍拍，而将而将 称为称为拍频拍频。由由知：合成波包含两种传僠速度：等相面的传播速度和等幅面的传播速度；前者称为知：合成波包含两种传僠速度：等相面的传播速度和等幅面的传播速度；前者称为相速度相速度，后者称为，后者称为群速度群速度。10.

28、3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加的叠加光学拍光学拍本讲稿第二十八页，共三十页相速度相速度，可由位相不变条件，可由位相不变条件 求出：求出：群速度群速度，可由振幅不变条件，可由振幅不变条件 求出求出 可以证明，群速度和相速度之间的关系为可以证明，群速度和相速度之间的关系为 10.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加加光学拍光学拍本讲稿第二十九页，共三十页可知，只有对于无色散介质（可知，只有对于无色散介质（），群速度等于相速度。），群速度等于相速度。反常色散媒质反常色散媒质 正常色散媒质正常色散媒质 群速度大于相速度群速度大于相速度群速度小于相速度群速度小于相速度10.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波两列频率相近、同向振动、同向传播的平面波的叠加的叠加光学拍光学拍本讲稿第三十页，共三十页